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Concetti da
rivedere
Interferenza
e diffrazione
Capitolo
La fase (Paragrafo 11.5) Il principio di sovrapposizione (Paragrafo 11.7) L’interferenza e la diffrazione (Paragrafo 11.9) I fronti d’onda, i raggi di luce e il principio di Huygens (Paragrafo 21.1) La riflessione e la rifrazione (Paragrafi 21.2 e 21.3) Lo spettro elettromagnetico (Paragrafo 20.4) L’intensità (Paragrafo 20.7)
23.1 L’INTERFERENZA COSTRUTTIVA
E DISTRUTTIVA
Nei capitoli 21 e 22 è stata trattata l’ottica geometrica che comprende la riflessione, la rifrazione e la formazione di immagini. Questi processi sono stati trattati consi- derando raggi luminosi che seguono traiettorie rettilinee; i raggi luminosi subiscono variazioni di direzione indotte sia dalla riflessione che dalla rifrazione sulla superfi- cie di separazione tra due mezzi. L’ottica geometrica rappresenta un’utile approssi- mazione valida quando gli oggetti illuminati e le fenditure attraversate dalla luce pos- sono essere considerati grandi rispetto alla lunghezza d’onda della luce stessa. In questo capitolo tratteremo l’ottica fisica , in cui la natura ondulatoria della lu- ce diviene rilevante. Nell’ottica fisica si considerano fenomeni che si originano quan- do la luce attraversa ostacoli o fenditure con dimensioni comparabili alla lunghez- za d’onda. In queste situazioni occorre considerare sia i fenomeni dell’interferenza che della diffrazione della luce. La distinzione tra interferenza e diffrazione non sempre è delineata chiaramen- te. Generalmente l’ interferenza è riferita a situazioni in cui le onde luminose ge- nerate da un piccolo numero di sorgenti seguono cammini ottici differenti raggiun- gendo l’osservatore con fasi diverse. La diffrazione invece è l’allargamento subito dall’onda luminosa quando in- contra un ostacolo o attraversa una fenditura. Secondo il principio di Huygens ogni punto appartenente a un fronte d’onda diviene a sua volta sorgente di nuove onde lu- minose. Nella sovrapposizione delle onde luminose generate da tutte queste nuove sorgenti puntiformi si deve considerare la loro differenza di fase dovuta ai diversi cammini ottici percorsi. Così, invece di un piccolo numero di sorgenti nella diffra- zione si ha la sovrapposizione di onde provenienti da un numero infinito di sorgenti. Ogni tipo di onda può subire sia l’interferenza che la diffrazione poiché questi fenomeni sono manifestazioni del principio di sovrapposizione che afferma che la perturbazione totale in ogni punto, generata da due o più onde, è data dalla somma delle singole perturbazioni generate individualmente da ogni onda. Il principio di so- vrapposizione non rappresenta un nuovo principio per la luce. Infatti, abbiamo già
898 Capitolo 23 Interferenza e diffrazione
applicato in precedenza il principio di sovrapposizione trattando il suono e le altre onde meccaniche. Abbiamo anche utilizzato il principio di sovrapposizione per cal- colare il campo elettrico e il campo magnetico generati da più sorgenti; tali campi sono dati dalla somma vettoriale dei campi generati da ogni singola sorgente. Ora ap- plicheremo in particolare il principio di sovrapposizione alle onde elettromagnetiche.
Le sorgenti coerenti e incoerenti Perché non osserviamo, utilizzando luce visibile, gli effetti prodotti dall’interferen- za? Con luce generata da sorgenti luminose come il sole, le lampade a incandescenza o a fluorescenza non si osserva il fenomeno dell’interferenza costruttiva e distrutti- va; piuttosto l’intensità luminosa in ogni punto è data dalla somma delle intensità dovute alle singole onde. La luce emessa da queste sorgenti è prodotta, a livello ato- mico, da un numero elevato di sorgenti tra loro indipendenti. Le onde prodotte so- no tra loro incoerenti ; cioè non mantengono una relazione di fase costante. Quindi, nota la fase dell’onda in un punto, non si può prevedere in alcun modo la fase del- l’onda in un altro punto (per esempio se l’onda è in un massimo o in un minimo). Onde incoerenti presentano rapide fluttuazioni di fase. Il risultato è una media de- gli effetti di interferenza cosicché l’intensità totale (o l’energia per unità di area) è data dalla somma delle intensità delle singole onde. Solo la sovrapposizione di onde coerenti produce il fenomeno dell’interferen- za. Le onde coerenti infatti si trovano in una relazione di fase costante tra loro. Le onde coerenti e incoerenti rappresentano delle estreme idealizzazioni: in generale tutte le onde reali si trovano in situazioni intermedie tra questi due limiti. La luce emessa da un laser può essere altamente coerente – due punti nel fascio possono es- sere coerenti anche se separati da diversi chilometri. La luce emessa da una sorgente puntiforme molto distante (come per esempio la luce generata da una stella o dal Sole) presenta qualche grado di coerenza. Thomas Young (1773-1829) effettuò i primi esperimenti di interferenza della lu- ce visibile ideando un sistema geniale per ottenere due o più sorgenti di luce coe- rente partendo da una unica sorgente luminosa (Fig. 23.1). Quando una sottile fen- ditura viene illuminata, l’onda luminosa che attraversa la fenditura subisce diffra- zione. La fenditura diviene quindi una sorgente coerente che viene utilizzata per il- luminare due altre fenditure che si comportano come due nuove sorgenti di luce coe- rente producendo interferenza.
L’interferenza di due onde coerenti Due onde sono dette in fase quando il punto di massima intensità (o picco) di un’on- da coincide con quello dell’altra onda. La differenza di fase tra due onde in fase è
Nella sovrapposizione di onde incoerenti l’intensità è pari alla somma delle intensità delle singole onde.
Fenditura singola
Luce incoerente
Due fenditure
FFiigguurraa 2233 .. 11
Esperimento di Young per due fenditure illuminate da luce coerente. La singola fenditura sulla sinistra agisce come sorgente di luce coerente.
900 Capitolo 23 Interferenza e diffrazione
vrapposizione di tali onde viene chiamata interferenza distruttiva. La differenza di fase per l’interferenza distruttiva è data da π rad più un multiplo intero di 2π rad. Quindi si ha ∆ φ = π + 2 m π rad = ( m + ^12 ) 2 π rad dove m indica un numero intero arbitrario. L’interferenza distruttiva di due onde con ampiezza 2 A e 5 A produce un’onda con ampiezza risultante 3A. L’ampiezza totale si annulla completamente solo quan- do le due onde hanno la stessa ampiezza. Due onde possono quindi avere una rela- zione di fase qualsiasi compresa tra questi due limiti: in fase o sfasate di 180°. Per riassumere:
Interferenza distruttiva di due onde:
Differenza di fase ∆ f = ( m + ^12 )2 p rad ( m = 0, ±1, ±2,.. .) (23-4)
Ampiezza A = A 1 – A 2 (23-5)
Intensità I = I 1 + I 2 – 2 I 1 I 2 (23-6)
La differenza di fase dovuta a differenti cammini ottici Consideriamo l’interferenza di due o più onde coerenti che percorrono cammini ot- tici differenti. Possiamo avere sia cammini ottici con lunghezze differenti che cam- mini ottici percorsi attraverso mezzi differenti o entrambe le situazioni. In genera- le, la differenza di lunghezza di cammino ottico introduce anche un cambiamento di fase – cioè una variazione nella relazione di fase tra le onde. Supponiamo di avere due onde inizialmente in fase che percorrono cammini ot- tici differenti nello stesso mezzo (Fig. 23.4). Se la differenza di lunghezza dei cam- mini ottici è data da ∆ l , pari a un numero intero di lunghezze d’onda
∆ l = ml ( m = 0, ±1, ±2,.. .) (23-7)
allora una delle due onde percorre un numero intero di cicli in più dell’altra. Que- sta situazione lascia le due onde ancora in fase – cioè le due onde interferiscono co- struttivamente. Si ricordi che una differenza di cammino ottico pari a una lunghez- za d’onda corrisponde a una differenza di fase pari a 2 π rad (vedere paragrafo 11.9). Differenze di lunghezza di cammino ottico pari a multipli interi di λ possono quin- di anche essere ignorate poiché non comportano alcuna variazione di fase relativa tra le due onde. Supponiamo ora che due onde inizialmente in fase percorrano cammini ottici che differiscono di un numero dispari di mezze lunghezze d’onda:
Una differenza di cammino ottico pari a un numero intero di lunghezze d’onda non modifica la sovrapposizione di due onde.
Sorgente 1
Sorgente 2
l 1 = 2.75 l
l 2 = 3.25 l
FFiigguurraa 2233 .. 44 Lo stesso
segnale elettrico arriva da due altoparlanti. Le onde sonore viaggiano seguendo cammini diversi prima di raggiungere l’ascoltatore. Lo sfasamento tra le due onde dipende dalla differenza delle due distanze percorse. In questo caso l 2 – l 1 = 0.50 λ, così le due onde arrivano all’ascoltatore sfasate di 180°. (Il grafico blu rappresenta le variazioni di pressione prodotte dalle due onde longitudinali).
Quindi l = 2.6 cm
Discussione Si noti che lo spostamento del
disco tra due massimi adiacenti è pari alla me- tà della lunghezza d’onda.
Problema di verifica 23.1 La differenza
di cammino ottico nell’interferenza
distruttiva
Verificare che dove viene rilevata l’intensità minima, la differenza di cammino ottico è pari a un multiplo semi-intero della lunghezze d’onda [∆ l = ( m + 1/2) λ].
Un trasmettitore a microonde ( T ) e un ricevi- tore ( R ) sono disposti uno di fianco all’altro (Fig. 23.5a). Due dischi metallici piatti ( M ) che riflettono bene le microonde sono posti di fron- te al trasmettitore e al ricevitore a una distan- za di diversi metri. Il fascio proveniente dal trasmettitore è sufficientemente largo da veni- re riflesso da entrambi i dischi metallici. Quan- do il disco inferiore viene spostato lentamen- te verso destra l’intensità dell’onda misurata al ricevitore oscilla tra un valore massimo e un valore minimo (Fig. 23.5b). Qual è approssi- mativamente la lunghezza d’onda delle mi- croonde?
Impostazione L’ampiezza massima viene
rilevata quando le onde riflesse dai due dischi metallici interferiscono in modo costruttivo sul ricevitore. Quindi le posizioni del disco che producono ampiezza massima si hanno quan- do la differenza di cammino ottico è pari a un multiplo intero della lunghezza d’onda.
Soluzione Quando il disco più basso vie-
ne allontanato dal trasmettitore e dal ricevito- re, l’onda riflessa percorre una distanza mag- giore per raggiungere il ricevitore. Se i due dischi me- tallici sono sufficientemente lontani dal trasmettitore e dal ricevitore allora le microonde raggiungono i di- schi e vengono riflesse lungo la stessa linea. La di- stanza aggiuntiva percorsa vale circa 2 x. Si ha interferenza costruttiva quando i cammini ottici differiscono di un multiplo intero della lun- ghezza d’onda:
∆ l = 2 x = ml ( m = 0, ±1, ±2,.. .)
Per due massimi adiacenti si ha:
2 ∆ x = l I massimi sono localizzati in x = 3.9, 5.2 e 6.5 cm, ∆ x = 1.3 cm.
Esempio 23.
L’interferenza di microonde
∆ l = ±^12 l, ±^32 l, ±^52 l,... = ( m + ^12 ) l ( m = 0, ±1, ±2,.. .) (23-8)
Una delle due onde percorrerà quindi mezzo ciclo in più dell’altra (più eventualmente un numero intero di cicli completi che però possono essere considerati trascurabili). Le due onde risultano sfasate di 180°; quindi interferiscono in modo distruttivo. Quando due onde percorrono cammini ottici in mezzi diversi è necessario con- siderare separatamente il numero di cicli percorsi in ogni singolo mezzo (poiché la lunghezza d’onda varia quando l’onda passa da un mezzo a un altro).
23.1 L’interferenza costruttiva e distruttiva 901
4.5 5.
(b)
3.5 4.0 5.5 6.0 6.
Potenza al R
x (cm)
(a)
T
x
M
M
R
Figura 23. (a) Trasmettitore, ricevitore e specchi riflettenti ( M ) per microonde; (b) potenza delle microonde in funzione di x.
23.2 L’interferometro di Michelson 903
23.2 L’INTERFEROMETRO DI MICHELSON
Albert Michelson (1852-1931) inventò l’interferometro, uno strumento che permise di determinare se il moto della Terra possa influenzare la velocità della luce misu- rata da un osservatore sulla Terra. Il principio su cui si basa l’interferometro di Michelson (Fig. 23.7) è molto sem- plice. Un fascio di luce coerente incide su un separatore di fascio S che riflette me- tà della luce incidente trasmettendone l’altra metà. In questo modo il fascio di luce coerente generato da un’unica sorgente viene suddiviso in due fasci che seguono cammini ottici differenti attraverso le cosiddette “ braccia ” dell’interferometro e ven- gono riflessi da due specchi argentati ( M 1 , M 2 ). Il separatore di fascio nuovamente riflette solo metà di ogni fascio incidente pro- veniente dalle “braccia” dell’interferometro, trasmettendone l’altra metà. La luce di- retta verso la sorgente laser lascia l’interferometro. La luce rimanente si sovrappo- ne in un unico fascio che viene proiettato su uno schermo. Si può quindi produrre una differenza di fase tra i due fasci che si sovrappon- gono poiché le “braccia” dell’interferometro hanno differenti lunghezze oppure per- ché i due fasci nelle “braccia” dell’interferometro attraversano mezzi differenti. Se i due fasci raggiungono lo schermo in fase interferiscono in modo costruttivo pro- ducendo quindi un punto di massima intensità ( frangia luminosa ) se invece arriva- no sfasati di 180° interferiscono in modo distruttivo producendo un punto di mini- ma intensità ( frangia scura ).
L’interferometro di Michelson
Esempio 23.
La misura dell’indice di rifrazione dell’aria
Supponiamo di avere un recipiente trasparente lun- go 30 cm in un braccio dell’interferometro di Mi- chelson. Il recipiente contiene inizialmente aria a 0 °C e 1 atm. Gli specchi dell’interferometro sono di- sposti in modo che appaia al centro dello schermo un punto luminoso utilizzando luce di lunghezza d’onda di 633 nm nel vuoto. Quando l’aria viene gradualmente aspirata dal recipiente la regione cen- trale dello schermo varia da chiaro a scuro e di nuo- vo a chiaro 274 volte, cioè vengono contate 274 frange luminose (non considerando la frangia lumi- nosa iniziale). Calcolare l’indice di rifrazione del- l’aria.
Impostazione Quando l’aria viene aspirata i
cammini ottici percorsi nelle due braccia dell’inter- ferometro non cambiano ma varia il numero di onde nel braccio dell’interferometro poiché l’indice di ri- frazione nel recipiente diminuisce gradualmente da un valore iniziale n fino ad 1. Ogni nuova frangia lu- minosa indica che il numero di onde è cambiato di una o più lunghezze d’onda.
Soluzione Sia n l’indice di rifrazione dell’aria a
0 °C e 1 atm. Se la lunghezza d’onda nel vuoto va- le λ 0 = 633 nm allora la lunghezza d’onda in aria è data da λ = λ 0 /n. Inizialmente il numero di onde
Sorgente luminosa
Schermo (^) M 1
M 2
S
d 1
d 2
FFiigguurraa 2233 .. 77
L’interferometro di Michelson.
904 Capitolo 23 Interferenza e diffrazione
presenti nel tratto di andata e ritorno attraverso il recipiente è:
dove d = 30 cm indica la lunghezza del recipiente. Quando l’aria viene aspirata il numero di onde di- minuisce poiché al decrescere di n la lunghezza d’onda aumenta. Assumendo che l’aria nel reci- piente venga completamente rimossa, il numero fi- nale di onde è:
La variazione del numero di onde N è uguale al nu- mero di frange luminose osservate:
Numero finale di onde distanza andata e rit = oorno lunghezza d’onda nel vuoto
=
0
d λ
Numero iniziale di onde distanza andata e r =
iitorno lunghezza d’onda in aria
= =
0
d d λ λ / n
N =
l
0
d / n
–^
l
d 0
=^
l
d 0
( n^ – 1)
poiché N = 274 si può risolvere per n.
n = (^)
N
l d
^0 + 1 =^ + 1 = 1.
Discussione Il valore dell’indice di rifrazione
dell’aria misurato è simile a quello dell’aria secca (n = 1.000293).
Problema di verifica 23.2 Un metodo
alternativo
Invece di contare le frange, un modo alternativo per misurare l’indice di rifrazione dell’aria è quello di spostare uno dei due specchi quando l’aria viene aspi- rata dal recipiente mantenendo una frangia luminosa sullo schermo. La distanza a cui è mosso lo specchio può essere misurata per calcolare n. Lo specchio che viene mosso deve essere avvicinato o allontanato se è quello posto nel braccio dell’interferometro che non contiene il recipiente?
274 × 6.33 × 10 –7^ m 2 × 0.300 m
Il microscopio a interferenza Un microscopio a interferenza aumenta il contrasto dell’immagine quando vengono osservati oggetti che sono quasi trasparenti. Una cellula in soluzione acquosa è dif- ficile da osservare con un microscopio ottico tradizionale. Infatti la cellula riflette solo una piccola frazione della luce incidente trasmettendo quasi la stessa quantità di luce dell’acqua e quindi si crea poco contrasto tra la cellula e l’acqua circostan- te. Se l’indice di rifrazione della cellula è differente da quello dell’acqua la luce tra- smessa attraverso la cellula risulta sfasata rispetto alla luce che attraversa l’acqua. Il microscopio a interferenza sfrutta questa differenza di fase. Come nell’interferome- tro di Michelson, un singolo fascio di luce viene diviso in due fasci che successiva- mente vengono ricomposti. La luce che passa lungo un “braccio” dell’interferome- tro passa attraverso il campione. Quando i fasci si ricompongono l’interferenza “tra- sforma” le differenze di fase che risultano invisibili in un microscopio ottico tradi- zionale in differenze di intensità luminosa che sono invece facilmente visibili.
23.3 I FILM SOTTILI
Lo spettro a colori (ad arcobaleno) visibile nelle bolle di sapone e nelle macchie d’olio è dato dall’interferenza della luce. Supponiamo di avere un telaio che viene immerso in acqua saponata, tenuto sollevato verticalmente, con un sottile film di ac- qua saponata adeso al telaio. Per effetto della forza di gravità il film è molto sottile nella parte più alta del telaio – dove è spesso solo poche molecole – e diviene sem- pre più spesso avvicinandosi alla parte inferiore del telaio. Illuminiamo ora il film con luce bianca proveniente da una sorgente posta dietro alla macchina fotografica; la fotografia mostrerà quindi la luce riflessa dal film. A meno che non sia espressa- mente affermato, in seguito considereremo sempre soltanto l’interferenza prodotta da luce che incide perpendicolarmente sul film sottile. Tuttavia i diagrammi dei cam- mini ottici mostreranno sempre raggi luminosi incidenti sul film quasi - perpendico-
Il microscopio a interferenza
Colori in un film di acqua saponata e macchie d’olio
Esempio 2.2 Continua
906 Capitolo 23 Interferenza e diffrazione
Quando i raggi luminosi, che incidono perpendicolarmente o quasi–perpendico- larmente, vengono riflessi da una superficie di un mezzo in cui viaggiano più len- tamente (quindi con un indice di rifrazione più alto ), l’onda riflessa risulta in- vertita (si ha una variazione di fase di 180°). Quando i raggi luminosi vengono riflessi da un mezzo dove viaggiano più velocemente (quindi con un indice di ri- frazione inferiore ), l’onda riflessa non viene invertita (non c’è nessuna variazio- ne di fase). (Vedere Fig. 23.10). Non invertito (nessun cambiamento di fase)
Invertito (sfasamento di 180°)
Mezzo più veloce (n minore)
Mezzo più lento (n maggiore)
Trasmesso
Trasmesso
Incidente
Incidente
Riflesso
Riflesso
FFiigguurraa 2233 .. 1100 Si ha uno
sfasamento di 180° quando la luce viene riflessa da un mezzo più lento.
Per determinare se i raggi 1 e 2 riportati in Fig. 23.8 interferiscono in modo co- struttivo o distruttivo dobbiamo considerare sia la variazione di fase relativa prodotta dalla riflessione che l’aumento della lunghezza del cammino ottico percorso dal rag- gio 2 all’interno del film sottile. A seconda dei valori degli indici di rifrazione dei tre mezzi attraversati dai raggi luminosi (il film sottile e i due mezzi esterni al film) si può avere che nessun raggio venga invertito dalla riflessione, che siano invertiti entrambi i raggi o solo uno dei due. Se l’indice di rifrazione del film n f ha un valo- re compreso tra quelli degli altri due mezzi ( n i e n t), non c’è alcuna variazione di fa- se relativa dovuta alla riflessione; entrambi i raggi cioè risultano invertiti o non in- vertiti. Se l’indice di rifrazione del film ha un valore maggiore o minore di quello degli altri due mezzi allora uno dei due raggi risulta invertito; in entrambi i casi quin- di si ha uno sfasamento di 180°.
I film sottili
- Fare uno schema dei raggi e disegnare i primi due raggi riflessi. Anche se il problema riguarda raggi con incidenza normale, disegnare il raggio inciden- te con un angolo diverso da zero per separare i vari raggi. Scrivere gli indici di rifrazione.
- Stabilire se vi sia uno sfasamento di 180° tra i due raggi a causa della rifles sione.
- Se non c’è sfasamento relativo, allora una traiettoria aggiuntiva di m λ man- tiene i due raggi in fase, l’interferenza sarà quindi costruttiva. Una traiettoria aggiuntiva di ( m + ^12 ) λ provoca interferenza distruttiva. Si tenga presente che λ è la lunghezza d’onda all’ interno del film, poiché quello è il mezzo in cui propaga il raggio 2 per la distanza extra.
- Se c’è uno sfasamento relativo di 180° dovuto alla riflessione, allora una tra- iettoria aggiuntiva di m λ mantiene i due raggi sfasati, l’interferenza sarà quin- di distruttiva. Una traiettoria aggiuntiva di ( m + ^12 ) λ provoca interferenza costruttiva.
- Si ricordi che il raggio 2 fa un percorso di andata e ritorno nel film. Per inci- denza normale, la traiettoria aggiuntiva sarà 2 t.
Esempio 23.
Come appare un film di acqua saponata
Un film di acqua saponata in aria viene tenuto verti- calmente e osservato in luce riflessa. Il film ha un in- dice di rifrazione pari a n = 1.36. (a) Spiegare per- ché il film appare scuro nella parte superiore. (b) La luce riflessa perpendicolarmente al film in un deter- minato punto manca delle lunghezze d’onda 504 nm e 630 nm; tra le due non manca nessuna altra lun- ghezza d’onda. Quale è lo spessore del film in quel punto? (c) Manca anche qualche altra lunghezza
d’onda dello spettro visibile? Se manca, quale è il va- lore della lunghezza d’onda?
Impostazione In Fig. 23.11 sono stati schema-
tizzati i cammini ottici percorsi da due raggi lumi- nosi riflessi dal film e indicati gli indici di rifrazione e lo spessore del film. Lo schema ci aiuta a determi- nare se si produce una differenza di fase relativa di 180°. Poiché la parte superiore del film appare scura
23.3 I film sottili 907
Pellicola di acqua saponata (lento)
Aria (veloce)
Aria (veloce)
n = 1 n = 1.36 n = 1
Raggi riflessi
1 π 20
Raggio incidente
t
A B (^) Sfasamento dato dalla riflessione
FFiigguurraa 2233 .. 1111 I primi due raggi riflessi da una pellicola di acqua saponata. In A, il raggio riflesso 1 è invertito. In B, il raggio riflesso 2 non è invertito.
ci deve essere interferenza distruttiva per tutte le lun- ghezze d’onda dello spettro visibile. Nella regione in- feriore del film le lunghezze d’onda che mancano in luce riflessa sono quelle che interferiscono in modo distruttivo; si ricordi che lo sfasamento è prodotto sia dalla riflessione che dall’allungamento del cammino ottico del raggio 2 nel film.
Soluzione (a) La lunghezza d’onda della luce nel
film è minore che in aria. Quindi il raggio 1 riflesso da un mezzo dove la luce viaggia più lentamente (il film) è invertito; il raggio 2 invece riflesso da un mez- zo dove la luce viaggia più velocemente (l’aria) non è invertito. C’è quindi una differenza di fase relativa di 180° tra i due raggi indipendentemente dalla lun- ghezza d’onda. Per la forza di gravità il film è più sot- tile nella parte superiore. Il raggio 2 presenta uno sfa- samento rispetto al raggio 1 dovuto all’allungamento del cammino ottico. L’unico modo per conservare l’interferenza distruttiva per tutte le lunghezze d’on- da è che lo spessore della parte superiore del film sia minore rispetto alle lunghezze d’onda dello spettro visibile; allora lo sfasamento del raggio 2 dovuto al- l’allungamento del cammino diventa trascurabile. (b) Consideriamo la luce riflessa perpendicolarmen- te al film (incidenza normale). Il raggio riflesso 2 per- corre una distanza aggiuntiva 2 t rispetto al raggio 1 introducendo quindi uno sfasamento. Poiché esiste già una differenza di fase relativa di 180° dovuta al- la riflessione, la differenza di cammino ottico 2 t de- ve essere pari a un multiplo intero di lunghezze d’on- da per dare interferenza distruttiva:
2 t = ml = m l n
^0
Supponiamo che λ0, m = 630 nm sia la lunghezza d’on- da nel vuoto per la quale la differenza di cammino ot- tico sia pari a m λ con m arbitrario. Poiché non manca
nessuna lunghezza d’onda tra le due, λ0,( m +1) = 504 nm deve essere la lunghezza d’onda nel vuoto per la qua- le la differenza di cammino ottico è pari a m + 1 volte la lunghezza d’onda nel film. Perché non m – 1? 504 nm è più piccolo di 630 nm quindi nel cammino 2 t c’è un numero maggiore di onde.
2 nt = ml 0, m = ( m + 1) l 0,( m +1) Possiamo risolvere per m : m × 630.0 nm = ( m + 1) × 504 nm = m × 504 nm + 504 nm m × 126 nm = 504 nm
m = 4. allora lo spessore è
t = (^) m 2
l n
^0 =^ ^ 4.
×
×
0 nm = 926.47 nm = 926 nm
(c) Conosciamo le lunghezze d’onda mancanti per m = 4 e m = 5, consideriamo ora gli altri valori di m :
2 nt = 2 × 1.36 × 926.47 nm = 2520 nm Per m = 3
l 0 = (^)
m
nt =^
nm = 840 nm
che corrisponde a una lunghezza d’onda nell’infraros- so. Non dobbiamo considerare m = 1 e m = 2 poiché danno valori di lunghezze d’onda maggiori di 840 nm
- fuori quindi dallo spettro visibile. Per m = 6:
l 0 = (^)
m
nt =^
nm = 420 nm
Questa lunghezza d’onda è ancora nello spettro visi- bile. Per m = 7?
l 0 =
m
nt =
nm = 360 nm
360 nm è nell’UV. Quindi l’unica altra lunghezza d’onda mancante nel visibile è 420 nm.
Discussione Come controllo possiamo verificare
direttamente che le tre lunghezze d’onda mancanti nel vuoto propagano un numero intero di onde nel film:
l 0 l = 1
l .
0 6
ml
420 nm 308.8 nm (^6) × 308.8 nm = 1853 nm 504 nm 370.6 nm (^5) × 370.6 nm = 1853 nm 630 nm 463.2 nm (^4) × 463.2 nm = 1853 nm
Esempio 23.3 Continua
23.3 I film sottili 909
piccola percentuale dell’intensità della luce incidente viene riflessa da ogni superfi- cie, la riflessione delle molte lenti che compongono uno strumento implica che una frazione considerevole della luce incidente venga riflessa. Il più comune materiale utilizzato come rivestimento antiriflesso è il fluoruro di magnesio (MgF 2 ) che ha un valore dell’indice di rifrazione n = 1.38 compreso quin- di tra quello dell’aria ( n = 1) e quello del vetro ( n ≈ 1.5 o 1.6). Lo spessore del ri- vestimento antiriflesso viene scelto in modo che si abbia interferenza distruttiva per le lunghezze d’onda della regione centrale dello spettro visibile.
Le ali di una farfalla
I colori cangianti che si osservano in molte farfalle, falene, uccelli e pesci sono pro- dotti dall’interferenza della luce che viene riflessa da strutture a forma di gradino o da scaglie parzialmente sovrapposte localizzate sulla loro superficie esterna. Un esempio molto evidente è il colore blu brillante della farfalla Morpho. La Fig. 23.13a mostra l’ala della farfalla Morpho vista al microscopio elettronico. Le strutture a forma di al- bero sporgenti dalla superficie dell’ala sono costituite da materiale trasparente. La lu- ce viene riflessa da tali strutture. Consideriamo per esempio due raggi luminosi riflessi da due gradini successivi di spessore t 1 distanti t 2. (Fig. 23.13b). Entrambi i raggi so- no invertiti dalla riflessione e quindi non si ha nessuna variazione di fase relativa. Ad incidenza normale, la differenza di cammino ottico è data da: 2 ( t 1 + t 2 ). Tut- tavia i raggi attraversano lo spessore del gradino t 1 con indice di rifrazione n = 1.5. Non possiamo calcolare la lunghezza d’onda corrispondente all’interferenza co- struttiva semplicemente uguagliando la differenza di cammino ottico a un numero intero di lunghezze d’onda: infatti, quale lunghezza d’onda dovremmo utilizzare?
I colori brillanti delle ali della farfalla
(a) (c)
(b)
Aria t 2 = 127 nm
Aria
t 1 = 64 nm
1 2
n = 1.
n = 1.
t 2 = 127 nm n = 1.5 t 1 = 64 nm
n = 1.
1 2 1 2
FFiigguurraa 2 23 3..1 133 (a) Le ali della farfalla Morpho viste al microscopio elettronico. (b) I raggi riflessi da due strati
consecutivi interferiscono. L’interferenza costruttiva produce il colore blu brillante dell’ala. Per rendere comprensibile la figura i raggi non sono disegnati perpendicolari. (c) Un’altra coppia di raggi che interferiscono.
910 Capitolo 23 Interferenza e diffrazione
Per risolvere il problema dobbiamo vedere la differenza di cammino ottico in ter- mini del numero di lunghezze d’onda. Il numero di lunghezze d’onda che ci sono, nel caso del raggio 2, nella distanza 2 t 1 (andata-ritorno) è:
l
t 1 = l
0
t /
1 n
dove λ 0 indica la lunghezza d’onda nel vuoto e λ = λ 0 / n la lunghezza d’onda in un mezzo con indice di rifrazione n. Il numero di lunghezze d’onda che si hanno in aria nella distanza 2 t 2 (andata-ritorno) è:
l
t 2 =^
l
t 0
^2
Utilizzando la condizione di interferenza costruttiva, il numero aggiuntivo di lun- ghezze d’onda, nel raggio 2 rispetto al raggio 1, deve essere un numero intero:
l
0
t /
1 n
+^
l
t 0
^2 =^ m
Possiamo risolvere l’equazione rispetto a λ 0 per trovare le lunghezze d’onda che in- terferiscono in modo costruttivo:
l 0 = (^) m
( nt 1 +^ t 2 )
Per m = 1 l 0 = 2(1.5 × 64 nm + 127 nm) = 2 × 223 nm = 446 nm Questa è la lunghezza d’onda dominante nella luce quando osserviamo l’ala della farfalla a incidenza normale. Abbiamo considerato solo la riflessione prodotta dal bordo superiore di due gradini adiacenti e in questo caso la luce interferisce in mo- do costruttivo. Evidentemente si otterrà lo stesso risultato ogni volta che la luce vie- ne riflessa da due gradini successivi. Per valori maggiori di m si ha interferenza costruttiva solo per lunghezze d’on- da al di fuori dallo spettro visibile (nello spettro UV). Poiché la lunghezza del cammino ottico percorso dal raggio 2 dipende dall’an- golo di incidenza, la lunghezza d’onda della luce che interferisce in modo costrut- tivo dipende anche dall’angolo di osservazione (si veda il quesito 16). Così, il co- lore dell’ala varia al variare dell’angolo di osservazione producendo la sua brillan- te iridescenza. Finora abbiamo trascurato la riflessione prodotta dal bordo inferiore del gradi- no. I raggi riflessi dal bordo inferiore di due gradini adiacenti interferiscono ancora in modo costruttivo alla stessa lunghezza d’onda di 446 nm poiché la differenza di cammino ottico è sempre la stessa. L’interferenza di un’altra coppia di raggi (Fig. 23.13c) produce interferenza costruttiva solo per lunghezze d’onda nello spettro UV poiché la differenza di cammino ottico è troppo piccola.
23.4 L’ESPERIMENTO DELLA DOPPIA FENDITURA
DI YOUNG
Nel 1801 Thomas Young ideò un esperimento di interferenza da doppia fenditura che dimostrò la natura ondulatoria della luce e permise la prima misura sperimentale del- la sua lunghezza d’onda. La Fig. 23.14 mostra lo schema dell’esperimento di Young. Luce coerente di lunghezza d’onda λ illumina una maschera nella quale sono state incise due sottili fenditure parallele. Ogni singola fenditura ha una larghezza a com- parabile alla lunghezza d’onda λ e una lunghezza L con L >> a ; i centri delle due fenditure sono separati da una distanza d. Quando la luce proveniente dalle due fen- diture viene osservata in un punto su uno schermo posto a grande distanza D dalle fenditure cosa si osserva sullo schermo? – in che modo l’intensità luminosa I dipende dall’angolo θ che individua il punto sullo schermo rispetto alle fenditure?
912 Capitolo 23 Interferenza e diffrazione
0^ x (b)
(c)
Schermo
Fronte d’onda piano
l
q
I m^ = 0 m = –1 m = 1
m = 2
x
m = –
D
(a)
FFiigguurraa 2233 .. 1155 L’interferenza
prodotta dalla doppia fenditura usando luce rossa. (a) Foto della figura di diffrazione prodotta sullo schermo. L’interferenza costruttiva crea punti di luce rossa intensa mentre l’interferenza distruttiva lascia lo schermo scuro. (b) L’intensità in funzione della posizione x sullo schermo. I massimi (interferenza costruttiva) sono indicati con il valore di m associato. (c) Una ricostruzione secondo il principio di Huygens dell’esperimento della doppia fenditura. Le linee blu rappresentano gli antinodi (punti dove le onde interferiscono costruttivamente). Notare la relazione tra x , la posizione sullo schermo, e l’angolo θ : tan θ = x / D , dove D indica la distanza tra le fenditure e lo schermo.
L’intensità minima (lo zero) sullo schermo è prodotta dall’interferenza distruttiva; si ha interferenza distruttiva quando la differenza di cammino ottico è pari a un mul- tiplo dispari di mezza lunghezza d’onda:
Schermo
D
A B
d (a)
a
q
A
B d sin q
d
(b)
S 1 S 2
q q
q
FFiigguurraa 2233 .. 1166 (a) Raggi uscenti da due fenditure diretti verso uno schermo
vicino. Allontanando lo schermo diminuisce l’angolo α – i raggi diventano sempre più paralleli. (b) Se lo schermo è molto distante i due raggi possono essere considerare paralleli (ma si intersecano ancora nello stesso punto sullo schermo). La differenza di cammino ottico vale d sin θ.
Minimi nell’interferenza da doppia fenditura:
d sin q = ( m + ^12 ) l ( m = 0, ±1, ±2,.. .) (23-11)
Nella Fig. 23.15 le frange chiare e scure sono ugualmente spaziate. Nel problema 28 si vede come le frange di interferenza risultano ugualmente spaziate al centro della figura di interferenza dove cioè l’angolo θ è piccolo. La Fig. 23.17 mostra l’interferenza di onde di acqua prodotte in una vasca. Le onde superficiali vengono generate nell’acqua da due sorgenti puntiformi che vi- brano con la stessa frequenza e in fase, quindi da due sorgenti coerenti. La figura di interferenza in punti lontani dalle due sorgenti è simile a quella ottenuta nell’espe- rimento dell’interferenza di onde luminose da doppia fenditura. Se d indica la di- stanza tra le due sorgenti, le equazioni (23-10) e (23-11) permettono di calcolare i valori degli angoli θ per cui si ha interferenza costruttiva e distruttiva. Utilizzando
23.4 L’esperimento della doppia fenditura di Young 913
FFiigguurraa 2233 .. 1177 Onde
d’acqua generate in un recipiente da due sorgenti che producono interferenza. Le linee di antinodi corrispondono alle direzioni di massima intensità nell’esperimento della doppia fenditura; le linee dei nodi corrispondono ai minimi.
una vasca d’acqua per produrre la figura di interferenza si possono facilmente os- servare i fronti d’onda. Si noti la grande somiglianza tra le Figg. 23.17 e 23.15c. I punti dove si ha interferenza costruttiva sono chiamati antinodi ( ventri ). Come per le onde stazionarie, la sovrapposizione di due onde coerenti implica che in alcuni punti – gli antinodi – si abbia la massima ampiezza. I punti dove si ha interferenza com- pletamente distruttiva sono chiamati nodi. In un’onda stazionaria unidimensionale (una molla) i nodi e gli antinodi sono punti singoli. Nelle onde bidimensionali (onde d’ac- qua in una vasca) i nodi e gli antinodi individuano delle curve. Nelle onde tridimen- sionali (onde luminose o sonore) i nodi e gli antinodi individuano delle superfici.
Esempio 23.
L’interferenza prodotta da due fenditure parallele
Un laser ( λ = 690 nm) viene utilizzato per illumina- re due fenditure parallele. Su uno schermo posto a 3.30 m dalle fenditure vengono osservate le frange di interferenza. La distanza fra frange luminose adia- centi, al centro della figura di interferenza, è 1.80 cm. Qual è la distanza tra le due fenditure?
Impostazione Le frange luminose si hanno ad
angoli θ dati dalla relazione: d sin θ = m λ. La di- stanza tra i massimi per m = 0 e m = 1 vale x = 1. cm. Uno schema ci aiuta a vedere la relazione tra l’angolo θ e le distanze.
Soluzione La frangia luminosa centrale ( m = 0)
corrisponde a θ 0 = 0. La frangia luminosa adiacente ( m = 1) si ha a un angolo dato da:
d sin q 1 = l
La Fig. 23.18 schematizza la geometria del proble- ma. L’angolo individuato dalle linee che congiungo- no i due massimi è θ 1. La distanza tra questi due mas- simi sullo schermo viene indicata con x mentre la di- stanza delle fenditure dallo schermo con D. Possia- mo calcolare θ 1 da x e D :
tan q (^) 1 = (^) D
x =^
m
m = 0.
q 1 = tan–1^ 0.005455 = 0.3125°
Sostituendo θ 1 nella condizione del massimo per m = 1 si ha:
d = (^) sin
l q (^) 1
=^
si
n
n 2
m 5°
=^
n 5
m 4
= 0.127 mm
Discussione Si deve notare che poiché x << D , θ 1
è un angolo piccolo – questo perché il seno e la tan- gente hanno valori uguali fino alla terza cifra signi-
q 1 D
x
Schermo
Doppia fenditura
m = 1
m = 0
Figura 23. Schema dell’esperimento della doppia fenditura descritto nell’esempio 23.4.
23.5 I reticoli 915
Massimi per un reticolo:
d sin q = ml ( m = 0, ±1, ±2,.. .) (23-10)
Come per il sistema di due sole fenditure m viene chiamato ordine del massimo. Per le due fenditure si ha una graduale variazione dell’intensità da un massimo a un minimo e di nuovo a un massimo. Invece, in un reticolo con un elevato nume- ro di fenditure, i punti di massimo sono stretti e l’intensità in ogni altro punto di- venta quasi trascurabile. Come può la presenza di molte fenditure rendere i massi- mi cosi stretti? Supponiamo di avere un reticolo con N = 100 fenditure, numerate da 0 a 99. Il massimo di primo ordine si ha per un angolo θ per il quale la differenza di cammi- no ottico tra le fenditure 0 e 1 è pari a d sin θ = λ. Si supponga ora di osservare a un angolo leggermente maggiore θ + ∆ θ in modo che valga d sin ( θ + ∆ θ) = 1_._ 01 λ. I raggi provenienti dalle fenditure 0 e 1 sono in fase; quindi, se ci fossero state so- lo due fenditure, il valore dell’intensità sarebbe simile a quello del massimo. Con 100 fenditure ogni singolo raggio è 1_._ 01 λ più lungo del precedente. Se la lunghez- za del raggio proveniente dalla fenditura 0 è l 0 , allora la lunghezza del raggio pro- veniente dalla fenditura 1 è l 0 + 1_._ 01 λ, la lunghezza del raggio proveniente dalla fen- ditura 2 è l 0 + 2_._ 02 λ, e cosi via. La lunghezza del raggio proveniente dalla fenditu- ra 50 è quindi l 0 + 50_._ 50 λ; così i due raggi provenienti dalle fenditure 0 e 50 inter- feriscono in modo distruttivo poiché la differenza di cammino ottico è pari a un nu- mero dispari di mezze lunghezze d’onda. Similmente le fenditure 1 e 51 interferi- scono in modo distruttivo (51_._ 51 λ – 1_._ 01 λ = 50_._ 50 λ) ; le fenditure 2 e 52 interferi- scono in modo distruttivo e così via. Poiché la luce proveniente da ogni fenditura interferisce in modo distruttivo con la luce proveniente dalle altre fenditure, l’in- tensità luminosa sullo schermo si annulla completamente. Quindi l’intensità lumi- nosa varia da un valore massimo in θ a un valore minimo in θ + ∆ θ. L’angolo ∆ θ individua l’angolo sotteso dal segmento che unisce il punto cen- trale del massimo con uno dei due estremi dello stesso massimo. In generale si ve- rifica che la larghezza dei punti di massimo è inversamente proporzionale al nume- ro di fenditure (∆ θ ∝ 1 /N ). Maggiore è il numero di fenditure del reticolo più stret- to è il punto di massimo. Con l’aumentare di N i punti di massimo sono anche più luminosi. Più fenditure infatti lasciano passare più luce attraverso il reticolo e con- vogliano l’energia luminosa in punti di massimi più stretti. Poiché la luce prove- niente da N fenditure interferisce in modo costruttivo, l’ampiezza dei punti di mas- simo è proporzionale a N mentre l’intensità luminosa è proporzionale a N^2. I punti di massimo in un reticolo di diffrazione sono quindi stretti e localizzati ad angoli differenti per le diverse lunghezze d’onda della luce. Perciò:
I massimi prodotti da un reticolo sono individuati dagli stessi angoli dei massimi prodotti da due fenditure con la stessa d.
Un reticolo è in grado di separare la luce nelle diverse lunghezze d’onda che la compongono.
Esempio 23.
La distanza delle fenditure in un reticolo
Illuminiamo con luce bianca intensa un reticolo. Una pellicola a colori viene disposta come in Fig. 23.20a e raccoglie la luce proveniente dal reticolo a tutti gli angoli (da –90° a +90°). La Fig. 23.20b mostra la fo- tografia risultante. Stimare il numero di fenditure per cm del reticolo.
Impostazione Il reticolo separa la luce bianca nei
colori dello spettro visibile. Ogni colore forma un massimo all’angolo dato da: d sin θ = m λ. Dalla Fig. 23.20b si può vedere che ci sono altri massimi oltre a quello del primo ordine. Trovando la lunghezza d’onda della luce che ha impressionato il bordo del-
Il sistema di puntamento dei lettori CD I dati trascritti su un CD sono codificati come piccole cavità disposte secondo una traccia a forma di spirale larga 0.5 μm (Fig. 23.21). Una superficie piana di allu- minio larga 1.6 μm si trova ai due lati di ogni traccia con la funzione di separare due tracce adiacenti sul CD. Una tra le funzioni più complesse di un lettore CD (o CD-ROM) è quella di mantenere il fascio laser ben centrato sulla traccia a spirale che sta leggendo. Un metodo per centrare il fascio laser sulla traccia è basato sul- l’uso di un reticolo per dividere il fascio laser in tre fasci distinti. Il massimo cen- trale ( m = 0) è localizzato sulla traccia. I massimi del primo ordine ( m = ± 1) ope- rano come dei fasci sensori; essi vengono riflessi dalle superfici piane di allumino ai lati della traccia verso dei rivelatori. Solitamente l’intensità riflessa è costante. Se uno dei due fasci sensori colpisce la cavità di una traccia adiacente a quella in lettura, la variazione nell’intensità riflessa segnala che la posizione del laser deve essere modificata. Alcuni CD-ROM molto veloci utilizzano un reticolo per dividere il fascio laser in sette fasci – cioè dal massimo di ordine zero ( m = 0) fino al massimo di terzo or-
do λ = 500 nm e m = 3 per il massimo di terzo ordi- ne, possiamo ricavare la distanza tra le fenditure. d sin q = ml
d = s
m in
l q
3 ×
si
n
n °
m = 1500 nm
Quindi il numero di fenditure per cm è:
d
=^
1500 ×
10 –9^ m
= 670000 fenditure/m
= 6700 fenditure/cm
Discussione Il risultato ottenuto appare ragione-
vole per un reticolo. Se si fosse trovato un valore di 67 milioni di fenditure/cm o di 67 fenditure/cm avremmo potuto pensare a un errore. Per un massimo a 90° non si può usare l’ap- prossimazione per angoli piccoli! Spesso si os- serveranno massimi formati da reticoli ad angoli gran- di dove non si può usare tale approssimazione.
Problemi di verifica 23.6 La distanza
delle fenditure per lo spettro del terzo
ordine completo
Quante fenditure per cm avrebbe il reticolo se nella fotografia ci fosse lo spettro del terzo ordine com- pleto? Ci sarebbe anche parte del quarto ordine?
la fotografia – luce che ha lasciato il reticolo a ±90°
- e conoscendo l’ordine del massimo, possiamo cal- colare la distanza tra le fenditure.
Soluzione Il massimo centrale ( m = 0) appare
bianco poiché è dato dall’interferenza costruttiva di tutte le lunghezze d’onda. Ai due lati del massimo centrale si trovano i massimi del primo ordine. Pri- ma (quindi per angoli più piccoli) si incontra il vio- letto del primo ordine (lunghezza d’onda minore); per ultimo (quindi per angoli più grandi) si incontra il rosso (lunghezza d’onda maggiore). Poi si ha uno spa- zio vuoto dove non ci sono massimi. Allontanandosi dal massimo centrale si trovano ora i massimi del se- condo ordine che partono ancora dal violetto. I colo- ri non sono però disposti secondo l’ordine descritto per i massimi del primo ordine poiché i massimi del terzo ordine appaiono prima che quelli del secondo ordine siano terminati. Lo spettro del terzo ordine non è completo; l’ultimo colore che riusciamo a vedere a ogni estremo ( θ = ±90°) è verde azzurro. Il massimo del terzo ordine per il verde azzurro si ha a ±90°. Le lunghezze d’onda che appaiono verde azzur- re sono all’incirca di 500 nm (Paragrafo 20.4). Usan-
916 Capitolo 23 Interferenza e diffrazione
Pellicola
(a)
(b)
Reticolo
Luce bianca
θ
Pellicola
(a)
(b)
Reticolo
Luce bianca
θ
Figura 23. (a) Luce bianca incidente su un reticolo. (b) La pellicola sviluppata.
Laser
Reticolo
Traccia
Cavità Superficie piana
Superficie piana
FFiigguurraa 2233 .. 2211 Sistema
di puntamento a tre raggi.
Sistema di puntamento di un lettore CD
Esempio 23.6 Continua
