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1) DISUGUAGLIANZA DI CHEBYSHEV ICASO DISCRETO
La (^) probabilità di un (^) grosso scarto tra i^ valori^ di^ X e la^ media^ M E (^) RICOLA (^) , I I
quanto piccola^ dipende^ da^82 ,^ che^ misura^ la^ dispersione^ dei^ dati^ rispetto
9) valor medio .
sia X una v . C. qualsiasi con media M e varianza O?
Sia 8 >^0. Vale : P /yCARTOPICCOLO^ :ERRORE CHE COMMETTO SEUSOMPERDESCRIVERE XISEAPPOSSIMOXCONLAME^1
BIM] Sia A (^) = (X : (^) (X-M/ <^ S)
sia A (^) complementare t (^). c .= (X : (^) IX-M15]. Posso Scrivere (^) var(x) (^) = 0 2 = (^) [(X-M) f(x)^ = = (X - M) f(x)^ + (X^ - M(2f(x)-X - M(2 f(x)
Poiché i^ valori di X in E^ Soddisfano (X-MIS2 , allora :
(^02) %(X - M) - f(x) (^) -xf(x) (^) = f(x) Nel (^) caso continuo sarebbe I (^52) identica, ma invece di Ff(x) = (^) Enf(x) =^ P((X^ - Miz 8)102^ avremmo^ avuto^ Sif(x)dx ↓ [ f(x) = P(XEA) 52
- (^) EIX) DI UNA V. C (^). BINOMIALE CON PAR (^). N (^). (^) D. vogliamo dimostrare^ che^ E(X)^ =^ NB^ =^ no^ di^ prove.^ prob.^ di^ successo^ in^ ogni^ prova DMEsistonato modopercalare labinomiae(n -^ X = I = Xx)+
P
p(n
- x In& = (^) [-X (n-^ 1)^!^ P. pX(1 - p(n
- - (X - 1)
= X = 1
X(X- 1)!^ (n -^1 - (X - 1))!
y =^
x - 1pp I = np(nj1)py(
- p(n -^1 -^ y^ = m =^ n -^1 ↑ np(3)asym
= a =^ B B = 1 - B
= np(a + b)m =
I
= np(p + (1 - p)(m =
I
= mD. 1m =
I = (^) MB
- E(X) DI UNA V. C (^). BINOMIALE CON PAR (^). N (^). D. vogliamo dimostrare^ Che^ ElX2)^ =^ np^ +^ =^ pz-np ↓ VIX) (^) = E(Xz) -^ (E(X))2^ = P21 (^) =PENNx(X - 1) + (^) x)f(x) =
= MB +p2-np2-m>=
= nB - Dz.
= EX(X-^ 1)f(x)^ +^ Xf(x) = = X(X-1)f(X)^ +^ np = (^) posso partire da^ due^ poiché per X^ =^1 Viene^ 1(1-1)f(2)^ =^0 = (^) np +^ X(X-^ 1)f(x)^ = = (^) np +^ X(X^ -
- D = (^) np +-X(X- 1) n(n-^ 1)2n^ -^ 2)^!^ p2pX
- 2 - (X - 2)
=
X(X - 1)(X - 2)! (n - 2 - (X - 2))!
y =^ x^
- (^2) = (^) np + (^) n(n - 1)pP(1-D-
= 1 +^ n(n^ - 1(b2(p +^ (1^ - B((n
= mp +^ n(n- 1) =
= MB +^ m2bz - 1B
- E(X)^ DI^ UNA^ V.^ C. DI^ DOISSON^ (PAR. X) I conta il^ no^ di^ eventi rari^ : terremoti in^ un intervallo^ di^ tempo,no^ guerre in periodo un J , etc^. E(X) = X (^).
y =^ X^ -^1
= =exe = Xe-
= X^.
exp.
- (^) E(X) DI UNA (^) V. C. DI DOISSON (^) (PAR. X)
E(Xz) = x2^ +^ X
= e (^) =(x(X-1 + XX(X-1)
X!^ - = X^ +X(x -^ 1)(
e
- " =^ x^ +^ e- X(X^ -^ 1)^ X2xX - 2 = x^ +^ x2e - x =
X ! X(X- 1)(X- 2)!
y =^ x^
X
- (^) FUNZIONE GENERATRICE DEL MOMENTI VC (^) N(M (^) , 0 Sia Gx(t) (^) = Elet]^ , (^) vogliamo dimostrare che
(t) = EX
= Ipe = e
met(X
M
esponenti :
=me(X-(M^
etdu (^) = 22((X
- M)" - 202t(X - M)] = etrex-(M
- (^) ot))dx == ((X-M)-8t = etM^ +^0
densità vc N(M +^0 2 t^ , 8)
= Gx(t)^ = e
- (^) M (^) +t = Gx(t)(y (^) = 0
= (m +^ 02t)e
+m
= (^) M =^ E(X)^ =^ media-moda-mediana t =^0 = E(X4)^ =t)) =etm^ + (M + (^) 02t)((u + 02t(e +n + (^0) ) = 02 +^ m => VAR(X)^ = E(X")^ -^ LE(X)]2^ = 0 2
= 0 =X)^ = -BREAD
- ELX) DI UNA (^) UC CHI-QUADRO (PAR. r( vogliamo dimostrare^ che^ E(X)^ =^ r = X 1 eFax^ = x *^ e^ dx = = 2 zir (^).
(^1) x ax (^) =
integrale su^ IR^ della
Fax
= -densità ve^ chi-quadro di^ part e se
=> (^) uguale a^1 = r. (^1) = = r
- TEO LIMITE CENTRALE vogliamo dimostrare^ che^ limP(nze-Mau =
#M) f^ di ripartizione di^ una
N10 , 1)
FGM :^ X^ N(M (^) , 82)^ - Gx(t) (^) = EletX)^ = etM +
zw N(0, 1) - Gzlt) = etiz (z
= M)
Basta dimostrare che Gzn(t)^ - et=^2
n + (M) (^) x3 + Yj = ( M i (^) = (^) j = (^1) ...., n E(Ys) (^) = (^0) , VAR(yj) = 1 En =[iXy^ - Ma (^) =
/mm
=X-M
=
[, y combinazione lineare = FGH : (^) Gzn(t) = (^) Gy(t) ... Gyn(t) Gyi(t)]" ↓ indipendenza identica^ distribuzione serie di (^) Taylor della (^) generatrice dei momenti^ di un'osservazione : Gyn(t) =^1 + tE(y) +^ /(2)^ +... = = 1 + GE(y1)
EE((y1(2) +... = = 1 +^0
(+ ... = 1
... Prendiamo il^ limite^ :
Gzn(t) = (1^ +
E ...^ j^
= In FGM (^) norm (^). standardizate
