DISEQUAZIONI MATEMATICA, Appunti di Matematica

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Disequazioni

Intervalli di R

Intervallo

Sottoinsieme di punti che contiene almeno due numeri e tutti i numeri reali compresi tra due qualsiasi dei suoi elementi.

Intervallo limitato

Sottoinsieme di punti compresi tra due numeri a, b ∈ R detti frontiere ; è chiuso se contengono entrambi i punti di frontiera, semi-aperti se ne contengono solo uno, aperti altrimenti. I punti non di frontiera sono detti interni.

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} intervallo chiuso ]a, b[= (a, b) = {x ∈ R : a < x < b} intervallo aperto [a, b[= [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} intervallo semi-aperto a destra ]a, b] = (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} intervallo semi-aperto a sinistra

Intervalli e sottoinsiemi di R

Esempi: [0, 5] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 5 } intervallo limitato chiuso (− 5 , 5] = {x ∈ R : − 5 < x ≤ 5 } intervallo limitato semi-aperto a sinistra (− 17 , −13) = {x ∈ R : − 17 < x < − 13 } intervallo limitato aperto (−∞, 6) = {x ∈ R : x < 6 }, intervallo illimitato aperto [10, +∞) = {x ∈ R : x > 10 }, intervallo illimitato chiuso L’insieme {x ∈ R : x 6 = 0} NON è un intervallo: non contiene l’elemento zero non contiene tutti i punti compresi dell’intervallo [−

, 4]

è l’unione di due intervalli: {x ∈ R : x 6 = 0} = (−∞, 0) ∪ (0, ∞)

Disequazioni

Una disequazione è una espressione del tipo

P (x) Q 0

e si risolve applicando i seguenti principi di equivalenza: addizionando o sottrando i due membri di una disequazione una stessa espressione che non perda significato, si ottiene una disequazione equivalente;

moltiplicando e dividendo i due membri di una disequazione per una stessa espressione positiva che non perda significato si ottiene una disequazione equivalente;

moltiplicando e dividendo i due membri di una disequazione per una stessa espressione negativa che non perda significato, e invertendo il verso della disuguaglianza si ottiene una disequazione equivalente.

Disequazioni di primo grado

Data una disequazione del tipo ax + b ≥ 0 :

se a > 0 allora la disequazione è soddisfatta per x ≥

−b a

se a < 0 alloa la disequazione è soddisfatta per x ≤ −b a

Esempio: 5 x − 3 ≥ 0 ⇒ x ≥

− 2 x + 17 ≥ 0 ⇒ x ≤

Disequazioni di secondo grado

Data una disequazione del tipo ax^2 + bx + c > 0 : se ∆ > 0 , l’equazione ammette due radice x 1 < x 2 : I (^) se a > 0 allora la disequazione è soddisfatta per {x < x 1 } ∪ {x > x 2 }, ovvero per tutti gli x all’ esterno dell’intervallo determinato dalle soluzioni della corrispondente equazione; I (^) se a < 0 e allora la disequazione è soddisfatta per x 1 < x < x 2 , ovvero per tutti gli x all’ interno dell’intervallo determinato dalle soluzioni della corrispondente equazione;

se ∆ = 0, l’equazione ammette due radici coincidenti x 1 = x 2 : I (^) se a > 0 allora la disequazione è sempre soddisfatta; I (^) se a < 0 e ∆ = 0 allora la disequazione NON è mai soddisfatta.

se ∆ < 0 , l’equazione NON ammette radici reali: I (^) se a > 0 allora la disequazione è sempre soddisfatta; I (^) se a < 0 allora la disequazione NON è mai soddisfatta. Analogamente per la disequazione ax^2 + bx + c < 0.

Disequazioni superiori al secondo grado

Sia Pn(x) un polinomio di grado n > 2 , le disequazioni del tipo:

Pn(x) Q 0

si possono risolvere se si riesce a scomporre il polinomio in fattori di primo e secondo grado.

In questo caso si può studiare il segno di ciascun fattore e di conseguenza anche quello di Pn(x).

Esempio:

x^3 + 3x^2 + x + 3 ≥ 0 ⇒ (x + 3)(x^2 + 1) ≥ 0 ⇒ x ≥ − 3

Disequazioni fratte

Le disequazioni fratte sono espressioni del tipo

P (x) D(x)

Q 0

ove numeratore e denominatore sono polinomi. In questo caso, studiando il segno del numeratore e del denominatore si può determinare il segno della frazione; inoltre perchè la frazione abbia senso bisogna considerare che il denominatore deve essere diverso da zero. x^2 − 3 x x + 2

x^2 − 3 x > 0 ⇒ (x < 0) ∨ (x > 3) x + 2 > 0 ⇒ x > − 2

Quindi la disequezione è soddisfatta per x ∈ (− 2 , 0) ∪ (3, ∞)

Disequazioni con valore assoluto

In generale, una disequazione che include uno o più valori assoluti, può essere risolta considerando i vari casi che tengono conto del segno degli argomenti dei valori assoluti. Quindi risulta equivalente all’ unione di sistemi di disequazioni ciascuno dei quali prende in considerazione uno dei casi nei quali è possibile eliminare il simbolo di valore assoluto. La disequazione x + | 2 x − 1 | < 3 + 5x richiede di risolvere i seguenti sistemi di disequazioni: { 2 x − 1 ≥ 0 x + 2x − 1 < 3 + 5x

2 x − 1 < 0 x − (2x − 1) < 3 + 5x L’unione dei due insiemi di soluzioni fornisce la soluzione della disequazione: (− 13 , ∞).

Disequazioni irrazionali

Per risolvere questo tipo di disequazioni bisogna razionalizzare l’espressione applicando i seguenti principi di equivalenza: elevando a potenza dispari entrambi i membri della disequazione si ottiene una disequazione equivalente √ (^3) x(x (^2) − 2) > x + 2 ⇔ x(x (^2) − 2) > (x + 2) 3

una disequazione che abbia entrambi i membri non negativi è equivalente al sistema costituito dalla stezza elevando entrambi i membri a potenza pari, e da tutte le disequazioni necessarie per le condizioni di esistenza dei radicali. La disequazione

−x^2 + 9x + 11 < x + 3 è equivalente al sistema di disequazioni:   

−x^2 + 9x + 11 ≥ 0 x + 3 > 0 −x^2 + 9x + 11 < (x + 3)^2