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Matematica - Le disequazioni
Una disequazione è una diseguaglianza tra due espressioni letterali e/o numeriche confrontate tra loro rispetto a una relazione d'ordine ( < , > , ≤ , ≥ ) P(x)>Q(x) Le lettere di cui si cerca il valore sono le incognite della disequazione.
Un esempio pratico di disequazione:
x+2>
In questo esempio la lettera x è la variabile incognita, mentre il simbolo " > " indica la relazione d'ordine.
Risolvere una disequazione vuol dire trovare i valori dell'incognita ( dette soluzioni ) che soddisfano la relazione d'ordine della diseguaglianza.
Un esempio pratico
Un esempio di disequazione è la seguente
x−2>
Questa disequazione è soddisfatta quando l'incognita x assume un valore compreso nell'intervallo aperto
x ∈ (2,+∞)
Qualsiasi valore x>2 soddisfa l'equazione perché il lato sinistro della disequazione x-2 è maggiore di zero.
Pertanto, l'insieme delle soluzioni S della disequazione è
S={ x∈R | x>2 } Nota. Si legge "x appartenente all'insieme dei numeri reali (R) tale che ( | ) la x è maggiore di 2".
La rappresentazione delle soluzioni
Per rappresentare graficamente l'insieme delle soluzioni di una disequazione, in genere si utilizza una retta orientata in cui ogni punto corrisponde a un numero reale da -∞ a +∞.
- Disegno una linea continua per rappresentare l'insieme delle soluzioni della disequazione, ossia l'insieme dei valori dell'incognita che soddisfano la disequazione.
- Non disegno gli altri tratti della retta che non corrispondono alle soluzioni della disequazione.
Esempio. La disequazione x-2>0 è soddisfatta per ogni valore dell'incognita x maggiore di 2 ossia x>2. Per rappresentare l'insieme delle soluzioni traccio una linea continua dal punto 2 della retta in poi, verso destra. Con questa rappresentazione sto dicendo che le soluzioni
Quindi, devo indicare il punto x=4 con un cerchietto pieno.
Come risolvere una disequazione con lo studio del segno
In una funzione continua il passaggio da valori positivi a negativi avviene in particolari punti detti punti zero o radici.
Nota. Una radice è un valore dell'incognita x in cui l'espressione della disequazione è uguale a zero. Per trovare le radici basta trasformare la disequazione in un'equazione e risolverla. Ad esempio, la disequazione x−2>
diventa x−2=
che si risolve con x=2. Quindi x=2 è una radice della disequazione.
Quindi, il primo passo è cercare le radici della disequazione.
Una volta trovate le radici, se esistono, si può studiare il segno dell'espressione negli intervalli tra le radici.
Nello studio del segno è molto utile disegnare uno schema grafico.
Esempio
Questa disequazione è soddisfatta se l'espressione sul lato sinistro è maggiore di zero.
x ⋅ (x−2)>
Per risolverla cerco di capire quali sono le radici della disequazione
x ⋅ (x−2)=
Trattandosi di un prodotto tra x e (x-2) è evidente che l'equazione si annulla quando x= oppure x=2.
Quindi, x=0 e x=2 sono le radici della disequazione.
Nota. Nella rappresentazione grafica i cerchietti pieni indicano che il valore considerato è una soluzione (intervallo chiuso). Viceversa, i cerchietti vuoti indicano che il valore non è una soluzione (intervallo aperto). In questo caso sono vuoti perché in x=0 e x=2 la disequazione x(x-2)>0 non è soddisfatta.
Le radici suddividono il campo di definizione della disequazione in tre parti
]−∞;0[ ∪ ]0;2[ ∪ ]2;+∞[
Per studiare il segno della disequazione la scompongo in due espressioni x e (x-2) poiché si tratta di un prodotto.
Poi studio il segno delle espressioni negli intervalli ]-∞;0[ , ]0;2[e ]2;∞[
L'espressione x è negativa nell'intervallo ]-∞;0, è nulla nel punto x=0 ed è positiva nell'intervallo ]0;∞[.
L'espressione (x-2) è negativa nell'intervallo (-∞;2), è uguale a zero nel punto x=2 ed è positiva nell'intervallo (2;+∞).
A questo punto applico la regola del segno per capire in quali intervalli il prodotto tra x e (x-2) è positivo.
Nell' intervallo ]-∞;0[ sia x che ]x-2[ sono negativi.
Quindi, per la regola algebrica del segno, quando due fattori hanno lo stesso segno il loro prodotto è positivo x·(x-2)>
Nell' intervallo (0;2) il fattore x è positivo mentre il fattore (x-2) è negativo.
Quindi, per la regola algebrica del segno, quando due fattori hanno segno discorde, il loro prodotto è negativo x·(x-2)<
_ + +
_ _ +
+ _ +
_ + +
_ _ +
Nell' intervallo ]2;+∞[ sia x che ]x-2[ sono positivi.
Quindi, per la regola algebrica del segno, quando due fattori hanno lo stesso segno il loro prodotto è positivo x·(x-2)>
In conclusione la disequazione x(x-2)>2 è soddisfatta negli intervalli ]-∞;0[ e ]2;+∞[.
_ + +
_ _ +
_ + +
_ _ +
Le condizioni di esistenza
Le condizioni di esistenza (spesso indicate con C.E.) sono le condizioni che le variabili della disequazione devono rispettare perché abbiano un significato.
Un esempio pratico
Questa disequazione
X/x-
esiste per qualsiasi valore reale della x ad eccezione che per il valore x=2.
Quando x=2 il denominatore è uguale a zero e nessun numero può essere diviso per zero.
Pertanto le condizioni di esistenza della disequazione sono
x∈R−{2}
ossia tutti i numeri dell'insieme dei numeri reali (R) tranne il numero 2.
La disequazione si dice fratta o frazionaria se l'incognita compare anche al denominatore delle frazioni eventualmente presenti nella disequazione
