1 De#nizione di grammatiche
1.1 Esercizio
Scrivere la grammatica che de-nisce il linguaggio
L
delle stringhe di alfab eto
f
a" b
g
in cui il numero di
a
4e uguale al numero di
b
.
Soluzione 1.1
Sia
x
2
L
, con
x
6
=
%
. Allora
x
pu4o avere come primo carattere una
a
:cio4e
x
=
ay
;
oppure una
b
:
x
=
by
;. Nel caso in cui
x
=
ay
, nel su=sso
y
ci deve essere una
b
in pi4u delle
a
. Certamente deve esistere una
b
in
y
che divide
y
in due parti,
u
e
v
,
ciascuna delle quali contiene lo stesso numero di
a
e di
b
, cio4e:
x
=
ay
=
aubv
, con
u" v
2
L
. Se
x
=
by
, allo stesso mo do si ha che
x
=
buav
. Da queste considerazioni si
deriva facilmente la seguente grammatica:
G
:
S
!
aSbS
j
bSaS
j
%
G
4e ambigua, come si comprende esaminado gli alberi di derivazione possibili per
la stringa
abab
.
La grammatica 4e gi4a molto semplice e sembra di=cilmente sempli-cabile in modo
ulteriore, perlomeno rispetto al numero delle produzioni e dei simboli non terminali
utilizzati.
La grammatica non pu4o essere sempli-cata nemmeno rispetto al numero massimo
di non terminali presenti nelle parti destre delle produzioni: si pu4o dimostrare infatti
che nessuna grammatica lineare 4e in grado di descrivere
L
:ricordiamo che una gram-
matica 4e detta lineare quando vi 4e al pi4u un solo non terminale nelle parti destre delle
produzioni;.
La grammatica data ha il vantaggio di essere compatta. Per costruire una gram-
matica
LL
:1; per lo stesso linguaggio si pu4o far riferimento al modo di operare di un
riconoscitore a pila per il medesimo linguaggio. Il riconoscitore operer4a confrontando
il carattere letto col carattere presente in cima alla pila. Se il carattere in cima alla
pila 4e diverso da quello letto, sulla pila verr4a eseguita un'azione di
pop
, altrimenti :se
la pila 4e vuota o il carattere in cima alla pila 4e lo stesso; il carattere verr4a posto in
cima alla pila. Il riconoscitore 4e un riconoscitore a pila vuota.
Dalla descrizione del riconoscitore 4e possibile costruire la seguente grammatica in
cui vengono rappresentati anche gli insiemi guida:
G
0
=
8
!
"
!
:
S
!
aBS
f
a
g j
bAS
f
b
g j
%
f.g
A
!
a
f
a
g j
bAA
f
b
g
B
!
b
f
b
g j
aBB
f
a
g
3
1.2 Esercizio
Si de$nisca una grammatica per il linguaggio
D
delle parentesi in cui il numero totale
delle parentesi aperte 1e dispari.
Esempi: 56, 565656, 5565665656 sono in
D
, mentre 5656, 55665656 non sono in
D
.
Soluzione 1.2
Il linguaggio
D
1e noncontestuale, poich1e si pu1o ottenere p er intersezione del lin-
guaggio delle parentesi con il linguaggio regolare costituito da qualunque stringa in
f
5
!
6
g
in cui il numero di 5 1e dispari. Si potrebbe ottenere
D
applicando la classica
costruzione usata per dimostrare la chiusura dei noncontestuali per intersezione con
i regolari. La costruzione 1e tuttavia assai complessa e conviene quindi analizzare il
problema nel mo do seguente.
Sia
P
il linguaggio, analogo a
D
, in cui il numero totale delle parentesi aperte
1e pari. Le frasi di
D
possono allora essere caratterizzate induttivamente nel modo
seguente:
1. 56
2
D
B
2. se
p
2
P
allora aggiungendo a
p
una coppia di parentesi esterne si ottiene una
frase di
D
: 5
p
6
2
D
B
3. se
p
2
P
e
d
2
D
, allora
dp
e
pd
sono in
D
, poich1e il numero delle parentesi
aperte in entrambi i casi 1e dispari.
Analogamente, si possono caratterizzare le frasi di
P
:
1.
%
2
P
B
2. se
d
2
D
allora aggiungendo a
d
una coppia di parentesi esterne si ottiene una
frase di
P
: 5
d
6
2
P
B
3. se
p
1
! p
2
2
P
e
d
1
! d
2
2
D
, allora
p
1
p
2
e
d
1
d
2
sono in
P
, poich1e il numero delle
parentesi aperte in entrambi i casi 1e pari.
Si pu1o convincersi 5oppure dimostrare6 che queste caratterizzazioni esauriscono
tutte le p ossibili stringhe di
D
e
P
.
1
E a questo punto immediato ricavare una gram-
matica per
D
, in cui il nonterminale
D
rappresenta l'assioma:
G
=
D
!
5
P
6
j
P D
j
DP
P
!
%
j
5
D
6
j
P P
j
DD
La produzione
D
!
56 1e stata eliminata perch1e inutile.
Si osservi che la seguente grammatica
G
0
, pi1u semplice di
G
,
non
genera il lin-
guaggio corretto:
4
