DISPENSA MATEMATICA PER IL MARKETING, Dispense di Matematica Finanziaria

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DISPENSA MATEMATICA

PER IL MARKETING

1. SERIE

Le sono una somma di infinti addendi che si rappresentano con il simbolo della

sommatoria.

• La serie converge quando esiste il limite finito della somma

! 𝑈𝑛 → lim

!→#

!

• La serie diverge quando il limite della somma è infinito

! 𝑈𝑛 → lim

!→#

!

• La serie è irregolare quando non ammette limite per n tendente a infinito

Se una serie converge, il suo termine generale deve necessariamente essere

infinitesimo, ossia deve tendere a zero ( lim

!→#

Serie geometriche

!

!

!$%

• Se 𝑞 ≥ 1 → lim 𝑞

!$%

• 𝑆𝑒 − 1 < 𝑞 < 1 → lim 𝑞

!$%

Una serie a termini positivi è una serie i cui termini hanno segno costante positivo, la

n-esima somma parziale è positiva, la successioni delle somme parziali è monotona

crescente ed è regolare in quanto può convergere o divergere ma non sono mai

irregolari.

Esistono quattro criteri per stabilire l’eventuale convergenza delle serie a termini

positivi.

Cioè le due serie hanno lo stesso carattere (entrambe convergenti o divergenti)

Inoltre possiamo osservare che data una serie a termini positivi ∑ 𝑈𝑛 se esiste un

𝛼 ∈ ℝ tale che lim

!→#

&!

%/!

"

= 𝑘 𝑐𝑜𝑛 𝑘 è 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑑𝑎 0 , 𝑎𝑙𝑙𝑜𝑟𝑎:

È il criterio più utile quando il termine generale della serie da studiare è

“complicata”, si tratta quindi innanzitutto di passare a una serie più semplice,

conservando però l’ordine d’infinitesimo generale e poi valutare l’ordine

infinitesimo generale del termine generale della nuova serie.

Serie armonica generalizzata

)

!

• Se 𝛼 > 1 → 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
• Se 𝛼 ≤ 1 → 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

Date due serie a termini positivi, i cui termini generali hanno lo stesso ordine di

infinitesimo (velocità con cui Un tende ad infinito), hanno anche lo stesso carattere.

Gli ordini di grandezza sono:

log 𝑛 ≺ 𝑛

!

(il simbolo ≺ significa “cresce meno velocemente di” è quindi l’ordine

d’infinitesimo)

lim

!→#

!

+,-!

= ∞ log 𝑛 ≺ 𝑛

lim

!→#

)

!

!

!

lim

!→#

!!

)

!

!

Fattoriale di un numero positivo n è il prodotto dei numeri da 1 a n (es. 3!= 1x2x3=6)

Serie di Mengoli

!/%

Sn (somma serie)=

%

0

%

1

%

%

%

!

( !$%

)

[

%

0

\

[

%

0

%

4

\

[

%

!

%

!$%

\

Sn= 1 −

%

!$%

• Se lim

!→#

Serie di Taylor

Lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione in un punto, se esiste, permette di

esprimere la funzione nell’intorno del punto come un polinomio di infiniti termini, in

modo approssimato.

%

% 56

0

4

7

1. log

6

$

0

6

%

4

%

0

log

% 56

% 56

6

%

4

6

&

8

6

6

$

0!

6

%

4!

6

%

4!

6

&

8!

6

$

0!

6

'

7!

Serie con segno alterno

In questo tipo di serie si susseguono alternativamente (almeno a partire da un certo

indice n0) addendi positivi e addendi negativi (con Un >0)

!

!/ 9

2. INTEGRALE INDEFINITO

Il processo inverso della derivazione si chiama integrazione. Se l’operazione di

derivazione fa passare da 𝐹

4

a 𝐹

:

0

, l’integrazione è l’operazione

inversa che “tornando indietro” associa nuovamente F(x).

Data la funzione f(derivata), chiamiamo anti-derivata o primitiva in un intervallo I

una funzione F tale che, per ogni, x appartenente a I risulta:

:

Una funzione f, che in un intervallo I ammette un’anti-derivata F, in realtà ne

ammette infinite nella forma 𝐹

• 𝐶 potendo variare a piacere la costante additiva,

la cui derivata è sempre nulla.

Si chiama integrale indefinito di una funzione f un intervallo I, l’insieme delle sue

anti-derivate o primitive. L’integrale indefinito f si indica con il simbolo:

a 𝑓 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 a 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Anti-derivate immediate:

La primitiva di una somma è data dalla somma delle primitive, quindi il calcolo della

primitiva di una somma si può “spezzare” nel calcolo di due o più primitive più

semplici:

a 𝑓 + 𝑔 = a 𝑓 + a 𝑔

Le costanti moltiplicative possono essere “portate fuori” rispetto al simbolo di

integrale indefinito (se sono separate da x)

a 𝑘𝑓 = 𝑘 a 𝑓

Anti-derivate quasi immediate (le più comuni):

;:( 6 )

;( 6 )

𝑑𝑥 = log

[𝑓(𝑥)

<

] ∙ 𝑓

:

[;( 6 )]

()*

<$%

Bisogna tenere presente che ci sono funzioni in cui il calcolo di una primitiva non è

immediato, come i precedenti esempi, ma bisogna ricordare che:

• La presenza di una costante additiva non comporta cambiamenti
• La presenza di una costante moltiplicativa implica il prodotto per l’inversa

della stessa costante moltiplicativa

Anti-derivate funzioni con polinomi:

a

Grado polinomio p1 (numeratore) < grado polinomio p2 (denominatore)

0

P2 ammette due radici reali distinte, x1 e x2, e può essere scritto come

0

P2 ammette due radici reali coincidenti, x1=x2.

0

P2 non ammette radici reali

4. INTEGRALE DEFINITO

L'integrale definito di una funzione f(x)f(x) in un intervallo [a,b][a,b] è il limite della

somma di Riemann quando la suddivisione dell'intervallo diventa infinitamente fine,

ossia quando l’estremo superiore della classe delle somme inferiori e l’estremo

inferiore della classe delle somme superiori coincidono. Formalmente, è definito

come:

Secondo il significato geometrico dell’integrale definito, esso rappresenta l’aerea

della regione del piano delimitata dall’asse x e dal grafico di f, compresa tra le rette

verticali di equazione x=a e x=b.

Secondo il Teorema fondamentale del calcolo, se F(x) è una primitiva di f(x) allora:

a 𝑓

?

@

Quando esiste l’integrale definito di una funzione?

• f crescente o decrescente
• f continua
• f ha un numero finito di punti di discontinuità
• f ha un’infinità numerabile di punti di discontinuità

Teorema di Lagrange (o del valor medio)

Se la funzione f è continua nell’intervallo a,b esiste almeno un punto c appartenente a

tale intervallo per cui risulta:

a 𝑓

?

@

Teorema Torricelli-Barrow (o fondamentale)

Se la funzione f è continua nell’intervallo a,b, la corrispondente funzione integrale

(per un dato punto x0 appartenente a tale intervallo) è:

𝐹(𝑥) = a 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

6

69

Essa è continua e derivabile e vale la seguente:

:

I teoremi mostrano così le formule per il calcolo degli integrali definiti di una

funzione continua la quale ammette sempre una primitiva.

Equazione retta tangente

Per il teorema fondamentale possiamo dedurre che se la funzione F è così definita

6

69

allora l’equazione della tangente alla curva F nel punto x1 è:

𝑦 − a 𝑓

6 %

69

Dove 𝑓(𝑥 1 ) = 𝑓(𝑡)

Sviluppo di Taylor

Se la funzione F è così definita 𝐹

6

69

lo sviluppo di Taylor al secondo

ordine è: 𝐹

%

0!

6 %

69

:

0

• 𝑅 dove R=resto.

6. SPAZI VETTORIALI, MATRICI, SISTEMI E

TRASFORMAZIONI LINEARI

Un vettore è una lista ordinata di numeri reali

 = 𝑣𝑒𝑡𝑡𝑜𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑛𝑛𝑎 𝑦 = [𝑦 1 𝑦 2 𝑦𝑛] = 𝑣𝑒𝑡𝑡𝑜𝑟𝑒 𝑟𝑖𝑔𝑎

Trasposizione è l’operazione che trasforma un vettore colonna (x) in un vettore riga

(y). Il trasposto del trasposto coincide con il vettore iniziale (𝑥

A

A

A

[

]

Una matrice è una tabella rettangolare di numeri reali con n righe e n colonne che ha

forma:

 = [𝑎𝑖𝑗] → 𝑖 = 1.. 𝑛 (𝑟𝑖𝑔𝑎) 𝑗 = 1 … 𝑚 (𝑐𝑜𝑙𝑜𝑛𝑛𝑎)

Una matrice si indica sempre con una lettera maiuscola mentre i suoi elementi

vengono indicati con una lettera minuscola accompagnata da un doppio indice per

indicare l’appartenenza dell’elemento (primo indice = riga, secondo indice=colonna).

Somma

Due matrici si possono sommare quando hanno la stessa dimensione, cioè sono

uguali ossia quando ogni elemento della prima è uguale al corrispondente elemento

dell’altra (aij=bij) e occupa così lo stesso posto.

La somma fra due matrici si ottiene sommando gli elementi che occupano lo stesso

posto:

A+B=€

La matrice nxm che ha tutte le entrate nulle si denota con il simbolo 0.

La matrice nxm che ha ogni entrata uguale esattamente all’opposto di A si denota con

- A

Prodotto

Una matrice può essere moltiplicata per un numero reale e per calcolare il prodotto,

basta moltiplicare per quel numero ogni elemento della matrice:

Di conseguenza valgono le seguenti proprietà:

Invece il prodotto tra due matrici A e B è possibile quando il numero di colonne di A

è uguale al numero di righe di B, il risultato è quindi dato da una matrice C che ha

tante righe quante quelle di A e tante colonne quante quelle di B. Il prodotto avviene

calcolando il prodotto delle righe della prima matrice per le colonne della seconda

matrice.

𝐴 ∙ 𝐵 = 7

𝑎 11 𝑎 12

𝑎 21 𝑎 22

𝑎 31 𝑎 32

: ∙ ;

𝑏 11 𝑏 12 𝑏 13

𝑏 21 𝑏 22 𝑏 23

= 1. Moltiplicare ogni riga di

A con la 1 colonna di B

𝐴 ∙ 𝐵 = 7

𝑎 11 𝑎 12

𝑎 21 𝑎 22

𝑎 31 𝑎 32

: ∙ ;

𝑏 11 𝑏 12 𝑏 13

𝑏 21 𝑏 22 𝑏 23

= 1. Moltiplicare ogni riga di

A con la 2 colonna di B

𝐴 ∙ 𝐵 = 7

𝑎 11 𝑎 12

𝑎 21 𝑎 22

𝑎 31 𝑎 32

: ∙ ;

𝑏 11 𝑏 12 𝑏 13

𝑏 21 𝑏 22 𝑏 23

= 1. Moltiplicare ogni riga di

A con la 3 colonna di B

Matrice trasposta

Data una matrice A nxm si indica con 𝐴

A

la matrice trasposta in cui si scambiano le

righe con le colonne ordinatamente:

A

• N=4 il determinante di una matrice quadrata di ordine 4 (è la massima estensione

della radice che può capitare di calcolare negli esercizi) si ottiene moltiplicando a

per il suo determinate (matrice 3x3 togliendo la prima riga e la rima colonna)… e si

prosegue come la regola precedente.

det 𝐴 = 𝑎 11 ∙ 𝑑𝑒𝑡 2

𝑎 22 𝑎 23 𝑎 24

𝑎 32 𝑎 33 𝑎 34

𝑎 42 𝑎 43 𝑎 44

4 − 𝑎 12 ∙ 𝑑𝑒𝑡 2

𝑎 21 𝑎 23 𝑎 24

𝑎 31 𝑎 33 𝑎 34

𝑎 41 𝑎 43 𝑎 44

4 + 𝑎 13

∙ 𝑑𝑒𝑡 2

𝑎 21 𝑎 22 𝑎 24

𝑎 31 𝑎 32 𝑎 34

𝑎 41 𝑎 42 𝑎 44

4 − 𝑎 14 ∙ 𝑑𝑒𝑡 2

𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23

𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33

𝑎 41 𝑎 42 𝑎 43

4

Complemento algebrico

Data una matrice quadrata A chiamiamo complemento algebrico dell’elemento aij il

determinante della matrice ottenuta da A togliendo la i-esima riga e la j-esima

colonna, moltiplicato per (− 1 )

B$C

𝐴 = 2

3 2 1

3 1 0

1 2 2

4 → 𝑎 11 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑖𝑐𝑜

,

1 0

2 2

/ = det

( 1 ∙ 2

) −

( 0 ∙ 2

) = 2 → 2 ∙ (− 1 )

!"!

= 2

Teorema Laplace (definizione determinante)

Il determinante di una matrice quadrata è dato dalla somma dei prodotti degli

elementi di una sua riga (o di una sua colonna) moltiplicati per i rispettivi

complementi algebrici.

Di conseguenza ci sono alcune regole da ricordare:

• Si sceglie la riga o la colonna con uno o più zeri per semplificare i calcoli
• Se A è una matrice quadrata allora detA=𝐴

A

• Se ogni elemento di una riga/colonna di una matrie quadrata è 0 allora det=
• Se in una matrice quadrata A una riga/colonna è spostata verso l’alto o il

basso/verso sinistra o destra di p posizioni, il determinante è moltiplicato per

D

• Se in una matrice quadrata si scambiano due righe/colonne tra loro, il

determinate cambia segno ma resta uguale in valore assoluto

• Se in una matrice quadrata due righe/colonne sono uguali allora det=
• Se in una matrice quadrata gli elementi di una riga/colonna vengono

moltiplicati per una costante k, il determinante risulta moltiplicato per k

• Se in una matrice quadrata due righe/colonne sono proporzionali allora det=
• Date due matrici A e B dello stesso ordine si ha det(𝐴 ∙ 𝐵) = 𝑑𝑒𝑡𝐴 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝐵
• Il calcolo di una matrice di ordine superiore a 3 si effettua ricorrendo al

teorema di Laplace.

Teorema vettori linearmente indipendenti

Siano dati n vettori 𝑥

%

0

!

!

risultano linearmente indipendenti se e solo se è

non singolare la matrice A (con determinante diverso da 0) ottenuta dal loro

accostamento come righe o colonne:

%

0

!

%

0

!

Matrici inverse

Chiamiamo matrice inversa di una matrice quadrata A la matrice 𝐴

5 %

se esite tale che:

5 %

5 %

Di conseguenza ci sono delle regole da ricordare:

• Se la matrice A ha un’inversa, questa è unica
• Se A e B hanno inversa allora anche il loro prodotto ha inversa
• Se 𝐴

5 %

è l’inversa di A allora A è l’inversa di 𝐴

5 %

5 %

5 %

• L’inversa della trasposta è la trasposta dell’inversa (𝐴

A

5 %

5 %

A

Teorema matrici inverse

Una matrice quadrata A è invertibile se e solo se è non singolare (det A diverso da 0).

Sia data una matrice quadrata A non singolare, gli elementi dell’inversa sono dati dai

complementi algebrici della trasposta divisi per il det A.

Come calcolare una matrice inversa?

• Scrivere 𝐴

A

• Sostituire ogni elemento di 𝐴

A

con il suo complemento algebrico, cioè

calcolare la matrice aggiunta di A (agg A)

• Trovare 𝐴

5 %

dividendo ogni elemento di agg A per det A ovvero

5 %

Rango matrice

La matrice A ha rango r quando r è il massimo ordine delle sue sotto matrici quadrate

non singolari. È un numero intero non negativo associato alla matrice A → 𝑟

Quindi una matrice quadrata A di ordine 3 avrà al massimo rango 3, r(A)=3, quando

A contiene una sottomatrice di ordine 3, in questo caso la stessa matrice A, non

singolare.

Teorema Rouché-Capelli

Un sistema di equazioni lineari Ax=b ammette una soluzione se e solo se il rango

della matrice dei coefficienti A è uguale al rango della matrice orlata A|b. Se fosse

diversa il sistema risulterebbe impossibile.

𝐴𝑥 = 𝑏 è 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑒 → 𝑟

𝐴𝑥 = 𝑏 è 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑒 → 𝑟(𝐴) ≠ 𝑟(𝐴|𝑏)

Quindi il sistema ha soluzione solo se il vettore b si può scrivere come combinazione

lineare delle colonne della matrice A; altrimenti

Inoltre dato Ax=b con A una matrice mxn con n(colonne) ≥ m(righe), ossia che il

sistema ha più incognite che equazioni e r(A)=m (rango = numero delle equazioni) il

sistema ha sempre soluzioni poiché è vero che r(A)=r(A|b).

Teorema di Cramer

Il sistema lineare Ax=b con A matrice quadrata nxm e non singolare (ovvero esiste

5 %

) ammette un’unica soluzione che è:

det 𝐴

B

det 𝐴

Dove 𝐴

B

è la matrice ottenuta da A sostituendo la colonna dei termini noti b al posto

della i-esima colonna di A.

Valgono di conseguenza le seguenti equivalenze:

5 %

5 %

5 %

∙ 𝑏 (trasformazione)

Il sistema lineare Ax=b con matrice A quadrata nxm non singolare ha come unica

soluzione X= 0 , come conseguenza immediata del teorema di Laplace e RC:

• Se detA≠ 0 allora si applica il teorema RC e si ha un’unica soluzione data dalla

formula di Cramer.

• Se detA=

Nel caso 𝑟

:

Nel caso 𝑟

7. MATEMATICA FINANZIARIA

Una legge di capitalizzazione è scindibile se e solo se è composta con conversione

esponenziale.

• Il valore attuale di una rendita è la somma dei valori attuali delle singole rate,

calcolati nel regime di attualizzazione prescelto. Quindi se la rendita è

<

<)

Ed il fattore di sconto è dato dalla funzione g allora abbiamo che il valore V è

dato da

<

<

<

9

<

<

• Il valore attuale per la rendita periodica posticipata immediata unitaria in n rate

nel regime a sconto composto al tasso i:

!

Se la rata è costante R otteniamo che:

• Il valore attuale per la rendita periodica anticipata immediata unitaria in n rate

nel regime a sconto composto al tasso i:

!¬B

<

<

! 5 %

9

Se la rata R è fissa avremo:

!¬B