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Matematica M

Lezione 1

Roberto Raimondo

March 6, 2022

Abstract

Definizione 1 Una successione a valori reali e’ una fun-

zione  : N → R e si indica con il simbolo {}∞ =

dove  = () per ogni  ∈ N

In altre parole una successione non e’ altro che un insieme ordinato di numeri reali.

Sono esempi di successioni le seguenti

n (^1) +

o∞ =0 ^

n+ 2 

o∞ =1 ^ {(−1)

=

e cosi’ via.

Definizione 2 Si dice che la successione {}∞ =0 con-

verge ad  ∈ R se per ogni   0 esiste un  ∈ N tale

che se    allora

| − |  

e si scrive

^ lim→∞ ^ =^ 

n+ 2 

o∞ =1 converge a^1 ^2 ^ Infatti se scriviamo  + 3 2 

possiamo subito vedere che quando  e’ molto grande 3 2  e’ cosi piccolo che e’ quasi zero quindi^

+ 2  e’ quasi uguale ad 1  2!

Allora possiamo scrivere

^ lim→∞

• {(−1)}∞ 0 non converge Infatti quando  e’ pari (−1)^ = 1 e quando  e’ dipari (−1)^ = − 1.

La sola ragione per cui studiamo le successioni e’ che vogliamo studiare le serie numeriche. Prima di far questo notiamo, senza dimostrarlo, che vale il seguente

Teorema 3 Una successione a valori reali {}∞ =0 con-

verge se e solo se per ogni   0 esiste  ∈ N un tale

che se     allora

| − |  

Questo teorema e’ importante per varie ragioni. Ecco alcune

• Il teorema permette di stabilire la convergenza di una successione senza trovarne il limite. Quindi, almeno in linea di principio, e’ un po piu’ semplice
• Il Teorema implica, tra le altre cose, che se la suc- cessione a valori reali {}∞ =0 converge allora le quantita’ |+1 − | tenda a zero ovvero diventa molto. Questo semplice fatto sara’ molto utile quando studiamo le serie.

Una serie numerica non e’ altro che la somma di infiniti termini. Per esempio potremmo voler trovare la somma di una quantita’

1 2

+^1

+^1

+  +^1

2 ^

(some di questo tipo appariranno in Matematica Finanziaria!)

Notation 6 Indichiamo con il simbolo

X^ ∞ =

 la somma

 1 +  2 +  +  +  tale somma e’ detta serie.

Utilizzando questo simbolo possiamo scrivere

X^ ∞ =

2 ^

2 ^

Definizione 7 Data la serie

X^ ∞ =

 indichiamo con 

la seguente somma

 =  1 +  2 +  + 

tale quantita e’ detta −esima somma parziale.

Osservazione 8 Si noti che una serie non e’ una somma ordinaria perche’ contiene infiniti termini, ma una somma parziale e’ una somma che contiene solo un numero finito di termini quindi e’ una somma ordinaria.

Definizione 9 Si dice che la serie

X^ ∞ =

 converge e ha

per somma  quando esiste il limite finito di  :

lim→∞ ^ =^  La serie e’ detta divergente a +∞ (oppure −∞) quando  diverge a +∞ (oppure −∞) La serie e’ detta irre- golare o oscillante se  non ammette limite.

Osservazione 10 Per studiare una serie dobbiamo stu- diare il comportamento delle somme parziale.

Per dare un idea di cosa dobbiamo fare studiamo il seguente esempio

Quindi la serie e’ convergente e possiamo scrivere che

X^ ∞ =

Possiamo applicare la stessa strategia a casi piu’ generali. Infatti

Osservazione 12 Si noti che in generale se

X^ ∞ =

 e’

tale che  =  − +1 dove {}∞ =0 e’ una succes- sione allora otteniamo

 =  1 +  2 +  +  = ( 1 −  2 ) + ( 2 −  3 ) +  + ( − +1 ) =  1 − +

quindi

^ lim→∞ ^ =^ lim→∞ (^1 −^ +1^ ) =^ ^1 −^ lim→∞ + allora la serie e’ convergente se e solo se esiste

^ lim→∞ +

Se assumiamo che

^ lim→∞ +1^ =^  allora possiamo scrivere che

X^ ∞ =

X^ ∞ =

Osservazione 13 A lezione svolgero parecchi esercizi con- tenuti nel vostro libro di testo. Per gli esercizi contenuti nel vostro libro di testo viene riportata la notazione del testo. Questo significa, per esempio, che l’esercizio sotto e’ denotato con 12.3 (II) perche’ compare nel Capitolo 12, nella Sezione 2, come secondo esercizio II.

Osservazione 14 Studiare il carattere di una serie sig- nifica stabilire se la serie converge o diverge. Quindi un esercizio che vi chiede di studiare il carattere di una serie e’ un esercizio dove bisogna dimostrare che la serie con- verge o diverge. Si noti che questo e’ un problema molto piu semplice che calcolare la somma esatta della serie.

Example 16 Si consideri la seguente serie (Geometrica)

X^ ∞ =

dove  ∈ R Per studiarne il carattere dobbiamo studiare,

per ogni  la seguente

 = 1 + ^1 +  +  

per far questo si noti che

 −  = 1 + ^1 +  +  ^ − 

³ 1 + ^1 +  +  

´

= 1 + ^1 +  +  ^ −

³ ^1 + ^2 +  +  +

´

= 1 −  +

implica che possiamo scrivere

(1 − )  = 1 −  +

da cui segue che, se  6 = 1

 =

quindi dobbiamo studiare il limite delle  e possiamo scrivere

^ lim→∞ ^ =

⎧ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎨ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎩

+∞ se   1 lim  +1^ = + 1 1 − se^1   ^ −^1 lim^ ^

irregolare se  = − 1  +1^ = ± 1

irregolare se - 1   ||+1^ → ∞

diverge se 1 =   = 

Exercise 17 (12.4 (II)) Si consideri la seguente serie

X^ ∞ =

per studiarne il carattere possiamo osservare che e’ una serie geometrica quindi

³ 4

´(+1)

1 −

³ 4

´

Example 19 Si consideri la seguente serie (Serie Armon- ica Generalizzata)

X^ ∞ =

dove  ∈ R Si dimostra (noi non lo facciamo!) che

X^ ∞ =

^

⎧ ⎪⎨ ⎪⎩

converge se   1

diverge se  ≤ 1

questo e’ un fatto molto importante che noi useremo molto nel seguito.

Matematica M

Lezione 2

Roberto Raimondo

ma questo significa che limn→∞ |un| = 0 poiche’

sn − sn− 1 = (u 1 + u 2 + ... + un) − (u 1 + u 2 + ... + un−

= un

da cui segue che limn→∞ un = 0.

Molto importante: La prima cosa da controllare quando

si vuole studiare una serie

∑^ ∞ n=

un e’ limn→∞ un.

• Se limn→∞ un = 0 allora la serie NON puo’ con- vergere!
• Se limn→∞ un = 0 allora la serie potrebbe converg- ere

Questa e’ un osservazione molto semplice ma molto utile quindi in se avete un esercizio sulle serie la prima cosa che dovete controllare se il termine un generale tende a zero

Example 3 Si consideri la serie

∑^ ∞ n=

n^2 +log (^) 1+nn n^2 si noti

che

n^2 + log n+1 n n^2

n^2 n^2

log n+1 n n^2

1

quindi la serie non puo’ convergere perche il termine gen-

erale n^2 +log (^) 1+nn n^2 non tende^ a zero anzi e’ sempre mag- giore di uno..

Example 4 (12.9 (II)) Si consideri la seguente serie

∑^ ∞ n=

n^3 + 7 2 n^2 + 3

per studiarne il carattere osserviamo che

n^3 + 7 2 n^2 + 3

n^3

( 1 + (^) n^73

)

n^2

( 2 + (^) n^32

) (^) = n

1 + (^) n^73 2 + (^) n^32

quindi

n^ lim→∞^ n

2 n^2 + 3

= (^) nlim→∞ n

1 + (^) n^73 2 + (^) n^32