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INVERSA DI UNA MATRICE
Indichiamo con M atn×n(K) l’anello delle matrici n × n ad entrate nel campo K e con In la matrice identit`a, elemento neutro rispetto al prodotto di matrici.
Definizione 1. Una matrice A ∈ M atn×n(K) `e detta invertibile se esiste una matrice B ∈ M atn×n(K) che soddisfa la seguente condizione:
AB = BA = In. (1)
Definizione 2. Sia A ∈ M atn×n(K). Una matrice B ∈ M atn×n(K) e detta inversa destra di A se AB = In, analogamente una matrice C ∈ M atn×n(K)e detta inversa sinistra di A se CA = In.
Osservazione. Sia A ∈ M atn×n(K), se B e una inversa destra di A e Ce un’inversa sinistra di A, allora B = C. Infatti, partendo dall’uguaglianza:
AB = In,
moltiplicando entrambi i membri per la matrice C a sinistra otteniamo:
C(AB) = CIn,
per la proprieta associativa del prodotto di matrici si ha C(AB) = (CA)B , poich´e Ine l’elemento neutro rispetto al prodotto di matrici si ha CIn = C, otteniamo pertanto l’uguaglianza:
(CA)B = C.
Poich´e la matrice C soddisfa la condizione CA = In, abbiamo:
InB = C =⇒ B = C.
In particolare, se A `e invertibile, esiste un’unica matrice che soddisfa la condizione (1).
Definizione 3. Sia A ∈ M atn×n(K) una matrice invertibile. La matrice che soddisfa la condizione (1) `e detta inversa di A e viene indicata con A−^1.
Esempio 4.
- La matrice In
e invertibile e la sua inversae In. Infatti si ha: InIn = In. - La matrice A =
e invertibile e la sua inversae la matrice
B =
. Infatti si ha:
A = 2I 2 , B =
I 2 ,
per cui otteniamo:
AB = (2I 2 )(
I 2 ) = 2[I 2 (
I 2 )] = 2(
I 2 ) = (
)I 2 = I 2.
In modo analogo si verifica che BA = I 2.
- Si verifica che la matrice A =
e invertibile e l’inversae la
matrice B =
- La matrice A =
non `e invertibile. Infatti, supponiamo che esista una matrice B tale che AB = I 2 , il prodotto della prima riga di A per la prima colonna di B costituisce l’elemento di I 2 che sta sulla prima riga e prima colonna:
A 1 B^1 = 1,
ma questo `e impossibile perch´e A 1 =
Indichiamo con On×n la matrice nulla di M atn×n(K), elemento neutro rispetto all’addizione.
Definizione 5. Siano A e B due matrici in M atn×n(K), A e B sono dette divisori dello zero se
AB = On×n., con A 6 = On×n e B 6 = On×n.
Esempio 6.
Le matrici A =
e B =
sono divisori dello zero, infatti
A e B non sono nulle e
AB =
Osservazione. Se A ∈ M atn×n(K) e un divisore dello zero, allora A none invertibile. Infatti, essendo A un divisore dello zero, esiste una matrice B non nulla tale che AB = On×n.
Supponiamo che A sia invertibile, moltiplichiamo a sinistra entrambi i mem- bri dell’uguglianza precedente per la matrice inversa di A. A primo mem- bro, usando la proprieta associativa, ricordando la definizione di inversa e di matrice identita otteniamo:
A−^1 (AB) = (A−^1 A)B = InB = B;
Osservazione. Sia A ∈ M atn×n(K), se esiste una matrice a gradini C, modificazione elementare di A, che ha n pivots, allora ogni altra matrice a gradini modificazione elementare di A ha n pivots. Sia D una modificazione elementare di A: applicando il metodo di riduzione di Gauss, i sistemi lineari
AX = 0n, CX = 0n, DX = 0n,
sono equivalenti. Se il numero dei pivots di D fosse r < n allora il sistema DX = 0n avrebbe infinite soluzioni mentre il sistema lineare CX = 0n ha una sola soluzione, contraddicendo il fatto che i sistemi siano equivalenti.
Definizione 10. Sia A ∈ M atn×n(K), diciamo che A ha n pivots, se esiste una matrice a gradini C modificazione elementare di A che ha n pivots.
Dal corollario precedente segue che una matrice invertibile A ∈ M atn×n(K) ha n pivots. Proveremo ora ora che vale in viceversa: ogni matrice con n pivots e invertibile e la matrice inversa puo essere costruita con il metodo di riduzione di Gauss. Abbiamo pertanto il seguente risultato:
Proposizione 11. Sia A ∈ M atn×n(K), A `e invertibile se e solo se A ha n pivots.
Dimostrazione. Se A e invertibile, abbiamo gia osservato che ha n pivots. Sia A ∈ M atn×n(K) una matrice con n pivots. Proviamo innanzitutto che A ammette un ’unica inversa destra:
∃!F ∈ M atn×n(K) | AF = In.
Osserviamo che la i-esima colonna della matrice In e il vettore ei di Kn, pertanto AF = In se e solo se la i-esima colonna di F soddisfa la condizione AF i^ = ei, i = 1, .., n. Quindi esiste una matrice F chee inversa destra per A se e solo se esistono n vettori X^1 ,..,Xn^ di Kn, tali che il vettore Xi^ `e soluzione del seguente sistema lineare:
A · Xi^ = ei, ∀i = 1, · · · n.
Poich´e la matrice A ha n pivots, ogni sistema lineare AXi^ = ei ammette un’unica soluzione, pertanto esiste un’unica matrice F inversa destra di A. Per determinare le colonne della matrice F risolviamo i sistemi lineari scritti sopra procedendo con il metodo di riduzione di Gauss. Poich´e per tutti i sistemi la matrice dei coefficienti `e la stessa, lavoreremo, mediante operazioni elementari, direttamente sulla matrice :
(A|e 1 e 2 · · · en) = (A|In),
dove il vettore colonna ei `e il termine noto dell’ i-esimo sistema lineare. Applicando l’algoritmo di riduzione di Gauss otterremo:
(A|In) =⇒ (C|D),
dove C e D sono riduzioni elementari rispettivamente di A e di In. Poich´e A ha n pivots, la matrice C `e del tipo:
C =
1 c 12 c 13 · · · · · · c 1 n 0 1 c 23 · · · · · · c 2 n 0 0 1 · · · · · · c 3 n .. .
. 1 cn− 1 n 0 0 0 · · · · · · 1
Osserviamo che attraverso operazioni elementari possiamo trasformare la matrice C nella matrice In, ottenendo a destra la matrice F cercata:
(C|D) =⇒ (In|F ).
Infatti il sistema lineare AXi^ = ei, la cui unica soluzione `e F i, risulta equivalente al sistema In · Xi^ = Xi^ = F i.
Infine, proviamo che la matrice F e anche inversa sinistra di A, cioe si ha F A = In. A tal fine osserviamo che poich´e In `e una modificazione elementare di F , anche la matrice F ha n pivots. Quindi per quanto abbiamo appena dimostrato la matrice F ammette un’ unica inversa destra. Per determinarla possiamo procedere come prima, applicando il metodo di Gauss partendo dalla matrice (F |In): facendo il percorso inverso otteniamo:
(F |In) =⇒ (D|C) =⇒ (In|A),
da cui ricaviamo che A e l’unica matrice inversa destra di F , cioe
F A = In.
Poich´e risulta AF = F A = In, possiamo conludere che A e invertibile e Fe l’inversa di A.
Esempio 12. Determiniamo la matrice inversa di
A =
