MATRICE INVERSA
Se A è una matrice quadrata di ordine n con determinante diverso da zero, allora A è invertibile,
cioè esiste la matrice inversa , matrice che verifica l’uguaglianza:
,
dove I è la matrice identità, la matrice con tutti 1 sulla diagonale principale e 0 altrove.
Esercizio 1.
Iniziamo cercando di capire come si ottiene la matrice inversa di una matrice 2x2, per poi procedere
a individuare una regola generale.
Sia ad esempio ; osserviamo innanzitutto che , quindi A è invertibile. Cerchiamo . Moltiplicando
per si ottiene:
; affinché quest’ultima sia uguale all’identità, cioè alla matrice , dovrà risultare: . Dalle prime due
equazioni si ottiene , mentre dalle seconde due : . Questo procedimento, abbastanza semplice da
applicare per matrici 2x2, diventa man mano più complesso all’aumentare dell’ordine. Esiste un
modo più rapido per determinare l’inversa della matrice. Vediamolo intanto per le matrici di ordine
2 e confrontiamo il risultato con quello già ottenuto con la matrice A dell’esempio.
Elemento : si calcola il determinante della matrice che si ottiene togliendo la prima riga e la prima
colonna di A (in questo caso è solo il numero -4) e lo si divide per il determinante di A
(nell’esempio ).
Elemento : si calcola il determinante della matrice che si ottiene togliendo la seconda riga e la
seconda colonna di A (in questo caso è solo il numero 1) e lo si divide per il determinante di A
(nell’esempio ).
In modo analogo si procede per tutti gli elementi della diagonale principale di matrice di ordine
superiore: si calcola il determinante della matrice che si ottiene togliendo la riga e la colonna alla
quale appartengono e lo si divide per il determinante della matrice intera.
Elemento : si individua il suo simmetrico rispetto alla diagonale principale (nel nostro esempio è ,
e si prende con lo stesso segno, o con il segno opposto, a seconda che la somma degli indici di riga
e colonna sia pari oppure dispari; si calcola il determinante della matrice che si ottiene togliendo la
riga e la colonna di A alla quale appartiene questo simmetrico e lo si divide per det A (nell’esempio
il simmetrico di =2 è =3, che però va preso col segno negativo; si tolgono la riga e la colonna alle
quali appartiene 3 e si trova 2, quindi si divide .2 per il detA e il risultato dà l’elemento della
matrice inversa: ).
Si procede nello stesso modo per tutti gli elementi che non appartengono alla diagonale principale.
Quindi:
elemento : si considera il suo simmetrico e si calcola il determinante della matrice che si ottiene
togliendo la riga e la colonna alla quale questo elemento simmetrico appartiene, e se ne cambia il
segno: -3; si divide questo numero per detA: . La matrice inversa è la stessa che avevamo
determinato risolvendo il sistema: .
Prima di andare avanti con le matrici di ordine superiore conviene esercitarsi un po’ con quelle 2x2,
risolvendo gli esercizi che seguono; provate con il metodo più rapido e verificate il risultato
mostrando che il prodotto dà la matrice identità.
