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Statistica

Probabilità elementari

Francesco Pauli

A.A. 2016/

Perché dicile?

Studi psicologici hanno mostrato che, mediamente, la nostra intuizione siinganna facilmente quando ragioniamo su problemi che riguardano la

probabilità o la statistica.

I La prima intuizione è spessoscorretta.

I È dicile convincersi chel'intuizione è sbagliata: ciò

richiede uno sforzologico-matematico.

I (E occorre conoscere lamatematica che serve.) www.xkcd.com

Ci si mette al riparo dagli inganni?

Cioè, studiando probabilità e statistica si diventa immuni dall'intuizione?

I Probabilmente no!

I È un po' come avviene per leillusioni ottiche: anche quando

ci viene detto che i quadrati A eB hanno lo stesso colore,

continuiamo a vederli di colorediverso.

I L'intuizione e potente.

Saremo in grado, però, di capire quando la situazione è ingannevole.

Storia della probabilità

Lo sviluppo della matematica è molto antico I

Il primo sistema di numerazione posizionale (babilonese) risale a ∼ 3000AC

I Elementi di Euclide ∼ 300AC;

I numeri arabi: ∼ 100 − 400DC

E la probabilità? I

L'incertezza era rilevante (già) allora, i numerosi oracoli a disposizionelo provano.

I Anche il gioco d'azzardo era un passatempo comune.

I I Eppure, nessuno sviluppa il calcolo delle probabilità,

anzi, era comune sbagliare, ad esempio le vincite comunemente pagatetra giocatori di astragalo (antenato del dado) non erano coerenti, il

risultato maggiormente premiato non era il meno probabile.

Probabilità e scienza

I È alla ne del XVIII secolo che i metodi probabilisticicominciano a essere impiegati per scopi meno frivoli

I teoria degli errori in sica: Bernoulli, Laplace, DeMoivre.

I in particolare in astronomia, dove si studia il moto deipianeti e l'errore di misura è particolarmente rilevante:

I Dal tardo XIX secolo si comincia a parlare anche diGauss 1820.

statistica I nelle scienze sociali con Quetelet,

I I nell'antropologia con Galton,nella genetica con Fisher, che nel XX secolo sviluppa il

moderno metodo statistico.

Oggi

Oggi, il calcolo delle probabilitàpervade molti campi scientici

I I sica quantistica,

I farmaceutica,

genetica,

Inoltre, ha un ruolo in molte attivitàdi ogni giorno

I I ricerche su internet,

I previsioni del tempo,

economia, nanza, assicurazioni.

http://www.ov-10bronco.net/users/merlin/Humor/

Probabilità, misura dell'incertezza

La maggior parte delle cose che ci succedono intorno sono incerte.

IMPOSSIBILEdomani un asteroide colpirà la terra estinguendo l'umanitàdomani pioveràdomani sarà nuvolosoil 22/3/17 il soleCERTOsorgerà alle 6:

La maggior parte degli eventi sta nel mezzo.

Probabilità, misura dell'incertezza

La maggior parte delle cose che ci succedono intorno sono incerte.

IMPOSSIBILEdomani un asteroide colpirà la terra estinguendo l'umanitàsuperare statistica al I colpodomani pioveràsuperare statistica al I colpodomani sarà nuvolososuperare statistica al I colpoil 22/3/17 il soleCERTOsorgerà alle 6:

Può essere più o meno facile graduarli.

Quale probabilità

I Dicendo che la probabilità è il `grado di ducia' abbiamo datoun'ottima denizione, che è però di scarso aiuto quando si tratta di

I determinare tale grado di ducia.Qual è la probabilità che domani piova?

I I A occhio?Piovosità media in marzo: 26%

I OSMER

I In eetti, tutte le valutazioni vanno bene: sono opinioni, ciascunalegittima, magari qualcuna più ragionevole o più informata.

Quale probabilità (continua)

I In eetti, non si possono dare regole generali per assegnare unaprobabilità.

I Tale assegnazione è, in molti casi, estremamente complessa, adesempio l'OSMER, per un evento tutto sommato banale come

`domani piove', impiega modelli meteorologici complessi e combinamolte informazioni.

I Vedremo, nel seguito, dei metodi statistici per stimare una probabilitàcon un certo tipo di informazioni.

I Per intanto, vedremo alcuni casi in cui l'assegnazione è semplice eintuitiva.

I In tali situazioni sarà agevole capire anche alcune regole per combinareprobabilità.

Interpretazione frequentista (continua)

Questo è il risultato con 200 lanci

Lanci

Percentuale di teste

Interpretazione frequentista (continua)

Facendo altri 200 lanci il risultato cambia

Lanci

Percentuale di teste

C'è però una certa regolarità: man mano che si va avanti il risultato sistabilizza intorno al 50%, che è la probabilità che, intuitivamente,

attribuiremmo all'evento `esce testa'. Francesco Pauli Probabilità elementari 16 / 58

Leggi del calcolo delle probabilità

I I Abbiamo così una denizione più operativa.

Ci permette perlomeno di assegnare delle probabilità per eventisemplici come

I I esce testa al lancio di una moneta;esce 1 al lancio di un dado;

I Questi eventi elementari possono però essere combinati per denireeventi più complessi.

I Vedremo ora delle regole per combinare le probabilità di questi eventielementari per calcolare quella di eventi più complessi.

I Illustreremo le regole del c.d.p. nel contesto di giochi d'azzardo.

I S'usa il gioco d'azzardo perché è una situazione in cui il ruolo del casoè evidente.

Il gioco dei dadi

Quando si parte il gioco de la zara,colui che perde si riman dolente, repetendo le volte, e tristo impara;Dante - Purgatorio, VI, 1-

Consideriamo un dado a sei facce numerate

Se il dado non è truccato si ha

P( ) = P( ) = P( ) = P( ) = P( ) = P( ) = 16 Dado romano