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Appunti di Probabilità e Statistica
a.a. 2014/2015 C.d.L. Informatica
Bioinformatica
I. Oliva
Lezione 3
1 Probabilità
Calcolo delle probabilità: studio e formalizzazione matematica di fenomeni casuali, per i quali non è possibile predire l'esito.
Casualità
informazioni incomplete
Non esiste teoria matematica
teoria non applicabile
nanza lotterie lancio moneta
Storicamente, si sono succeduti tre modi distinti di de nire la probabilità:
frequentista: si misura sulla base di osservazioni statistiche, sulla frequenza con cui un evento si veri ca.
P (A) := lim n→ 0
fn(A) n Una de nizione del genere potrebbe valere solo se si eettua un numero assai elevato di prove, tutte uguali e nelle stesse condizioni.
Esempio 1.1. Qual è la probabilità che un lavoratore sia vittima di un incidente sul lavoro?
soggettivista: si misura sulla base del grado di ducia che una persona ha nel veri carsi di un certo evento. Si de nisce come il prezzo equo che un individuo ritiene equo pagare per ricevere 1 se l'evento si veri ca e 0 se non si veri ca.
Esempio 1.2. Chi vincerà la partita tra la squadra A e la squadra B?
classico: si calcola, in maniera oggettiva, come rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero di casi possibili:
P (A) =
casi favorevoli casi possibili
Esempio 1.3. qual è la probabilità che esca 6 nel lancio di un dado?
1.1 Formulazione assiomatica della probabilità
Supponiamo di condurre un esperimento aleatorio, ossia un esperimento il cui esito non è possibile prevedere a priori. Tali esperimenti sono caratteriz- zati da incertezza del risultato, ripetibilità dell'esperimento ed equiprobabilità dei risultati. Ogni possibile risultato dell'esperimento si chiama evento ω e l'insieme degli eventi costituisce lo spazio campionario Ω.
Esperimento Evento Spazio campionario Lancio del dado il dado mostra la faccia 6 Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } Lancio della moneta è uscita testa Ω = {T, C} Stato di un interruttore elettrico ON Ω = {ON, OF F } Tempo che intercorre tra l'inizio del funzionamento di un dispositivo sono intercorsi 10 sec Ω = R+ ed il suo primo guasto
Esempio 1.4.
Gli eventi si rappresentato attraverso gli insiemi:
Proprietà delle operazioni tra insiemi
- Prop. commutativa: A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A
- Prop. associativa: A∪(B ∪C) = (A∪B)∪C = A∪B ∪C; A∩(B ∩C) = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ B ∩ C
- Prop. distributiva: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C); A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
- Leggi di De Morgan: A ∪ B = A¯ ∩ B¯; A ∩ B = A¯ ∪ B¯
Nel 1933, Kolmogorov ha dato una de nizione assiomatica della proba- bilità.
A.1 Ad ogni evento A, corrisponde un certo numero P (A), chiamato proba- bilità di A, tale che 0 ≤ P (A) ≤ 1
A.2 P (Ω) = 1
A.3 se gli eventi Ai, Aj sono disgiunti (Ai ∩ Aj = ∅ ), allora
P (Ai ∪ Aj ) = P (Ai) + P (Aj )
La terna (Ω, F, P ) si chiama spazio di probabilità, dove Ω è lo spazio campionario, F è una collezione di sottoinsiemi, contenente lo spazio stesso e chiusa rispetto all'unione (numerabile) ed al complementare, detta σ-algebra, e P è la funzione di probabilità P : Ω → [0, 1].
Cosa rappresentano questi assiomi?
A.1 vuol dire che la probabilità associata ad un evento è un numero non negativo e rappresenta la probabiltà che esso si veri chi. A.2 implica che l'evento certo (che si veri ca sicuramente) ha il valore massimo assunto dalla probabilità. A.3 è l'assioma della σ-additività.
Proprietà della probabilità
Proposizione 1.1. Se A, B sono eventi dello spazio campionario Ω, allora si ha:
- P ( A¯) = 1 − P (A)
- P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
- se B ⊂ A, allora P (B) ≤ P (A)
Proof. Consideriamo gli eventi A e B.
- Per de nizione di insieme complementare, A ∪ A¯ = Ω e A ∩ A¯ = ∅, dunque
1 = P (Ω) = P (A ∪ A¯) = P (A) + P ( A¯) ⇒ P ( A¯) = 1 − P (A).
- facciamo riferimento al seguente diagramma: Ω
A B
Si ricava che:
A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B¯) B = (A ∩ B) ∪ ( A¯ ∩ B) A ∪ B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B¯) ∪ ( A¯ ∩ B)
- solo il secondo dado dà 6
- solo un dado dà 6
Se lanciamo due dadi, lo spazio campionario sarà costituito da tutte le coppie {(i, j) : i, j = 1,... , 6 }, ossia
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
Sia A l'evento il primo dado dà 6 e sia B l'evento il secondo dado dà 6. Si ha:
P (A) =
casi favorevoli casi possibili
= P (B).
- A ∩ B =entrambi i dadi danno 6 e A ∪ B =almeno un dado dà 6, allora
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) =
- A ∪ B = nessun dado dà 6, allora
P (A ∪ B) = 1 − P (A ∪ B) =
- A ∩ B¯ = solo il primo dado dà 6; inoltre, A ∪ B = B ∪ (A ∩ B¯) (incompatibli), allora
P (A ∩ B¯) = P (A ∪ B) − P (B) =
- Come nel punto precedente.
- C = (A ∩ B¯) ∪ ( A¯ ∩ B) (incompatibili), allora
P (C) = P (A ∩ B¯) + P ( A¯ ∩ B) =
1.2 Probabilità condizionata e indipendenza
La probabilità condizionata è la probabilità che un evento si veri chi, sapendo che se ne è già veri cato un altro. Dati due eventi A, B, con P (B) > 0 , la probabilità condizionata si de nisce come segue:
P (A|B) :=
P (A ∩ B)
P (B)
A si chiama evento condizionato e B evento condizionante.
Esempio 1.6. Quanto vale la probabilità che la somma delle facce di due dadi sia 12, sapendo che su uno dei due è uscita la faccia 6?
Consideriamo i seguenti eventi: A = somma pari a 12 e B =un dado mostra la faccia 6. Allora,
P (A|B) =
P (A ∩ B)
P (B)
essendo A ∩ B = {(6, 6)} e
B = {(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (5, 6), (6, 5), (6, 4), (6, 3), (6, 2), (6, 1)}.
Proprietà della probabilità condizionata
- Legge delle probabilità composte:
P (A ∩ B) = P (A|B) · P (B)
Proof. Si ricava direttamente dalla de nizione di probabilità condizion- ata
- Formula della moltiplicazione:
P (A 1 ∩A 2 ∩· · ·∩An) = P (A 1 )P (A 2 |A 1 )P (A 3 |A 2 ∩A 1 ) · · · P (An|An− 1 · · · A 1 )
Proof.
P (A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ An) = P [(A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ An− 1 ) ∩ An] = P [An|(A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ An− 1 )] · P (A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ An− 1 ) = P [An|(A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ An− 2 ∩ An− 1 )] · P (An− 1 |A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ An− 2 ) · P (A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ An− 2 ) =... = P (An|An− 1 ∩ · · · ∩ A 1 ) · · · P (A 3 |A 2 ∩ A 1 ) · P (A 2 |A 1 ) · P (A 1 )
allora
P (A) = P
( (^) n ⋃
k=
(A ∩ Bk)
∑^ n
k=
P (A ∩ Bk)
∑^ n
k=
P (A|Bk)P (Bk)
La seguente proprietà va sotto il nome di formula di Bayes ed è molto utile nelle applicazioni
Proposizione 1.2. Siano B 1 ,... , Bn eventi tali che Ω =
⋃n k=1 Bk, Bh^ ∩Bk^ = ∅ e P (Bk) > 0 , per ogni k = 1,... , n. Allora, per ogni evento A con P (A) > 0 , si ha
P (Bk|A) =
P (A|Bk)P (Bk) P (A)
Proof. Gli eventi B 1 ,... , Bn formano una partizione di Ω :
B 1
B 6
B 3
B 5
B^4
B^7
B 2 B^8
Dalla legge delle probabilità composte e dalla de nizione di probabilità condizionata, si ha
P (Bk|A) =
P (Bk ∩ A) P (A)
P (A|Bk) · P (Bk) P (A)
Inoltre, A ⊂ Ω =
⋃n i=1 Bj^ ,^ dunque
A = A ∩ Ω = A ∩
⋃^ n
i=
Bj =
⋃^ n
i=
(A ∩ Bj ) ,
che è unione disgiunta, essendo A ∩ Bj incompatibili. Allora,
P (A) =
∑^ n
j=
P (A ∩ Bj ) =
∑^ n
j=
P (A|Bk) · P (Bk)
⇒ P (Bk|A) =
P (Bk|A)P (A) ∑n j=1 P^ (A|Bk)^ ·^ P^ (Bk)^
Esercizio 1.1. Da un mazzo di 52 carte se ne sceglie una a caso.
- Qual è la probabilità di estrarre una gura oppure una carta di ori?
Esercizio 1.2. Un'azienda viti-vinicola possiede 2 diversi vigneti, ciascuno dei quali concorre alla produzione totale di vino. Il primo vigneto, costituito al 70% da Cabernet-Sauvignon ed al 30% da Barbera, è collocato in una po- sizione collinare molto favorevole dal punto di vista enologico, che garantisce un elevato livello di qualità. Il secondo vigneto si trova invece in pianura, è votato alla produzione di vini da tavola, ed è composto al 55% da Pignoletto, al 25% da Barbera, ed il restante uvaggio è Albana. Dai dati relativi alla vendemmia 2007 è stato riscontrato che il primo vigneto ha fornito il 35% della produzione totale di uva dell'azienda.
- Se un vostro amico decide di regalarvi una bottiglia scelta a caso tra quelle prodotte dalla ditta nel 2007, qual è la probabilità che vi regali un Pignoletto?
- Qual è la probabilità che vi regali una bottiglia di vino bianco (Pigno- letto o Albana)?
- Se all'interno della confezione regalata trovate una bottiglia di Barbera, qual è la probabilità che essa sia stata prodotta dal vigneto collinare?
Esercizio 1.3. Una azienda produttrice di computer possiede 3 stabilimenti in Italia, uno a Milano, uno ad Ancona ed uno a Bari, che producono, rispet- tivamente, il 20%, il 30% ed il 50% del totale. Studi di settore hanno mostrato che i tre stabilimenti presentano percentuali di dispositivi difettosi pari a 10%, 5% e 1%, rispettivamente.
Combinazioni semplici: contano i gruppi di k elementi, di un insieme di cardinalità n, che dieriscono tra loro per almeno un elemento, ma non importa l'ordine con il quale gli elementi sono disposti
Cn,k =
n k
Combinazioni con ripetizione: contano i gruppi di k elementi, di un in- sieme di cardinalità n, che dieriscono tra loro per almeno un elemento, ma non importa l'ordine con il quale gli elementi sono disposti ed uno stesso elemento può comparire nello stesso gruppo no a k volte
C′ n,k =
n + k − 1 k
Remark 1.1. • Fattoriale: n! := n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1
Per esempio, 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
- Coe ciente binomiale: ( n k
n! k!(n − k)!
Per esempio,
3
= 3!3!6! = 6 ·^53 ··^42 ··^33 ··^22 · 1 = 20
Esempio 1.7. Nel gioco del poker, ciascun giocatore ha in mano 5 carte, servite da un mazzo di 52 carte francesi. Calcolare:
- il numero di mani distinte che un giocatore può ricevere.
Dobbiamo contare in quanti modi 5 delle 52 carte possono essere di- stribuite. Ciascuna carta non viene reintrodotta nel mazzo e l'ordine delle carte ricevute non è importante. Dunque, il numero di mani che si possono ricevere è
C 52 , 5 =
- la probabilità di avere un poker d'assi servito.
Possiamo calcolare tale probabilità ricorrendo alla de nizione classica di rapporto tra casi favorevoli e casi possibili. Avere un poker servito vuol dire avere, tra le 5 carte ricevute all'inizio, 4 assi ed una carta diversa. Dunque, i casi favorevoli si calcolano come
il numero di modi di ricevere la quinta carta, dalle 52 − 4 = 48 carte rimanenti nel mazzo, ossia, C 48 , 1 = 48 modi. I casi possibili sono dati da tutti i possibili modi di ricevere le 5 carte, che abbiamo calcolato nel punto precedente. Alla ne, si ha:
P (aaaa) =
= 1.8469 10−^5
- la probabilità di avere un poker servito.
Come per il punto precedente, la probabilità si ottiene dalla de nizione classica come rapporto tra casi favorevoli e casi possibili. In questo caso, i casi favorevoli sono dati da tutti i possibili modi di avere 4 carte uguali ed una diversa. Essendo il mazzo di carte costitutito da 52 pezzi, divisi in 4 semi, la quantità cercata è
P (poker) =
13 × 48
- la probabilità di avere esattamente una coppia.
La probabilità cercata è:
P (coppia) =
1
×
2
×
3
× 43
dove
1
è il numero di carte per ciascun seme (quindi il numero di coppie che si possono formare),
2
conta il numero di modi di scegliere due carte uguali,
3
conta il numero di modi di scegliere le tre carte restanti e diverse, 43 conta i modi per scegliere il seme.
Esercizio 1.4. Sia dato l'insieme A = { 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 9 }. Se non sono permesse ripetizioni,
- quanti numeri di tre cifre si possono comporre, avendo a disposizione le cifre di A?
- quanti, tra i numeri ottenuti al punto 1, sono minori di 400?
- quanti, tra i numeri ottenuti al punto 1, sono pari? E quanti sono dispari?
- quanti, tra i numeri ottenuti al punto 1, sono multipli di 5?
FX de nisce la distribuzione delle probabilità di eventi in un esperimento casuale.
Proprietà della funzione di distribuzione: (senza dimostrazione)
- Fx è una funzione monotona non decrescente
- limx→x+ 0 FX (x) = FX (x 0 ), per ogni x 0 ∈ R
- limx→−∞ FX (x) = 0, limx→+∞ FX (x) = 1
- P (X > x) = 1 − FX (x)
- P (x < X ≤ y) = FX (y) − FX (x)
Le v.a. sono classi cate in discrete e (assolutamente) continue.
v.a. discreta: X si dice discreta se il suo supporto (i.e., l'insieme dei valori assunti) è discreto. Esempi di v.a. discrete sono: il numero di volte che bisogna lanciare una moneta prima di ottenere testa, il numero di domande corrette in un quiz vero/falso, il numero di teste nel lancio di 3 monete.
Per calcolare la probabilità associata ad una v.a., si introduce la seguente funzione p(x) := P (X = x)
p : R → R t.c. 0 ≤ p(x) ≤ 1 , p(x) = 0 ∀ x /∈ S,
k ∈ I
p(xk) = 1
Essa è detta funzione di probabilità sul supporto S = {xk : k ∈ I} ⊂ R, con I ⊂ Z.
X x 1 x 2 · · · xk Prob. p(x 1 ) p(x 2 ) · · · p(xk) con le condizioni:
p(xi) ≥ 0 , ∀ i = 1,... , k e
∑^ k
i=
p(xi) = 1.
Esempio 1.9. Lancio di tre monete.
Ω = {CCC, CCT, CT C, T CC, CT T, T CT, T T C, T T T }
X 0 1 2 3
p(X) (^18383818)
Esempio 1.10. Lancio di due dadi.
Ω = {(i, j) : i = 1,... , 6 , j = 1,... , 6 }
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 p(X) 361 362 363 364 365 366 365 364 363 362 361
- V.a. binomiale. Consideriamo un esperimento aleatorio con due soli esiti, successo S e fallimento F. Si ripete l'esperimento un numero n ∈ N di volte, in condizioni identiche, in modo che ciascuna prova non in uenzi le altre (e.g., lancio della moneta). Costruiamo un opportuno spazio di probabilità. Spazio campionario:
Ω := {(a 1 ,... , an) : ak ∈ { 0 , 1 }, ∀ k = 1,... , n}
σ-algebra: F = P(Ω) (insieme delle parti) Esempio 1.11. Sia A = {a, b, c}. Allora, l'insieme delle parti di A è {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A} Probabilità: sia
Ei = {l'i-sima prova è un successo}, ∀ i = 1,... , n ,
dove gli eventi non si in uenzano reciprocamente e sono equi- probabili, in simboli
Ei ∩ Ej = ∅, P (Ei) := p, ∀ i = 1,... , n.
Allora, si ha:
{ω} = {(a 1 ,... , an)} =
h|ah=
Eh
k|ak =
E^ ¯h
- Supponendo di scegliere, a caso e con riposizione, 10 persone che si sono recate allo sportello, calcolare la probabilità, che il numero totale di operazioni di prelievo sia maggiore di 9.
- Se, su 6 estrazioni a caso e con riposizione, almeno tre persone hanno eettuato un prelievo, calcolare la probabilità che il numero totale di operazioni di prelievo sia maggiore di 4. Esercizio 1.8. Una compagnia aerea lancia una oerta promozionale, che consiste nel rilasciare un buono per un viaggio gratuito A/R, per una destinazione a scelta. Per il lancio promozionale, vengono emessi 8 buoni ogni 100 biglietti stampati.
- Se decidete di eettuare 5 acquisti presso tale compagnia aerea, qual è la probabilità che non vinciate nemmeno un viaggio?
- Se decidete di eettuare 5 acquisti presso tale compagnia aerea, qual è la probabilità di vincere 3 o 4 viaggi?
- Quanti acquisti sono necessari, perché la probabilità di vincere almeno un viaggio sia superiore al 50%?
Supponiamo di avere un apparecchio, non soggetto ad usura, e di controllarne lo stato (funzionante/non funzionante) ad istanti successivi discreti (per es, ogni ora). Sia X l'istante in cui avviene il guasto; qual è il modello proba- bilistico più adatto a descrivere X?
P (X > k + 1|X > k) = P (X > 1), k ≥ 1 ,
i.e., la probabilità che l'apparecchio si rompa all'istante k + 1, sapendo che ha funzionato no all'istante k, è la stessa di trovare l'apparecchio funzionante all'istante iniziale (assenza di memo- ria). Supponiamo di conoscere P (X > 1) := q, allora si ha:
q = P (X > k + 1|X > k) =
P (X > k + 1, X > k) P (X > k)
P (X > k + 1) P (X > k) ⇒ P (X > k + 1) = qP (X > k), ∀ k ≥ 1 ⇒ P (X > 2) = qP (X > 1) = q^2 ⇒ P (X > 3) = qP (X > 2) = qk .. . ⇒ P (X > k + 1) = qP (X > k) = qk+
D'altro canto, noi siamo interessati a P (X = k), ossia, la proba- bilità che si veri chi un guasto esattamente all'istante k. Allora, si ha:
P (X = k) = P (X ≤ k)−P (X ≤ k−1) = 1−qk−1+qk−^1 = qk−^1 (1−q).
Poniamo p := 1 − q, dove p è la probabilità che si veri chi un guasto prima dell'istante X, allora
P (X = k) = p(1 − p)k−^1 , k ≥ 1.
La v.a. che descrive l'istante del primo guasto si chiama v.a. geometrica e
P (X = k) =
p(1 − p)k−^1 , k ≥ 1 0 , altrimenti
Esercizio 1.9. Consideriamo un'urna contenente 10 palline bianche e 15 nere ed eettuiamo estrazioni con reinserimento. In partico- lare, estraiamo le palline nché non otteniamo una pallina nera.
- Calcolare la probabilità che la pallina nera sia estratta, per la prima volta, dopo 20 estrazioni.
- Calcolare la probabilità che per estrarre una pallina nera perla prima volta servano almeno 10 estrazioni. Esercizio 1.10. Un amico ci s da a giocare a tiro al bersaglio. Abiamo a disposizione un certo numero di tiri e sappiamo che gli esiti di tali tiri sono tra loro indipendenti. Inoltre, la probabilità di fare centro è 0.3. Calcolare:
- la probabilità di fare centro in 6 tiri;
- la probabilità di fare centro per la prima volta esattamente al sesto tiro;
- la probabilità di sbagliare non più di 5 volte, prima di fare centro;
- la probabilità di centrare il bersaglio per la prima volta al set- timo tiro, sapendo che almeno 5 tiri sono stati sbagliati.
Ad un centralino, sia X il numero di telefonate che arrivano ad un operatore in un ssato intervallo di tempo, sia n il numero di
