Elementi di Probabilità, Dispense di Statistica

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Capitolo 8

Probabilità

Cap. 8. 1

Richiami

di Calcolo Combinatorio

Disposizioni semplici

Sia dato un insieme finito A di n elementi

A = { a 1 , a 2 , a 3 , ….. a n }

Fissato un valore K ϵ N , con 1 ≤ K ≤ n, si chiamano Disposizioni Semplici degli n Elementi di A presi a K a K (o di classe K) tutti i raggruppamenti ordinati formati con K elementi di A.

Si osservi che due qualunque disposizioni di A della stessa classe differiscono o per qualche elemento oppure per l’ordine in cui si susseguono gli elementi.

Es. sia A = { a, b, c } ;

• D 3 , 1 sono ( a, b, c );
  • D 3 , 2 sono (a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b);
  • D 3 , 3 sono (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a).

Il numero delle disposizioni Semplici di classe K degli n Elementi di A è:

D (^) n , (^) K = n(n - 1) (n - 2) … (n - K + 1) = n! (n - K)!

Permutazioni semplici

Si chiamano Permutazioni Semplici degli n elementi di A le Disposizioni Semplici di classe n.

Cn,k =^ n =^ n! k k! (n - k)!

e si legge “ n su k ”

Disposizioni con Ripetizioni

Sia dato un insieme finito A di n elementi

A = { a 1 , a 2 , a 3 , ….. a n }

Fissato un valore K ϵ N* , con 1 ≤ K ≤ n, si chiamano Disposizioni con Ripetizioni degli n

Elementi di A presi a K a K (o di classe K) tutti i raggruppamenti ordinati formati prendendo K elementi,

Eguali o Distinti, tra gli n di A.

Es. sia A = { a, b };

• D (r) 2 , 1 sono ( a, b );
• D (r) 2 , 2 sono (a, a), (a, b), (b, a), (b, b);
• D (r) 2 , 3 sono (a, a, a), (a, a, b), (a, b, a), (a, b, b), (b, a, a), (b, a, b), (b, b, a), (b, b, b).

Il numero delle disposizioni con Ripetizioni di classe K degli n Elementi di A è:

D (r)n, (^) k = n K

Difatti

D (r)n ,k = n x n x …. n = n k

K volte

Permutazioni con Ripetizioni

Si chiamano Permutazioni con Ripetizioni degli n elementi di A tutti i Raggruppamenti ordinati formati con tutti gli Elementi di A presi rispettivamente r 1 , r 2 , …, r (^) n volte (r (^) i ≥ 1, i = 1, 2, …, n).

Due qualunque P (r)^ differiscono tra loro soltanto per l’Ordine in cui si susseguono gli Elementi.

Es. sia A = { a, b };

• a = r 1 = 1 (vuol dire che a si ripete 1 volta in ogni raggruppamento);
• b = r 2 = 3 (vuol dire che b si ripete 3 volta in ogni raggruppamento);
• raggruppamenti: (a, b, b, b), (b, a, b, b), (b, b, a, b), (b, b, b, a).

Il numero delle P (r)^ degli n Elementi di A presi rispettivamente r 1 , r 2 , …., r (^) n volte (r (^) i ≥ 1, i = 1, 2, …, n) è:

P(r)r1, r2, …, rn = M! / r 1! r 2! … r (^) n!, con M = ∑ri

Binomio di Newton

In algebra il teorema binomiale (o anche formula di Newton, binomio di Newton e sviluppo binomiale) esprime lo sviluppo della potenza n-esima di un Binomio qualsiasi.

Per ogni a,b ϵ R n ϵ N* si ha

(a + b)n^ = ∑nk = 0 Cn ,k a n-k^ bk

• C (^) n, (^) k Coefficiente Binomiale

Indica il numero di volte in cui si ripetono a n-k^ bk

• Progressione del Coefficiente Binomiale

Cn , 0 , Cn , 1 , Cn , 2 , … C n, n – 1, Cn, n

(a + b)n^ = C n,0 an-0^ b^0 + C n,1 an-1^ b^1 + Cn,2 a n-2^ b^2 + Cn ,n-1 a n-(n-1)^ bn-1^ + Cn ,n a n-n^ bn

In sintesi:

• l’esponente del termine a decresce da n → 0,
• l’esponente del termine b cresce da 0 → n.

Esempi:

se n = 1 (a + b)^1 = a + b;

se n = 2 (a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b 2

poiché l’ordine dei fattori non conta, avremo

a 2 + 2ab + b 2 ;

se n = 3 (a + b) 3 = (a + b)(a + b)(a + b) = (a^2 + 2ab + b 2 )(a + b) = a 3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b 3 ;

individuare il k-esimo termine

se n = 7 e k = 3, con C 7 , 3 = 35

Cn , (^) k a n-k^ bk^ = C 7 , 3 a7-3^ b^3 = 35 a^4 b 3

Cap. 8. 2

Elementi Introduttivi

Probabilità, Prova ed Eventi

Cap. 8. 3

Operazioni fra eventi

1. Evento Contrario o Complementare
   • E - Evento E,
   • E c^ - Evento Contrario o Complementare

E E c V F F V

2. Somma Logica o Unione degli Eventi

Siano A e B due eventi.

Si definisce evento somma logica o unione degli eventi A e B, e si indica con A U B,

l’evento vero se e solo se almeno uno dei due eventi è vero.

A B A U B

V V V

V F V

F V V

F F F

Eventi Necessari

Due eventi A e B si dicono necessari se A U B = Ω.

3. Prodotto logico o intersezione degli eventi

Si definisce l’evento prodotto logico o intersezione degli eventi A e B, e si indica con A ∩ B (o AB), è l’evento vero se e solo se entrambi gli eventi sono veri.

A B A ∩ B

V V V

V F F

F V F

F F F

Eventi Incompatibili o Mutualmente esclusivi

• se A ∩ B = ø, sono due eventi Incompatibili o Esclusivi.

Evento Differenza

• Eventi Intersezioni: A ∩ B = {4, 6} e A c^ ∩ B = {5};
• Unioni: A U B = {2, 4, 5, 6} e A U A c^ = ; {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω;
• Mutualmente Esclusivi, sono compatibili

A e B non sono mutualmente esclusivi in quanto 4 e 6 sono comuni ad entrambi;

• Collettivamente Esaustivi

A e B non sono collettivamente esaustivi in quanto A U B non contiene 1 e 3;

Cap. 8. 4

Concezioni di Probabilità

Il concetto di Probabilità ha diverse Concezioni:

• Oggettiva
  • Classica o di Laplace

Detta A priori e Matematica

P(E) = x n

x = Casi favorevoli;

n = Casi possibili.

Esempio lancio del dado: quale è la probabilità che esca il 6 in un lancio di dado?

P(E=6) = x = 1 = 0, n 6

• Frequentista

Detta A posteriori

Tale probabilità viene generata da un esperimento

Dato un Evento E,

Successi = x

Numero prove = n

P(E) = p = x n

Se n ∞, P(E) alla probabilità A priori

• Soggettiva

È il grado di fiducia che l’individuo pone nel verificarsi

Evento E, con P(E)

Ipotesi H, con P(H).

Tabella Generica

A B P(A) B 1 B 2 ….. Bj …. B (^) m A 1 P(A^1 ∩^ B^1 )^ P(A 1 ∩^ B^2 )^ ….^ P(A^1 ∩^ B^ j )^ P(A^1 ∩^ B^ m)^ P(A 1 ) A 2 P(A^2 ∩^ B^ 1)^ P(A^2 ∩^ B^ 2)^ P(A^2 ∩^ B^ j)^ P(A^2 ∩^ B^ m )^ P(A 2 ) …. ….. ….. … ….. … …. … A (^) i P(A^ i ∩^ B^ 1)^ P(Ai ∩^ B^ 2)^ P(Ai ∩^ B^ j )^ P(Ai ∩^ B^ m )^ P(Ai ) …. …..^ ….^ ….^ …..^ …^ …. An P(A^ n ∩^ B^ 1)^ P(An ∩^ B^ 2)^ P(A^ n ∩^ B^ j)^ P(A^ n ∩^ B^ m)^ P(An ) P(B) P(B 1 ) P(B 2 ) … P(Bj ) … P(B (^) m) Ω

Probabilità Marginale A = P(A) = ∑ P(A (^) i );

Probabilità Marginale B = P(B) = ∑ P(B (^) j ).

1. Probabilità Totali o Proprietà additiva delle Probabilità

• Dati due Eventi A e B
• Con P(A) e P(B)
  • Le Probabilità che uno dei due si verifichi è dato:
  • P(A U B) ≤ p(A) + P(B)
  • Diseguaglianza di Boole.

a. Se Eventi Compatibili

Il verificarsi dell’uno non esclude l’altro, aut, o, Inclusivo.

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

P(A ∩ B) detta Probabilità Congiunta

Esempio

Dato un mazzo di 52 carte, se si estrae una carta e ci si chiede quale è la P( ) che essa sia:

• Evento A = Carta Figura con P(A) = 12 / 52,
• Evento B = Carta quadri con P(B) = 13 /52,

• Evento (A ∩ B) = Probabilità congiunta con P(A ∩ B) = 3 / 52.

P(A U B) = P(A) + P(B) – (A ∩ B) = 12 / 52 + 13 / 52 – 3 /52 = 0,423.

Tabelle delle Probabilità

Valori Assoluti

Tipo Semi Tot. Quadri non Quadri A = Figura 3 9 12 B = non Figura 10 30 40 Tot. 13 39 Ω = 52 Probabilità

Tipo Semi Tot. Quadri non Quadri A = Figura 0,0577 0,1731 0, B = non Figura 0,1923 0,5769 0, Tot. 0,2500 0,7500 Ω = 1,

b. Se Eventi Incompatibili

Il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi dell’altro, vel, o, Esclusivo.

P(A U B) = P(A) + P(B)

P(A ∩ B) = 0

Esempio

Dato un mazzo di 52 carte, se si estrae una carta e ci si chiede quale è la P( ) che essa sia:

• Evento A = Carta Asso con P(A) = 4 / 52,
• (^) Evento B = Carta Re, K, con P(B) = 4 /52,
• Evento (A ∩ B) = Probabilità congiunta con P(A ∩ B) = 0.

P(A U B) = P(A) + P(B) = 4 / 52 + 4 / 52 = 0,

2. Probabilità Composte o Principio Moltiplicativo delle Probabilità

• Dati due Eventi A e B
• (^) Per Definizione Compatibili
• Con P(A) e P(B)
  • Le Probabilità che si verifichino Congiuntamente sono:

a. Se Eventi Dipendenti

Le Probabilità del secondo Evento Dipendono dal primo: è la Probabilità di un Evento, dato che

l’altro Evento si è verificato

P(A ∩ B) = P(A) x P(B|A) = P(B) x P(B|A)

P(A|B) detta Probabilità Condizionata

P(A|B) = P(A ∩ B)

P(B)

B Bc A P(A ∩ B) P(A ∩ B c) P(A) A c^ P(A c^ ∩ B) P(A c^ ∩ Bc^ ) P(A c) P(B) P(Bc) P(Ω) = 1

Probabilità Condizionate

• (^) P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B); P(A|Bc) = P(A ∩ Bc) / P(Bc);
• P(Ac^ |B) = P(Ac^ ∩ B) / P(B); P(A c|Bc) = P(Ac^ ∩ Bc) / P(Bc);
• P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A); P(B|Ac^ ) = P(Ac^ ∩ B) / P(A c);
• P(Bc|A) = P(A ∩ Bc) / P(A); P(B c|Ac) = P(Ac^ ∩ Bc) / P(A c);

Esempio (^1)

Dato un mazzo di 52 carte, se si estraggono due carte consecutivamente, senza rimettere nel mazzo la prima carta estratta, ci si chiede quale è la Probabilità che esse siano:

• Evento A = Carta Asso A con P(A) = 4 / 52,
• Evento B = Carta Re, K, con P(B) = 4 /51.

P(A ∩ B) = P(A) x P(B|A) = 4 / 52 x 4/ 51 = 0,

Esempio (^2)

In una concessionaria di macchine usate si ha:

• P(AC) = 70% di macchine con aria condizionata;
• (^) P(CD) = 40% hanno un lettore Cd;
• P(AC ∩ CD) = 20% hanno entrambi;
• Si vuole calcolare la P(CD|AC).

Qui di seguito si è costruita una tabella

Tot. CD No CD AC 0,20 0,50 0, No AC 0,20 0,10 0, Tot. 0,40 0,60 1,

Dato l’Aria condizionata, si considera la prima riga, il 70% delle macchine con AC, di queste il 20% ha il CD.

P(CD|AC) = P(CD ∩ AC) = 0,20 = 0,

P(AC) 0,