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Corso di statistica - Corso di laurea in Scienze Internazionali
Esercitazione 1
a cura di Gisella Mercaldi sdsdsd
Esercizio 1
Un dado a 6 facce e una moneta, entrambi non truccati, vengono lanciati contemporaneamente. Scrivere lo spazio degli eventi elementari. Qual e la probabilita di ottenere testa e un risultato maggiore di 4?
Esercizio 2
Un’urna contiene 10 palline rosse e 6 palline bianche. Si esegue una e- strazione. Se la pallina estratta e rossa la si rimette nell’urna e si estrae una seconda pallina. Se invece la pallina estrattae bianca si estrae una sec- onda pallina, senza rimettere la prima pallina nell’urna. Qual e la probabilite di estrarre una pallina rossa alla seconda estrazione?
Esercizio 3
E pi^ u probabile ottenere un “6” in tre lanci di un dado regolare oppure due “6” in sei lanci? Giustificare la risposta.
Esercizio 4
Siano dati due eventi A e B tali che
P (A) =
P ( B¯) =
I due eventi possono essere incompatibili? Si giustifichi la risposta.
Esercizio 5
Una mano di poker e formata da 5 carte estratte a caso senza reimmissione da un mazzo di 52 carte. Determinare la probabilita di estrarre 5 carte dello stesso seme in modo che formino una scala: 10, J (Jack), Q (Donna), K (Re), A (asso). (L’ordine di estrazione pero puo essere qualsiasi).
Esercizio 6
Un’urna contiene 10 palline, di cui 3 sono bianche e 7 sono nere. Si estraggono con reimmissione 3 palline. Descrivere lo spazio degli eventi elementari Ω. Determinare al probabilita di estrarre non piu di due palline nere, la pro- babilita di estrarre almeno una pallina bianca e la probabilita che tutte le palline estratte siano nere.
Esercizio 7
Un genitore decide di portare il figlio di 8 anni al cinema. L’esperienza passata ha mostrato al genitore che la probabilita che un film piaccia al figlioe 0.4 se il film e western, 0.3 see un cartone animato e 0.7 se e un film fantasy. I film per bambini in cartellone oggi nei cinema sono per il 15% cartoni animati, per l’80% western e per il 5% fantasy. Quale la probabilit`a che un film scelto a caso piaccia al bambino?
Esercizio 8
In seguito ad una indagine, si e scoperto che la proporzione di popolazione di Milano che ha la tubercolosi (TBC)e pari a 0.001. In un importante ospedale, viene messo a punto un test per la verifica della positivita alla TBC. Il test tuttavia none perfetto e pu`o avvenire che dia un risultato sbagliato. In base all’esperienza si sa che:
(a) Se una persona ha la TBC il test risulta positivo con una probabilit`a pari a 0.999.
(b) se una persona non ha la TBC il test risulta erroneamente positivo con probabilit`a 0.002.
Scelta a caso una persona dalla popolazione di Milano, il test risulta positivo, cioe indica che la personae affetta da TBC. Qual e la probabilita che sia davvero ammalata di TBC?
Soluzione Esercizio 3
Riposta: e piu probabile ottenere un “sei” in tre lanci. Infatti:
P (un “sei” in tre lanci) =
Invece:
P (due “sei” in sei lanci) =
Soluzione Esercizio 4
I due eventi non possono essere incompatibili perch´e la somma delle loro probabilita P (A) + P (B) = 1/3 + 3/4 = 13/12e maggiore di 1. In altre parole, la probabilita della loro unione non puo essere data solo dalla somma delle loro probabilita (come per eventi incompatibili), pena la violazione del secondo assioma del calcolo delle probabilita. I due eventi devono per forza sovrapporsi almeno in parte.
Soluzione Esercizio 5
Nel mazzo ci sono 4 semi (13 carte per seme). Consideriamo uno di questi quattro semi, ad esempio ♥. Supponiamo di voler estrarre la sequenza ordi- nata (10, J, Q, K, A), avremo quindi
P (sequenza ordinata 10, J, Q, K, A di ♥) =
cioe esiste una sola carta “10 ♥” nel mazzo da 52 carte, ecc. Se, come nel nostro caso, non ci interessa l’ordine, ci basta permutare le 5 carte e questo si puo fare in 5! modi possibili, quindi
P (sequenza non ordinata 10, J, Q, K, A di ♥) = 5! ·
Si noti che questo risultato si ottiene anche attraverso il coefficiente binomi- ale. Infatti abbiamo un gruppo di 52 carte distinte e siamo interessati ad estrarne 5. Questo si pu`o fare in
5
modi possibili. Di tutte queste possibili cinquine solo una e la scala di ♥, quindi la probabilita cercata `e
1 ( 52 5
52 · 51 · 50 · 49 · 48 ·47! 5!·47!
Per ottenere il risultato finale dobbiamo ricordare che ♥ e uno tra i 4 semi a disposizione, quindi bastera moltiplicare tutto per 4 per ottenere la prob- abilit`a richiesta.
Soluzione Esercizio 6
Lo spazio degli eventi elementari `e il seguente:
Ω = {(BBB), (BBN ), (BN B), (N BB), (N N B), (N BN ), (BN N ), (N N N )}
dove B=“estrazione di una pallina bianca” e N =“estrazione di una pallina nera”.
P (non pi`u di due palline nere su tre) = 1 − P (tre palline nere) = 1 − P (N N N )
= 1 −
Per il secondo quesito si ha
P (almeno 1 pallina bianca su tre) = 1 − P (tre palline nere) = 0. 657
Soluzione Esercizio 7
Assumiamo che W (film western), C (cartone animato) e F (film fantasy) siano una partizione di Ω, con Ω il risultato dell’esperimento “scelgo un film a caso tra quelli inc artellone”. Sappiamo che P (W ) = 0.8, P (C) = 0. 15 e P (F ) = 0.05. Inoltre sappiamo che il bambino e differentemente felice “,” a seconda del tipo di film, quindi P (,|W ) = 0.4, P (,|C) = 0.3 e P (,|F ) = 0.7. Il risultato si ottiene applicando il teorema delle probabilita totali come segue:
P (,) = P (,|W ) · P (W ) + P (,|C) · P (C) + P (,|F ) · P (F ) = 0. 4 · 0 .80 + 0. 3 · 0 .15 + 0. 7 · 0 .05 = 0. 4
Soluzione Esercizio 8
Indichiamo con “positivo” l’evento “risulta positivo al test” e con T BC l’evento “la persona `e affetta da T BC”. Applichiamo il teorema di Bayes e otteniamo:
P (T BC|positivo) =
P (T BC)P (positivo|T BC) P (T BC)P (positivo|T BC) + P (T BC)P (positivo|T BC)
=
