Es9 - Probabilita300, Esercizi di Statistica

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Cristina Tortora

a.a.: 2011/

Università degli Studi di Macerata Facoltà di Scienze Politiche

Esercizio

Si consideri la prova consistente nel lancio di una moneta tre volte:

1.Definire l insieme degli eventi elementari;

2.Calcolare la probabilità di ottenere almeno una volta testa.

Esercizio

Sia data una prova consistente nel lancio di un dado e si considerino i

seguenti tre eventi:

1.A = si ottiene un punteggio maggiore di 2;

2.B = si ottiene un punteggio dispari;

3.C = si ottiene un punteggio divisibile per 3 o per 5.

Si calcoli:

1.La probabilità degli eventi A, B, C;

2.La probabilità P(C|A).

I tre eventi sono indipendenti?

Esercizio2: soluzione

1. La probabilità degli eventi A, B, C;

2. La probabilità P(C|A):

I tre eventi sono indipendenti?

0 , 5 6 3

• 0 6 1 6 2 ( ) P(punteggiodivisibileper3) P(punteggiodivisibileper5)-P(punteggiodivisibileper 3 eper 5) 0 , 5 ; 6 3 0 , 6 ; ( ) 6 4 ( ) = + = = = + = = = = P C P A P B 0 , 75 4 3 6 4 6 3 ( ) ( ) ( | ) = = = ∩ = P A PC A PC A ( )* ( ) 6

P ( C ∩ B )= ≠ = P C P B

Esercizio3: soluzione

S={evento il cliente ha visto l annuncio pubblicitario}

A={evento il cliente ha effettuato l acquisto}

P (A|S)=0,

P(S)=0,8 P^ ( S^ )=0, 2

P ( A|S )=0,

P ( A ) = P ( A ∩ S) + P ( A ∩ S) = P ( S) × P ( A|S) + P ( S) × P ( A|S )= 0,8 × 0,7 + 0, 2 × 0,3 =0,

Esercizio

Un inchiesta sulla popolazione di una certa città ha fornito i seguenti dati:

il 10% della popolazione è ricco, il 5% è famoso e il 3% è ricco e famoso. Per

una persona scelta a caso da suddetta popolazione:

1) qual è la probabilità che la persona non sia ricca?

2) qual è la probabilità che sia ricca ma non famosa?

3) qual è la probabilità che sia ricca o famosa?

4) se la persona è famosa, qual è la probabilità che essa sia anche ricca?

5) se la persona è famosa, qual è la probabilità che essa non sia ricca?

Esercizio4: soluzione

Osserviamo che le probabilità totali possono essere inserite in una matrice

in cui la somma estesa a tutti i suoi elementi è pari a 1:

F Fc^ Tot. R p(R F) p(R F c ) p(R) Rc^ p(Rc^ F) p(Rc^ Fc) p(Rc) Tot. p(F) p(Fc) p(Ω) F Fc^ Tot. R 0,03 0,07 0, R c 0,02 0,88 0, Tot. 0,05 0,95 1

Esercizio4: soluzione

F Fc^ Tot. R p(R F) p(R F c ) p(R) Rc^ p(Rc^ F) p(Rc^ Fc) p(Rc) Tot. p(F) p(Fc) p(Ω) F Fc^ Tot. R 0,03 0,07 0, R c 0,02 0,88 0, Tot. 0,05 0,95 1

1) qual è la probabilità che la persona non sia ricca?

p( R

c

) = 1 -­‐ p( R ) = 1 -­‐ 0,10 = 0,

Esercizio4: soluzione

F Fc^ Tot. R p(R F) p(R F c ) p(R) Rc^ p(Rc^ F) p(Rc^ Fc) p(Rc) Tot. p(F) p(Fc) p(Ω) F Fc^ Tot. R 0,03 0,07 0, R c 0,02 0,88 0, Tot. 0,05 0,95 1

3) qual è la probabilità che sia ricca o famosa?

p( R F ∪ ) = p( R ) + p( F ) - p( R ∩ F ) = 0,10 + 0,05 - 0,03 = 0,

Esercizio4: soluzione

4) se la persona è famosa, qual è la probabilità che essa sia anche ricca?

F Fc^ Tot. R p(R F) p(R F c ) p(R) Rc^ p(Rc^ F) p(Rc^ Fc) p(Rc) Tot. p(F) p(Fc) p(Ω) F Fc^ Tot. R 0,03 0,07 0, R c 0,02 0,88 0, Tot. 0,05 0,95 1

p( R|F ) = p( R ∩ F )/P( F ) = 0,03/0,05 = 0,

Esercizio

Il responsabile dell ufficio fidi di un istituto di credito ha rilevato che la

probabilità di insolvenza delle imprese del settore terziario è pari al 15%,

mentre per le imprese di altri settori è pari al 9%. E noto, inoltre, che le

imprese del settore terziario costituiscono il 32% del totale. Sulla propria

scrivania il responsabile ha un fascicolo di un impresa insolvente, qual è la

probabilità che l impresa appartenga al settore terziario?

Esercizio5: soluzione

I: {evento l impresa è insolvente}

T: {evento l impresa è del settore terziario}

P (I|T)=0,15 P ( I|T )=0,

P(T)=0,32 P^ ( T^ )=^1 −^ 0,32^ =0,

(I) ( I T ) ( I T ) (T) ( I|T ) (T) ( I|T)

P = P ∩ + P ∩ = P × P + P × P =

= × + × =

I | T T (^) 0, 048 T | I 0, 4396 I 0, P P P P ⋅ = = =

P I

P I T P T

P T I =