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Esame di Geometria e Algebra
- June 15, Giuseppe Monda
- 1 Sistemi di Generator Contents
- 2 Indipendenza Lineare
- 3 Basi
- 4 Teoremi Fondamentali
- 4.1 Teorema Spettrale
- 4.2 Teorema di Rouch´e-Capelli
- 4.3 Teorema della Base
- 4.4 Teorema delle Dimensioni
- 5 Autovalori e Autovettori
- 5.1 Definizione di Autovalore
- 5.2 Definizione di Autovettore
- 5.3 Autospazio
- 6 Matrici Diagonalizzabili
- 7 Esempi di Sistemi Lineari
- 7.1 Sistemi Lineari con Unica Soluzione
- 7.2 Sistemi Lineari con Insieme delle Soluzioni di Dimensione
- 7.3 Sistemi Lineari con Insieme delle Soluzioni di Dimensione
- 7.4 Sistemi Lineari con Insieme delle Soluzioni di Dimensione
8 Domande a Scelta Multipla 6 8.1 Prodotto di Matrici........................ 6 8.2 Forma Quadratica......................... 6 8.3 Autovalori e Autovettori..................... 6 8.4 Determinanti........................... 7
9 Strategie per le Domande a Scelta Multipla 7 9.1 Comprensione della Domanda.................. 7 9.2 Esclusione delle Risposte Errate................. 7 9.3 Verifica delle Opzioni Rimaste.................. 7 9.4 Uso di Esempi Specifici...................... 7 9.5 Ricontrolla il Calcolo....................... 8
1 Sistemi di Generator
1.1 Definizione
In algebra lineare, un insieme di vettori {v 1 , v 2 ,... , vk} in uno spazio vet- toriale V e detto un sistema di generatori (o una base di generatori) di V se ogni vettore di V puo essere espresso come una combinazione lineare di questi vettori. Formalmente, {v 1 , v 2 ,... , vk} `e un sistema di generatori di V se per ogni vettore v ∈ V esistono degli scalari a 1 , a 2 ,... , ak tali che:
v = a 1 v 1 + a 2 v 2 + · · · + akvk.
Questo significa che l’insieme di tutte le combinazioni lineari dei vettori {v 1 , v 2 ,... , vk} `e uguale all’intero spazio vettoriale V. In altre parole, possi- amo scrivere: Span({v 1 , v 2 ,... , vk}) = V.
2 Indipendenza Lineare
2.1 Definizione
Un insieme di vettori {v 1 , v 2 ,... , vk} in uno spazio vettoriale V e detto linear- mente indipendente se nessuno di questi vettori puo essere espresso come una combinazione lineare degli altri. Formalmente, {v 1 , v 2 ,... , vk} `e linearmente indipendente se l’equazione:
a 1 v 1 + a 2 v 2 + · · · + akvk = 0
implica che: a 1 = a 2 = · · · = ak = 0.
5 Autovalori e Autovettori
5.1 Definizione di Autovalore
Un numero scalare λ `e un autovalore di A se esiste un vettore non nullo v tale che il prodotto tra A e v sia uguale al prodotto scalare tra λ e v. Formalmente, Av = λv.
5.2 Definizione di Autovettore
Un vettore non nullo v e detto autovettore di A se il prodotto tra A e ve uguale a una costante λ moltiplicata per v. Formalmente,
Av = λv.
La costante λ associata all’autovettore v `e chiamata autovalore corrispon- dente.
5.3 Autospazio
L’autospazio corrispondente ad un autovalore λ di A e definito come lo spazio delle soluzioni del sistema di equazioni lineari (A − λI)v = 0, dove ve un autovettore di A associato a λ e I e la matrice identita n × n. Formalmente,
Eλ = ker(A − λI).
6 Matrici Diagonalizzabili
6.1 Definizione
Una matrice quadrata A di dimensione n × n e detta diagonalizzabile se puo essere espressa come il prodotto di tre matrici: una matrice P formata da autovettori di A, una matrice diagonale D contenente gli autovalori di A sulla diagonale, e la trasposta della matrice P inversa. Formalmente,
A = P DP −^1.
7 Esempi di Sistemi Lineari
7.1 Sistemi Lineari con Unica Soluzione
Un esempio di sistema lineare di 3 equazioni in 2 incognite che ha un’unica soluzione: (^)
2 x − 3 y = 5 4 x + y = 2 3 x − 2 y = 7
7.2 Sistemi Lineari con Insieme delle Soluzioni di Di-
mensione 2
Un esempio di sistema lineare di 3 equazioni in 4 incognite che ha l’insieme delle soluzioni di dimensione 2:
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 2 x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2 3 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + 3x 4 = 3
7.3 Sistemi Lineari con Insieme delle Soluzioni di Di-
mensione 1
Un esempio di sistema lineare di 4 equazioni in 3 incognite che ha l’insieme delle soluzioni di dimensione 1:
x + y + z = 1 2 x + 2y + 2z = 2 3 x + 3y + 3z = 3 4 x + 4y + 4z = 4
7.4 Sistemi Lineari con Insieme delle Soluzioni di Di-
mensione 3
Un esempio di sistema lineare di 2 equazioni in 4 incognite che ha l’insieme delle soluzioni di dimensione 3: ( x + y + z + w = 1 2 x + 2y + 2z + 2w = 2
b) A non `e invertibile. c) Gli autovettori di A sono ortogonali.
d) A ha determinante zero. Soluzione: Una matrice con autovalori distinti `e sempre diagonalizzabile. Risposta corretta: a).
8.4 Determinanti
Esempio: Sia A una matrice quadrata 3 × 3. Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono necessariamente vere. a) Se rgA < 3, det A ̸= 0. b) det(−A) = det A. c) Se det A ̸= 0, le colonne di A sono linearmente indipendenti.
d) det(2A) = 8 det A. Soluzione: Se det A ̸= 0, le colonne di A sono linear- mente indipendenti. Risposta corretta: c).
9 Strategie per le Domande a Scelta Multipla
9.1 Comprensione della Domanda
Leggi attentamente la domanda e cerca di capire esattamente cosa viene richiesto. Fai attenzione alle parole chiave e alle condizioni fornite.
9.2 Esclusione delle Risposte Errate
Spesso puoi escludere alcune risposte che sono chiaramente errate, riducendo il numero di opzioni da considerare.
9.3 Verifica delle Opzioni Rimaste
Controlla attentamente le opzioni rimanenti per vedere quale soddisfa tutte le condizioni della domanda.
9.4 Uso di Esempi Specifici
Se possibile, usa esempi specifici per verificare le affermazioni nelle opzioni. Questo pu`o aiutarti a identificare l’opzione corretta.
9.5 Ricontrolla il Calcolo
Se la domanda richiede calcoli, ricontrolla i tuoi passaggi per assicurarti che non ci siano errori. Anche piccoli errori di calcolo possono portare a una risposta errata.
