Scarica Esame di Matematica Finanziaria per Economia e Commercio - 16 dicembre 2015 e più Prove d'esame in PDF di Economia solo su Docsity!
Matematica Finanziaria
CdL in Economia e Commercio
Prova di esame del 16 dicembre 2015
Cognome Nome
Matricola Numero crediti
Istruzioni
Esame da 9 crediti: Rispondere a tutte le domande. L'esame dura 2 ore.
Esame da 6 crediti: Rispondere alla Domanda 1 di ciascuna parte e ad altre 4 domande a scelta. Per ottenere
un eventuale bonus, rispondere ad un'ulteriore domanda (indicando che si tratta della "domanda bonus").
L'esame dura 1 ora e 30 minuti (oppure 1 ora e 45 minuti con la "domanda bonus").
Alle domande di teoria va risposto in modo sintetico, ma non esclusivamente discorsivo. In particolare, la
notazione deve essere introdotta esplicitamente.
Di tutti gli esercizi sono richiesti i passaggi, da riportarsi sinteticamente nella pagina relativa.
PARTE 1: ALGEBRA LINEARE
DOMANDA 1
(i) Enunciare e dimostrare il Teorema di Cramer.
(ii) Dare la de nizione di sottospazio vettoriale di R
d e la de nizione di base di un sottospazio vettoriale.
Fornire un esempio di sottospazio vettoriale di R
2 .
DOMANDA 2
Determinare per quali valori del parametro a 2 R la matrice:
A =
1 1 a
2 a + 1 1
A
risulta invertibile. Posto a = 2, calcolare la matrice inversa A
1 .
DOMANDA 3
Discutere, al variare del parametro k 2 R, la risolubilita del sistema lineare:
x y + 2z = 1
3 x 3 y + 4z = k 2
2 x 2 y + 3z = 2
e, quando possibile, risolverlo.
PARTE 2: CALCOLO DIFFERENZIALE E OTTIMIZZAZIONE
DOMANDA 1
(i) De nire la nozione di forma quadratica e illustrare lo studio della sua natura.
(ii) Descrivere il metodo di Lagrange per la soluzione dei problemi di ottimo vincolato.
DOMANDA 2
Trovare gli eventuali massimi e minimi della funzione:
f (x; y) = x
3
2
2 x + y
DOMANDA 3
Risolvere il seguente problema di ottimo vincolato:
f (x; y) = x y
sub. x
2
2 = 1
PARTE 3: CALCOLO FINANZIARIO
DOMANDA 1
(i) De nire la nozione di tassi equivalenti ed illustrare le relative formule nei 3 regimi usuali.
(ii) Illustrare il criterio del V AN per la scelta tra operazioni nanziarie.
DOMANDA 2
Un bene con prezzo di 2000 e viene venduto a rate contro il pagamento di un anticipo in contanti pari al 10%
del prezzo e di 3 rate mensili posticipate. Il tasso di interesse composto contrattuale e del 2% mensile.
Determinare le rate, nell'ipotesi che la seconda e la terza siano uguali tra loro e doppie della prima, calcolare il
monte interessi e costruire il piano di ammortamento dell'operazione.
SOLUZIONI
PARTE 1: ALGEBRA LINEARE
DOMANDA 2
Si ha:
det A = 1
a + 1 1
2 a + 1
= 1 ( 4 2 a 2) 1 ( 4 4) + a (4a + 4 8) =
= 4 a
2
6 a + 2
e poiche:
det A 6 = 0 ) 4 a
2 6 a + 2 6 = 0 ) a 6 =
_ a 6 = 1
la matrice A risulta invertibile per a 6 =
1
2
e per a 6 = 1.
Per a = 2 si ha:
A =
A
e i complementi algebrici degli elementi di A sono:
A 11 = ( 1)
1+
= 10 A 12 = ( 1)
1+
= 8 A 13 = ( 1)
1+
A
21
2+
= 7 A
22
2+
= 5 A
23
2+
A
31
3+
= 6 A
32
3+
= 6 A
33
3+
per cui la matrice dei complementi algebrici e:
A
A
e la matrice aggiunta e:
(A
)
T
=
A
per cui l'inversa di A e data da:
A
1
det A
(A
)
T
=
A
5
3
7
6
4
3
5
6
2
3
1
6
A
DOMANDA 3
In questo caso la matrice dei coecienti del sistema e:
A =
A
e poiche si ha:
det A = 1
mentre, ad esempio:
il rango di A e pari a 2. La matrice completa (Ajb), poi, e data da:
(Ajb) =
3 3 4 k 2
A
dalla quale e possibile, ad esempio, estrarre la sottomatrice:
B =
3 4 k 2
A
per la quale si ha:
det B = 1
4 k 2
3 k 2
= 1 (8 3 k + 6) 2 ( 6 + 2k 4) + 1 ( 9 + 8) =
= 5 k
e poiche:
det B = 0 se e solo se k = 5
per k = 5 il rango di B, e quindi di (Ajb), e pari a 2.
In de nitiva, per k 6 = 5 si ha:
r(A) = 2 < 3 = r (Ajb)
e il sistema risulta impossibile, mentre per k = 5 si ha:
r(A) = r (Ajb) = 2
Nel punto A =
1
2
tale matrice e:
2 f
e poiche si ha:
2 f
@x
2
= 4 det 5
2 f
il punto A =
1
2
e un punto di sella.
Nel punto B =
3
2
la matrice hessiana invece e:
2 f
e poiche si ha:
2 f
@x
2
= 8 det 5
2
f
il punto B =
3
2
e un punto di minimo relativo.
DOMANDA 3
Si ha innanzitutto che la funzione:
g(x; y) = x
2
2 1
soddisfa la condizione rg 6 = 0 sui punti del vincolo (infatti rg(x; y) =
2 x 2 y
in (0; 0) che
non appartiene al vincolo), per cui e possibile applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. La funzione
Lagrangiana e:
L(x; y; ) = x y + (1 x
2 y
2 )
e dalle condizioni del primo ordine si ha:
rL(x; y; ) = 0 )
@L
@x
@L
@y
@L
@
1 2 x = 0
1 2 y = 0
1 x
2 y
2 = 0
x =
1
2
y =
1
2
1
4
2
1
4
2
x =
1
2
y =
1
2
1
2
x =
1
2
y =
1
2
2
=
1
2
x =
1 p
2
y =
1 p
2
1 p
2
_
x =
1 p
2
y =
1 p
2
1 p
2
per cui vi sono 2 punti critici P 1
1 p
2
1 p
2
1 p
2
e P 2
1 p
2
1 p
2
1 p
2
Poiche f e continua e il vincolo e compatto le condizioni del primo ordine sono sucienti, ed essendo:
f (P 1
p
p
p
2 f (P 2
p
p
p
si ha che P 1 e un punto di minimo locale vincolato per f , mentre P 2 e un punto di massimo locale vincolato per f.
Lo stesso risultato puo essere ottenuto considerando la matrice hessiana orlata:
r
2 L(x; y; ) =
0 2 x 2 y
2 x 2 0
2 y 0 2
A
e nel punto P 1 si ha:
r
2
L (P 1 ) =
p
p
p
p
p
p
A
con det r
2
L = 4
p
per cui P 1
e un punto di minimo locale vincolato per f , mentre nel punto P 2
si ha:
r
2
L(P 2 ) =
p
p
p
p
p
p
A
con det r
2
L = 4
p
per cui P 2
e un punto di massimo locale vincolato per f.
PARTE 3: CALCOLO FINANZIARIO
DOMANDA 2
In questo caso si ha A = 2000 da cui:
B = 2000 0 :10 = 200
e l'ammontare nanziato e:
S = A B = 2000 200 = 1800
La condizione di chiusura nanziaria, tenendo presente che il pro lo delle rate e descritto dal vettore
, e poi:
R
2 R
2
2 R
3
da cui:
R =
1
1+0: 02
2
(1+0:02)
2
2
(1+0:02)
3
e quindi le rate sono:
R 1 = 375: 99 R 2 = R 3 = 375: 99 2 = 751: 98
Il monte interessi e pari a:
e il piano di ammortamento dell'operazione e:
t C t
I
t
R
t
E
t
D
t
