Università C. Cattaneo, Corso di Laurea in Economia Aziendale, A.A. 2017-2018
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STATISTICA ─ 24.01.18 - II PROVA PARZIALE
Modalità A - TRACCIA DI SOLUZIONE
(A) ai fini della valutazione verranno considerate solo le risposte riportate dallo studente negli a ppositi riquadri bianchi
(B) nello svolgimento del compito si utilizzino almeno tre cifre decimali.
COGNOME………………………….NOME….……………………..MATR………………..
ESERCIZIO 1 (8 punti)
Su un campione di 20 notebook tra quelli in commercio si rileva il peso in Kg. I 20 pesi rilevati hanno una media pari a 1.88 ed una varianza pari
a 0.04. Si assume distribuzione normale per il peso dei notebook.
a) Si stabilisca a livello 0.1 se il peso medio dei notebook in commercio è inferiore a 2 Kg, usando il metodo del p-value.
b) Si determini l’intervallo di confidenza al 95% per il peso medio dei notebook in commercio.
c) Si dica se la lunghezza dell’intervallo di confidenza per il peso medio dei notebook in commercio diminuisce o aumenta al crescere del livello
di confidenza (a parità dei dati campionari).
a) Le ipotesi sono: 𝐻𝐻0: 𝜇𝜇= 2 e 𝐻𝐻1: 𝜇𝜇< 2. Il p-value del test è:
𝑝𝑝−𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣=𝑃𝑃(𝑇𝑇≤𝑡𝑡𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜)=𝑃𝑃
⎝
⎛
𝑇𝑇≤
1.88 −2
�0.04
20
⎠
⎞
=𝑃𝑃(𝑇𝑇≤−2.683)= 1 −𝑃𝑃(𝑇𝑇≤2.683),
con la probabilità calcolata supponendo vera l’ipotesi nulla, nel qual caso la statistica test T ha distribuzione T di Student con 19 gradi di libertà.
Dalle tavole si rileva che il valore della probabilità sopra indicata (cioè il p-value) è compreso tra
0.005 e 0.01, per cui è inferiore al livello
fissato 0.1. Quindi si rifiuta l’ipotesi nulla a livello 0.1; si può dunque stabilire, a quest
o livello, che il peso medio dei notebook in commercio è
inferiore a 2 Kg.
b) L’intervallo è
(𝑥𝑥−𝑡𝑡𝛼𝛼
2
19𝑠𝑠/�𝑛𝑛,𝑥𝑥+𝑡𝑡𝛼𝛼
2
19𝑠𝑠/√𝑛𝑛) = (1.88 −2.093 √0.04
√20 , 1.88 + 2.093 √0.04
√20 ) = (1.88 −0.094,1.88 + 0.094) = (1.786,1.974)
c) Al crescere del livello di confid enza (a parità di dati campionari) la lunghezza dell’interval lo aumenta; ovvero, al crescere del livello di fiducia
sul fatto che la media appartenga all’intervallo diminuisce la precisione (ovvero aumenta la lunghezza) dell’intervallo.
ESERCIZIO 2 (4 punti)
Il gestore di una sala cinematografica vuole stabilire se è opportuno introdurre degli sconti sui biglietti nei giorni feriali per incrementare gli incassi.
Su un primo campione di 20 giorni feriali in cui non vengono praticati gli sconti rileva un incasso medio giornaliero pari a 2800 euro ed una
deviazione standard pari a 410 euro. Su un secondo campione di 10 giorni feriali, in cui vengono praticati gli sconti, l’incasso medio giornaliero è
pari a 3000 euro e la deviazione standard corrispondente 405 euro. Si assumono distribuzioni normali con varianze uguali per gli incassi giornalieri
nei giorni feriali in cui sono praticati gli sconti e per quelli nei giorni feriali in cui non lo sono. Si stabilisca, a livello 0.05, se l’introduzione degli
sconti sui biglietti incrementa gli incassi medi giornalieri dei giorni feriali. Si giustifichi la risposta, riportando ipotesi nulla ed alternativa e regione
di rifiuto del test.
Le ipotesi sono: 𝐻𝐻0: 𝜇𝜇𝑋𝑋=𝜇𝜇𝑌𝑌 e 𝐻𝐻1: 𝜇𝜇𝑋𝑋<𝜇𝜇𝑌𝑌, dove 𝜇𝜇𝑋𝑋𝑣𝑣 𝜇𝜇𝑌𝑌 sono gli incassi medi giornalieri quando non vengono effettuati gli sconti e quando
vengono effettuati rispettivamente. La regione di rifiuto del test è
𝑅𝑅0.05:𝑇𝑇=𝑋𝑋
�
−𝑌𝑌
�
�𝑠𝑠𝑝𝑝
2
𝑛𝑛𝑋𝑋+𝑠𝑠𝑝𝑝
2
𝑛𝑛𝑌𝑌
<−𝑡𝑡0.05
28 =−1.701.
Usando i dati campionari si ottiene 𝑠𝑠𝑝𝑝
2=4102∗19 +4052∗9
20 +10 −2=166790.2
e quindi 𝑇𝑇𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 =2800 −3000
�166790.2
20 +166790.2
10
=−1.264.
Essendo il valore osservato della statistica test maggiore di -
1.701, non si rifiuta l’ipotesi nulla a livello 0.05, per cui non c’è evidenza, a questo
livello, del fatto che l’introduzione degli sconti incrementi gli incassi medi.
