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STATISTICA
BINOMIALE
DISTRIBUZIONE BERNOULLI
Esperimento > due esiti, successo e insuccesso (tra i due andremo ad individuare sempre l’esito che a noi interessa) p > probabilità di osservare un successo X > variabile aleatoria conta il numero di successi osservati X > valori 0 o 1 valore 1 con probabilità p (successo) e 0 con probabilità 1-p (insuccesso) X ha distribuzione di Bernoulli, X~𝐵𝑒𝑟(𝑝) (x ha una distribuzione di Bernoulli con p che vale…) La distribuzione di Bernoulli è parametrizzata dal parametro p ESEMPI Numero di volte che si osserva Testa nel lancio di una moneta regolare à Bernoulli, p= 0. Numero di volte che si osserva 6 nel lancio di un dato regolare à Bernoulli, p=1/ VALORE ATTESO E VARIANZA X~Ber(p) E(X) = 0 x (1-p) + 1 x p = p
Var(X) = (0 - p)^2 (1-p) + (1- p)^2 p = p(1-p) > ovvero probabilità di successo x probabilità di insuccesso BINOMIALE Esperimento con due esiti , successo con probabilità p e insuccesso con probabilità (1-p) Ripetuto n volte Sia X il numero di successi osservati nelle n prove X > distribuzione Binomiale con parametri n e p X~𝐵𝑖𝑛(𝑛, 𝑝) ESEMPI X ‘Numero di teste in 3 lanci di una moneta’ X~𝐵𝑖𝑛(3,0.5) X ‘Numero di 6 in 5 lanci di un dado’ X~𝐵𝑖𝑛(5,1/6) FUNZIONE DI PROBABILITA’ La probabilità di verificare una precisa sequenza è data da px^ x (1-p)n-x^ , si tratta della proprietà dell’intersezione CALCOLO DI PROBABILITA’ CON R dbinom i valori della probabilità (discreta)
ESEMPIO
Si estragga un individuo tra i visitatori di un museo A ciascuno si chiede È uno studente? È soddisfatto della visita? DUE VARIABILI ALEATORIE X 1 se individuo estratto è uno studente 0 altrimenti Y 1 se individuo estratto è insoddisfatto 2 se individuo estratto non è insoddisfatto, né soddisfatto 3 se individuo estratto è soddisfatto DISTRIBUZIONE CONGIUNTA DISTRIBUZIONI MARGINALI
DISTRIBUZIONI CONDIZIONATE
Probabilità congiunta / probabilità marginale INDIPENDENZA Due variabili aleatorie sono indipendenti se P(X= xi , Y=yj) = P(X= xi ) P(Y=yj) Per ogni i = 1, 2,…,k, e j = 1, 2,…,h Congiunta = prodotto delle marginali ASSOCIAZIONE LINEARE Covarianza e coefficiente di correlazione stessa definizione stessa interpretazione stesse regole di calcolo COVARIANZA
Pr 0.6 ≤ X ≤ 0. Pr 0. 6 ≤ X ≤ 0. 8 = Pr 0. 6 ≤ X < 0. 8 = = Pr 0.6 < X ≤ 0.8 =Pr0.6 < X < 0. Probabilità che una variabile aleatoria continua assuma un determinato valore, la sua probabilità è uguale a 0, il che non significa che i valori non vengono osservati MISURE DI SINTESI Valore atteso, varianza, quartili Stessa definizione e interpretazione caso discreto QUANTILE Sia X una variabile aleatoria e k un numero tra 0 e 1 Il quantile di ordine k è valore q tale che P(X ≤ q)= k k è un parametro, il quantile è un valore q: quantiledi ordinek P X≤ q = k P X> q = 1 − k
DISTRIBUZIONE NORMALE
DENSITÀ
X~ 𝑁(𝜇,𝜎^2 ) 𝑓𝑓 𝑥 = 1 2 𝜋𝜎^2 𝜇 numero reale 𝜎^2 numero reale positivo 𝑒 − 𝑥−𝜇^2 2 𝜎 2 SIMMETRICA CAMPANULARE Pr(X≤ μ)=0.5^ Pr(X≥^ μ)=0. 𝜇 valore attesoe mediana 𝜎^2 varianza NORMALE STANDARD 𝜇 = 0 , 𝜎^2 = Z ~ 𝑁(0,1)
VALORE ATTESOE VARIANZA DI STANDARDIZZATA Z = σ
X− μ 1 σ
X−
μ σ 1 σ
E X −
μ μ μ σ σ σ
E Z = = − = 0
Var Z 1 σ^2 = Var X = = 1 σ^2 σ^2 STANDARDIZZAZIONE X~ 𝑁(𝜇,𝜎^2 ) La standardizzata Z = X− μ σ ha distribuzionenormalestandard CALCOLO DI PROBABILITÀ CON R X~ 𝑁(𝜇,𝜎^2 ) pnorm(x , , ) fornisce Pr X ≤ 𝑥
ESEMPIO Sia X una variabilealeatoria con distribuzione normaledi media 3 e scartoquadratico 5 Pr X≤ 4. 5 = Pr X< 4. 5 =pnorm(4.5, 3, 5) =
Pr X> 6 = 1 − Pr X≤ 6 = 1 − Pr X< 6 = = 1 − pnorm(6, 3, 5)= 1 − 0.7257469 =
CALCOLO DI QUANTILI X~ 𝑁(𝜇,𝜎^2 ) qnorm(𝑘 , , ) fornisce il quantiledi ordine k, valore q tale che Pr X ≤ 𝑞 = 𝑘 ESEMPIO SiaX una variabilealeatoria con distribuzionenormale di media 3 e scarto quadratico 5 Il quantile di ordine 0. 8 , si ottiene qnorm(0.8 , 3 , 5) = 7. 7. 208106 è il valore tale che Pr X ≤ 7.208106 = 0.
Portafogli più stabili > costruiti combinando azioni il cui rendimento si muove in direzioni opposte correlate in modo negativo. ESEMPIO Si consideri un portafoglio composto da 2 azioni di tipo A e 3 azioni di tipo B Il rendimento delle azioni tipo A è una variabile aleatoria X con media 50 e varianza di 30 Il rendimento delle azioni tipo B una variabile aleatoria Y con una media 55 e varianza 100 La covarianza tra X e Y è 60 Si calcoli la media e la varianza del rendimento totale del portafoglio T Varianza è una misura del rischio ESEMPIO T = 2X+ 3Y E T = E 2X+ 3Y 3x55 = 265 = 2 E X + 3E Y = 2x50 + Var T = Var 2X+ 3Y = 22 Var X + 32 Var Y + 2x3xCov X,Y = 4x30 + 9x100 + 6x60 = 1380 SOMMA DI VARIABILI ALEATORIE E X+ Y = E X + E Y = 𝜇X + 𝜇Y Var X+ Y = Var X + Var Y + 2 Cov X,Y =𝜎 𝑋𝑋 2 + 𝜎F 2 + 2 Cov X, Y
SOMMA DI VARIABILI ALEATORIENON CORRELATE E X+ Y = E X + E Y = 𝜇X + 𝜇Y Var X+ Y = Var X +^ Var^ Y^ =^ 𝜎 𝑋^2 𝑋^ + 𝜎F^2 DIFFERENZADI VARIABILI ALEATORIE E X− Y = E X − E Y = 𝜇X − 𝜇Y Var X− Y = Var X =𝜎 𝑋𝑋^2 + 𝜎F^2
- Var Y − 2 Cov X,Y = − 2 Cov X,Y DIFFERENZADI VARIABILI ALEATORIENON CORRELATE E X− Y = E X − E Y = 𝜇X − 𝜇Y Var X− Y = Var X +^ Var^ Y^ =^ 𝜎 𝑋^2 𝑋^ + 𝜎F^2 Cov(xy)= Var(x+y)= var(x) + var(y) Var(x-y) = var(x) + var(y) L’indipendenza non ha nessun impatto, il risultato è lo stesso VARIABILI ALEATORIE I.I.D (indipendenti e identicamente distribuite) n variabili aleatorie X 1 ,…, Xn Indipendenti Identicamente distribuite (hanno tutte la medesima distribuzione, per cui hanno tutte lo stesso valore atteso e la stessa varianza) stesso valore atteso 𝜇
La media aritmetica di n variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite con uguali valore atteso 𝜇 e varianza 𝜎^2 ha una distribuzione che per n sufficiente grande può essere approssimata da una distribuzione normale con CASO BERNOULLI (X 1 ,…, Xn) i.i.d~Ber(p) E(Xi) =p, Var(Xi) =p( 1 - p) T=(X 1 +…+Xn) rappresenta il numero di successi in n prove indipendenti T~Bin(n,p)
CASO BERNOULLIANO
(X 1 ,…, Xn) i.i.d~Ber(p) E(Xi) =p, Var(Xi) =p( 1 - p) (X 1 +…+Xn) ha una distribuzioneche per n grande può essereapprossimatada una distribuzionenormale con valore attesonp e varianzanp(1- p)
ESEMPIO
C’è una probabilità del 30% che uno studente venga selezionato per uno stage Si calcoli la probabilità che su 200 studenti che partecipano alla selezione, meno del 25% sia scelto. Sqrt= radice quadrata della varianza per trovare lo scarto quadratico medio
Estrazione casuale di n unità dalla popolazione n variabili aleatorie > (X 1 , … , Xn) X 1 > variabile associate alla prima estrazione Campionamento casuale (X 1 , … , Xn) > stessa distribuzione Stessa media μ e stessa varianza σ^2 (X 1 , … , Xn) > indipendenti Campione casuale > (X 1 , … , Xn) i.i.d Realizzazione campionaria > (x 1 , … , xn) Valore osservatodella variabileX 15 Nuovo campione valore diversodi X 15 STIMA PUNTUALE Focus sull’inferenza sulla media della popolazione Problemi inferenziali: stima puntuale: fornisce un’approssimazione, poiché ne ricavo un solo valore stima per intervalli di confidenza: forniamo un intero intervallo di valori verifica di ipotesi Statistica Inferenza basata su dati campionari Statistica campionaria o Funzione del campione o Variabile aleatoria
Valore osservato della media campionaria
Nuovo campione valore diverso Media campionaria come stimatore Media campionaria > stimatore della media della popolazione Valore osservato > stima 50.79 > stima della media della popolazione La media campionaria è un buon stimatore
