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Documento contenente soluzioni di esami di Matematica riguardanti equazioni, funzioni e loro grafici. Il testo include calcoli per risolvere disuguaglianze, equazioni quadratiche e determinare le intersezioni rette. Vengono inoltre calcolati i valori delle radici e le condizioni per cui le rette siano parallele.
Tipologia: Prove d'esame
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Nome e cognome
Matricola
I Parte. QUESITI PRELIMINARI. Riportare le soluzioni su questo foglio, mostrando i vari passaggi e calcoli.
(2x − 1)^2 ≤ 4
II Parte. Per accedere alla seconda parte dell’esame e necessario aver risposto cor- rettamente e per intero ad almeno due dei tre quesiti della prima parte. In caso contrario la seconda parte non sara considerata e l’esame risulter`a insufficiente.
In una data panetteria, la domanda giornaliera di ”pane panda” `e pari a
q(p) = Ae−kp 2
chilogrammi, dove p e il prezzo in euro di un kg di quel tipo di pane. Se il pane pandae venduto a 3 euro al kg, ne vengono venduti 30.2 kg al giorno. Se invece il prezzo sale a 5 euro al kg la vendita giornaliera ammonta a 18.3 kg.
(a) Si usino questi dati per determinare le costanti A e k.
(b) Si calcoli l’elasticit`a a livello p = 5 e si dica se conviene o meno aumentare il prezzo del pane panda per incrementare il ricavo.
(c) Si determini il prezzo di massimo ricavo. Se la disponibilita di ”pane panda” in un dato giornoe pari a 20 kg `e possibile realizzare il massimo ricavo?
II Parte.
(a) Dalle condizioni q(3) = 30.2, q(5) = 18.3 ricaviamo: Ae−^9 k^ = 30. 2 Ae−^25 k^ = 18. 3 da cui
Ae−^9 k Ae−^25 k^
1 .65 = e^16 k e infine k =
ln(1.65) = 0. 03125 A = 30. 2 e^9 ·^0.^03125 = 40.
(b) L’elasticitae data da E = −q′(p) pq. Si ha q′(p) = − 2 kpAe−kp^2 quindi
E = −(− 2 kpAe−kp 2 ) p Ae−kp^2
= 2kp^2 = 0. 0625 p^2.
Per p = 5 si ha E = 1. 5625 > 1, ovvero la domanda `e elastica, quindi conviene diminuire il prezzo per incrementare il ricavo.
(c) Il ricavo e massimo quando l’elasticita `e pari a 1:
E = 1 p^2 =
2 k
p =
2 k
(scartiamo la soluzione negativa poich´e si tratta di un prezzo) Quindi si ottiene ricavo massimo se il pane viene venduto al prezzo di p = 4 euro al kg. Si puo alternativamente calcolare il prezzo di massimo ricavo analizzando i punti stazionari della funzione R(p) = pq(p) e la loro natura attraverso lo studio di derivata prima e seconda di R. La domanda in corrispondenza del prezzo ottimoe pari a q(4) = 24.26 quindi una disponibilit`a di 20 kg non basta per realizzare il massimo ricavo.
x
dx = x^4 − ex^ + 3 ln |x| + c.
Nome e cognome
Matricola
I Parte: QUESITI PRELIMINARI. Riportare le soluzioni su questo foglio, mostrando i vari passaggi e calcoli.
(3x − 1)^2 ≤ 9
I Parte. QUESITI PRELIMINARI
− 3 ≤ 3 x − 1 ≤ 3
da cui si ottiene la soluzione − 23 ≤ x ≤ 43.
e vera : infatti per le proprieta delle potenze possiamo scrivere:m =
= − 1 b = − 1 − (−1)1 = 0.
II Parte. PROBLEMA
(a) Dalle condizioni q(3) = 22.65, q(5) = 13.74 ricaviamo: Ae−^9 k^ = 22. 65 Ae−^25 k^ = 13. 74 da cui
Ae−^9 k Ae−^25 k^ ⇐⇒ 1 .65 = e^16 k e infine
k =
ln(1.65) = 0. 03125 A = 22. 65 e^9 ·^0.^03125 = 30.
(b) L’elasticitae data da E = −q′(p) p q
. Si ha q′(p) = − 2 kpAe−kp 2 quindi
E = −(− 2 kpAe−kp 2 ) p Ae−kp^2
= 2kp^2 = 0. 0625 p^2.
Per p = 3 si ha E = 0. 5625 < 1, ovvero la domanda `e inelastica, quindi conviene aumentare il prezzo per incrementare il ricavo.
(c) Il ricavo e massimo quando l’elasticita `e pari a 1:
E = 1 ⇐⇒ p^2 =
2 k
⇐⇒ p =
2 k
(scartiamo la soluzione negativa poich´e si tratta di un prezzo) Quindi si ottiene ricavo massimo se il pane viene venduto al prezzo di p = 4 euro al kg. Si puo alternativamente calcolare il prezzo di massimo ricavo analizzando i punti stazionari della funzione R(p) = pq(p) e la loro natura attraverso lo studio di derivata prima e seconda di R. La domanda in corrispondenza del prezzo ottimoe pari a q(4) = 18.19 quindi una disponibilit`a di 16 kg non basta per realizzare il massimo ricavo.
x
dx = x^3 + ex^ − 2 ln |x| + c.
II Parte. Per accedere alla seconda parte dell’esame e necessario aver risposto cor- rettamente e per intero ad almeno due dei tre quesiti della prima parte. In caso contrario la seconda parte non sara considerata e l’esame risulter`a insufficiente.
Una universita offre due corsi di Master, uno in Economia del Turismo (ET) e uno in Economia Agro-Alimentare (EA). Il costo sostenuto dall’universita per l’istituzione di entrambi i corsi `e F (x, y) = 2x^3 + 50y^2 − 50 xy + 36000
euro dove x `e il numero di studenti del Master ET e y il numero di studenti del Master EA. Ogni studente del Master ET versa una tassa di iscrizione di 1200 euro, mentre ogni studente del Master EA paga 1400 euro.
(a) Calcolare il totale T (x, y) delle tasse versate dagli studenti e il costo netto C(x, y) = F (x, y) − T (x, y) sostenuto dall’universit`a.
(b) Mostrare che se si accettano x∗^ = 20 iscrizioni per il Master ET e y∗^ = 24 per il Master EA, si minimizza il costo netto.
(c) Se si decide di accettare lo stesso numero di studenti in entrambi i corsi (x = y), quanti studenti bisogna accettare per minimizzare il costo netto?
lim x→+∞
2 x^4 + e−x^ + ln x x^5 + 2x + 1
I Parte. QUESITI PRELIMINARI
x − 3 x − 4
x − 3 − (x − 4) x − 4
x − 4
La diseguaglianza e allora verificata se e solo se il denominatore assume valori neg- ativi, cioe x − 4 < 0 da cui la soluzione x < 4.
y =
(6x − 4) ovvero y =
x − 1
quindi le due rette coincidono.
2 − 2 x per x ≤ 1 −2 + 2x per x > 1 quindi il grafico di f `e dato da:
-1.5 -1 -0.5 00 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.
1
2
3
4
nei punti (20, 20) e (21, 21) e scegliamo la soluzione che garantisce costo minimo. Si ha C(20, 20) = C˜(20) = 0 C(21, 21) = C˜(21) = − 78 < C(20, 20) quindi la seconda soluzione (21, 21) `e quella ottimale.
x→lim+∞
2 x^4 + e−x^ + ln x x^5 + 2x + 1 = (^) x→lim+∞
2 x^4 x^5
Nome e cognome
Matricola
I Parte: QUESITI PRELIMINARI. Riportare le soluzioni su questo foglio, mostrando i vari passaggi e calcoli.
x − 1 6 x − 4 y + 4 = 0
I Parte. QUESITI PRELIMINARI
x − 4 x − 3
x − 4 − (x − 3) x − 3
x − 3
La diseguaglianza e allora verificata se e solo se il denominatore assume valori neg- ativi, cioe x − 3 < 0 da cui la soluzione
x < 3.
y =
(6x + 4) ovvero y =
x + 1
Le due rette sono parallele quindi non hanno alcun punto in comune.
3 − 3 x per x ≤ 1 −3 + 3x per x > 1 quindi il grafico di f `e dato da:
-1.5 -1 -0.5 00 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.
1
2
3
4
5
6
7
II Parte. PROBLEMA
(a) Si ha T (x, y) = 1400x + 1200y quindi
C(x, y) = 50 x^2 + 2y^3 − 50 xy + 36000 − (1400x + 1200y) = 50 x^2 + 2y^3 − 50 xy − 1400 x − 1200 y + 36000.
(b) Dobbiamo verificare che il punto (x∗, y∗) = (24, 20) soddisfa le condizioni del I e del II ordine per essere un punto di minimo. Le condizioni del I ordine sono: { Cx(x, y) = 0 Cy(x, y) = 0 ossia
100 x − 50 y − 1400 = 0 6 y^2 − 50 x − 1200 = 0
Sostituendo x = 24, y = 20, si verifica che il punto (x∗, y∗) = (24, 20) e una soluzione di questo sistema ede quindi un punto critico. Per verificare le condizioni del II ordine calcoliamo la matrice hessiana:
H(x, y) =
Cxx Cxy Cyx Cyy
− 50 12 y
il cui determinante e detH(x, y) = 1200y − 2500. In particolare, nel punto (x∗, y∗) = (24, 20), si ha detH(24, 20) > 0 e Cxx(20, 24) = 100 > 0 e questo mostra che si tratta di un punto di minimo relativo^2. Osserviamo che il costo minimoe pari a C(24, 20) = − 800 < 0 ovvero con questo numero di iscritti si realizza un guadagno.
(c) Dobbiamo minimizzare il costo col vincolo che x = y, ovvero risolvere il problema di ottimo vincolato (^) { min C(x, y) x = y Sostituendo il vincolo nella funzione obiettivo, si ottiene:
C^ ˜(x) = C(x, x) = 2 x^3 + 50x^2 − 50 x^2 − 1200 x − 1400 x + 36000 = 2 x^3 − 2600 x + 36000.
Per calcolare gli eventuali punti di minimo di questa funzione imponiamo la con- dizione del I ordine: C˜′(x) = 0, cio`e
6 x^2 − 2600 = 0
la cui unica soluzione positiva `e ˜x =
1300 3 = 20.81. La derivata seconda `e^ C˜
′′(x) = 12 x quindi nel punto considerato e positiva: le condizioni del II ordine ci assicurano allora che si tratta di un punto di minimo. Non essendo un numero intero analizziamo la situazione nei numeri interi ad esso vicini. Piu precisamente, calcoliamo i costi (^2) Se inoltre si risolve il sistema delle condizioni del I ordine, si osserva che esiste un altro punto stazionario (149/ 12 , − 95 /6) che non ha senso in questo contesto dato che y `e negativo e che comunque dalle condizioni del II ordine risulta un punto di massimo relativo.
Nome e cognome
Matricola
I Parte. QUESITI PRELIMINARI. Riportare le soluzioni su questo foglio, mostrando i vari passaggi e calcoli.
2 − 2(1 − 4)^2 2(5 − 1)^3
f (x) =
x^2 + 2x x ≤ − 1 4 x + 3 x > − 1
calcolare f (−2) + f (0).
II Parte. Per accedere alla seconda parte dell’esame e necessario aver risposto cor- rettamente e per intero ad almeno due dei tre quesiti della prima parte. In caso contrario la seconda parte non sara considerata e l’esame risulter`a insufficiente.
L’azienda telefonica Telefone offre una tariffa di 0.15 euro al minuto con scatto alla risposta pari a 0.20 euro. L’azienda telefonica Vodacom offre invece una tariffa con costi fissi nulli e costo marginale del t-esimo minuto di conversazione c(t) = 0. 03 t + 0.01 euro.
(a) Calcolare il costo di una telefonata di x minuti se si utilizza la tariffa Telefone.
(b) Calcolare il costo di una telefonata di x minuti se si utilizza la tariffa Vodacom.
(c) Se si deve effettuare una telefonata di 10 minuti e preferibile la tariffa offerta da Telefone o quella offerta da Vodacom? Per telefonate di quale durata la tariffa Telefonee preferibile alla tariffa Vodacom?