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Esame Statistica
Prova scritta del 16 dicembre 2019
Quesito 1.
Il seguente istogramma rappresenta la distribuzione del reddito mensile (in migliaia di euro) in una popolazione di 260 famiglie
- Ricostruire, a partire dal grafico, la distribuzione di frequenze assolute;
- calcolare il numero di famiglie con un reddito mensile compreso tra 1000 e 4000 euro;
- calcolare media e varianza del carattere considerato.
- calcolare, utilizzando la diseguaglianza di Chebyshev, il limite inferiore della frequen- za relativa delle osservazioni nell’intervallo [1.0, 2.4].
Soluzione Indicando con X il carattere “reddito mensile”,
- il grafico ci fornisce indicazioni circa l’ampiezza delle classi Ai e la densit`a di frequen- za hi. Possiamo quindi calcolare le informazioni sulla seguente tabella
xixi+ 1 Ai hi fi ni x¯i ni · x¯i x¯^2 i ni · x¯^2 i Fi 0 1 1 0.2 0.2 52 0.5 26 0.25 13 0. 1 2 1 0.6 0.60 156 1.5 234 2.25 351 0. 2 4 2 0.075 0.15 39 3.0 117 9.00 351 0. 4 ` 6 2 0.025 0.05 13 5.0 65 25.00 125 1 260 442 840
- Nella popolazione considerata, ci sono n 2 + n 3 = 195 famiglie con un reddito compre- so tra 1000 e 4000 euro.
- Utilizzando i valori centrali delle classi x¯i come valori rappresentativi delle classi stesse x¯ ' ∑
k i= 1 ni^ x¯i n
Il reddito medio delle famiglie e pari a 1700 euro mensili. E possibile calcolare la varianza come
s^2 ' x¯( 2 ) − x¯^2 =
260 −^ 1.
Entrambi i risultati valgono in modo approssimato.
- Per la disuguaglianza di Chebyshev abbiamo che
f r(|X − x¯| < ε ) ≥ 1 − s
2 ε^2 Dato che ¯x = 1.7, si ha che ε = 0.7. Il limite inferiore risulta
f r(|X − x¯| < 0.7) ≥ 1 − 0.
La frequenza considerata non pu `o essere inferiore a circa il 30.61%.
Quesito 2.
Si considerino le seguenti funzioni g(x) e h(x). Tra queste due funzioni, solamente una rappresenta una funzione di probabilit`a o una funzione di ripartizione ben definita.
g(x) =
0.0 se x < 1 0.4 se 1 ≤ x < 2 0.5 se 2 ≤ x < 3 0.8 se 3 ≤ x < 4 1 se x ≥ 4
h(x) =
0.5 se x = 1 0.4 se x = 2 0.3 se x = 3 0.8 se x = 4
- Si ha che
P(X < 3 ) = (^) ∑ x< 3
P(X = x) = 0.4 + 0.1 = 0.5,
P(X ≥ − 3 ) = (^) ∑ x≥− 3
P(X = x) = 1.
- I valori risultano
E(X) =
4 ∑ x= 1
x · P(X = x) = 2.3,
E(X^2 ) =
4 ∑ x= 1
x^2 · P(X = x) = 6.7,
Var(X) = E(X^2 ) − (E(X))^2 = 1.41.
- Utilizzando le propriet`a del valore atteso e varianza per trasformazioni lineari, si ha che se Z = a + bX + cY,
E(Z) = a + bE(X) + cE(Y), Var(Z) = b^2 · Var(X) + c^2 · Var(Y) + 2 · b · c · Cov(X, Y).
In questo caso, si ha a = 3, b = 2 e c = −0.5, quindi
E(Z) = 3 + 2 · 2.3 − 0.5 · 2 = 6.6, Var(Z) = 4 · (1.41)^2 + 0.25 · (1.7)^2 + 2 · 2 · (−0.5) · 0.5 = 5.065.
Quesito 3.
Si supponga che la “Rockstar” che produce bibite in lattina cambi i macchinari. La variabile che rappresenta l’effettivo quantitativo versato in ciascuna lattina, di contenuto nominale 250cl, ha distribuzione Normale con varianza nota pari a σ^2 = 16. Selezionato un campione di 50 lattine, si ottiene (^) ∑^50 i= 1 xi = 12425.
- Costruire una stima puntuale del valore atteso μ della variabile X nella popolazione;
- Utilizzando i dati del campione costruire l’intervallo di confidenza al 90% per μ ;
- Utilizzando i dati del campione, verificare l’ipotesi nulla H 0 : μ = 250 contro l’alter- nativa H 1 : μ < 250 con un livello di significativit`a α = 0.025;
- Calcolare il p-valore
Soluzione
- Uno stimatore per la media E(X) = μ della variabile X nella popolazione `e la media campionaria ¯X, la cui stima nel campione risulta
x¯ =
- Poich´e la X ´e distribuita normalmente con varianza nota, la ¯X si distribuisce normal- mente come segue ¯x ∼ N( μ ; σ^2 /n)
90%IC ' [l 1 , l 2 ] =
[
x ¯ − z 1 − α /
σ^2 n ; ¯x + z 1 − α /
σ^2 n
]
[
]
= [248.5 − 0.93; 248.5 + 0.93] = [247.57; 249.43]
Ci o significa che con probabilita 90% l’intervallo [247.57; 249.43] determinato sulla base della media campionaria contiene il valore atteso incognito.
- Ipotesi
H 0 : μ = 250 H 1 : μ < 250
Regola di decisione: la media campionaria standardizzata √X¯− μ^0 σ^2 /n ha una distribuzione Normale N(0, 1). Il test `e con alternativa unidirezionale sinistra, quindi dal confronto tra ipotesi nulla e ipotesi alternativa possiamo dire che la regione di rifiuto e la regione di accettazione sono del tipo
RC : = √x¯^ −^250 16/
< −1.96 (z 1 − α )
RA : = x¯ − 250 √ 16/
≥ −1.96 (z 1 − α )
La decisione a favore o contro l’ipotesi nulla `e basata sul valore della statistica test, dato il campione, sotto l’ipotesi nulla:
√x¯^ −^250 16/
0.57 =^ −2.63^ <^ −1.
Dato che il valore osservato della media campionaria standardizzata appartiene alla regione di rifiuto, vi e evidenza empirica sufficiente a rifiutare l’ipotesi nulla. Il conte- nuto in una lattina con il nuovo macchinario nella popolazionee minore di 250cl con una probabilit`a di errore di primo tipo pari a 0.025.
- Il p-valore risulta P(Z < −2.63) = 0.
Soluzione
- Le statistiche test per il parametro β risultano rispettivamente pari a
β ̂ ES( β ̂)
β ̂ ES( β ̂)
Confrontando i valori assunti dalle statistiche test con i valori critici della distribuzione t30,0.01 = 2.457, possiamo concludere che le stime di β sono significativamente diverse (maggiori) da 0 al 2%.
- Se il tasso di interesse aumenta di un punto percentuale la disoccupazione aumenta in media di 1.4 punti percentuali nel paese dell’economista e di 1.6 punti percentuali nell’altro paese.
- Utilizzando la formula di scomposizione della devianza risulta
R^2 = Devianza spiegata Devianza di Y
R^2 = Devianza spiegata Devianza di Y
La devianza spiegata dal modello rappresenta l’80% della devianza di Y nel paese del- l’economista e il 60% della devianza di Y nell’altro paese, quindi il modello migliore `e il primo.
- La somma dei residui
e zero. Pertanto si puo calcolare la somma dei residui per le 4 coppie di punti pari a -0.10 e attribuire il residuo +0.10 a x = 1.5 ottenendo Y(1.5) = −1.0 + 1.6 × 1.5 + 0.10 = 1.5.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.
x
y
- Vedi formule del libro di testo.
