Scarica ESERCITAZIONE MATE 1 e più Esercizi in PDF di Matematica Generale solo su Docsity!
ESERCIZIO 1
Calcolare il seguente integrale definito: ∫ (^5)
0
(9x^2 − 30 x)ex^3 −^5 x^2 dx.
SOLUZIONE
0
(9x^2 − 30 x)ex (^3) − 5 x 2 dx = 3
0
ex (^3) − 5 x 2 )′ dx =
[
ex (^3) − 5 x 2 ]x= x=
ESERCIZIO 2
Calcolare
lim x→ 0 log(1 + 2x) − 2 x 1 + 3x − e^3 x
SOLUZIONE
Applicando al formula di Taylor si ottiene:
lim x→ 0 log(1 + 2x) − 2 x 1 + 3x − e^3 x^ = lim x→ 0
2 x − 4 x 22 + o(x^2 ) − 2 x 1 + 3x − (1 + 3x + 9 x 2 2 + o(x^2 ))
= lim x→ 0 − 2 x^2 + o(x^2 ) −^9 x 2 2 + o(x^2 )
= lim x→ 0 −2 + o(1) −^92 + o(1)
ESERCIZIO 3
Tracciare un grafico qualitativo della funzione
f (x) =
3 x +
2 x
dopo averne determinato dominio, segno, eventuali asintoti, eventuali estremanti.
SOLUZIONE
Dominio: La condizione di esistenza e stabilita dalla condizione 6 x (^2) + 2 x ≥^ 0, con x 6 = 0. Dato che il numeratoree ovunque positivo, si deduce che il dominio `e l’intervallo (0, +∞). Segno: Evidentemente, si ha f (x) ≥ 0 per ogni x > 0. Asintoti:
x→^ lim+∞
3 x +
2 x
lim x→ 0 +
3 x +
2 x
Pertanto x = 0 rappresenta un asintoto verticale per la funzione e non vi sono n´e asintoti orizzontali n´e asintoti obliqui. Infatti, pur tendendo a +∞, la funzione ha una crescita paragonabile a quella di x^1 /^2 , per x → +∞.
Estremanti: Calcoliamo la derivata prima della funzione f :
f ′(x) =
3 x + 1/(2x)
2 x^2
Ricordando che x > 0, si ha f ′(x) ≥ 0 se e solo se
3 ≥
2 x^2 ⇐⇒ 6 x^2 ≥ 1 ⇐⇒ x ≥
√^1
Dunque x = √^16 e un punto di minimo relativo (ed anche assoluto) per la funzione. Convessita:
f ′′(x) = −
[
3 x +
2 x
]− 32 (
2 x^2
2 x^3
[
3 x +
2 x
]− 12
[
3 x +
2 x
]− 32 [
2 x^2
2 x^3
3 x +
2 x
)]
[
3 x +
2 x
]− 32 (
2 x^2
8 x^4
x^2
2 x^4
[
3 x +
2 x
]− 32 (
− 36 x^4 + 36x^2 + 3 8 x^4
ESERCIZIO 4
Stabilire per quali valori del parametro reale k risultano linearmente indipendenti i seguenti vettori:
x^1 =
k + 5 2 1
(^) , x^2 =
7 k 3 k − 1
(^) , x^3 =
SOLUZIONE
Si tratta di calcolare il determinante della matrice [x^1 x^2 x^3 ], ottenuta considerando i tre vettori come colonne, e di imporre che sia diverso da zero. Infatti, solo in questo caso la matrice ha rango massimo, pari a 3, ed i vettori risultano indipendenti. Utilizzando lo sviluppo di Laplace rispetto alla terza riga, si ottiene che il valore del determinante:
6 k^2 + k − 1.
Pertanto k 6 = − 1 /2 e k 6 = 1/3.
ESERCIZIO 5
Risolvere la seguente disequazione:
(ex^ − e−^2 ) log 3 (x + 4) ≥ 0
SOLUZIONE
La condizione di esistenza e definita da x > −4. Trattandosi di un prodotto di due fattori (ex^ −e−^2 ) e log 3 (x+4), studiamo separatamente il loro segno. Il primo fattoree positivo per x ≥ −2, ed il secondo per x + 4 ≥ 1, ovvero x ≥ −3. Il segno del loro prodotto e riassunto nello schema di Figura 2. Concludiamo che la soluzionee definita dalle condizioni − 4 < x ≤ −3 e x ≥ −2.
Figure 2: Grafico deio segni dei fattori.
