ESERCITAZIONE 20 : VARIABILI
ALEATORIE DISCRETE
Giacomo Tommei
e-mail: [email protected]
web: www.dm.unipi.it/∼tommei
Ricevimento: su appuntamento
Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 114
30 Aprile 2013
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Esercizi di Probabilità e Variabili Aleatorie Discrete, Esercizi di Statistica Economica
Esercitazione di statistica svolta in aula.
Tipologia: Esercizi
2018/2019
1 / 23
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ESERCITAZIONE 20 : VARIABILI
ALEATORIE DISCRETE
Giacomo Tommei
e-mail: [email protected]
web: www.dm.unipi.it/∼tommei
Ricevimento: su appuntamento
Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 114
30 Aprile 2013
Esercizio 1
Sia X una variabile aleatoria discreta che assume valore 1 con probabilit`a
1 /3 e −2 con probabilit`a 2/3. Calcola il suo valor medio E[X] e la sua
varianza V ar[X].
Esercizio 2 - Soluzione
a) Poich´e l’esperimento consiste nell’estrarre 2 palline SENZA rimessa ed X rappresenta il numero di palline Rosse estratte, la sua distribuzione di probabilita sara data da
p(X = 0) =
p(X = 1) = 2
p(X = 2) =
b) Poich´e l’esperimento consiste nell’estrarre 2 palline CON rimessa ed Y rappresenta il numero di palline Verdi estratte, la sua distribuzione di probabilita sara data da
p(X = 0) =
p(X = 1) = 2
p(X = 2) =
Esercizio 3
Si lanciano 3 dadi e si considerano le seguenti variabili aleatorie discrete
a) X: somma dei punteggi dei 3 dadi;
b) Y : prodotto dei punteggi dei 3 dadi.
Calcolare il valor medio e la varianza di X e Y.
Esercizio 4
Ricordi tutte le cifre del PIN del tuo bancomat tranne l’ultima. Decidi di
provare lo stesso scegliendo a caso l’ultima cifra, disponi di un massimo di 3
tentativi. Quanti tentativi farai in media?
Esercizio 4 - Soluzione
Indichiamo con X la variabile aleatoria discreta che conta il numero di tentativi; tale variabile aleatoria pu`o assumere i valori 1, 2 e 3. Avremo X = 1 quando indovineremo la cifra al primo tentativo, X = 2 quando sbaglieremo il primo tentativo ed indovineremo al secondo, mentre X = 3 lo otterremo quando indovineremo al terzo tentativo oppure sbaglieremo tutti e tre i tentativi. Quindi si ha
P (X = 1) = 1 10
P (X = 2) = 9
P (X = 3) =
quindi il valor medio `e E(X) = 1 10
=^27
Esercizio 5 - Soluzione
a) La probabilita di colpire il bersaglioe data dalla somma delle tre probabilita di colpirlo al primo colpo, di colpirlo al secondo e di colpirlo al terzo. La probabilita di colpirlo al primo colpo vale 1/5; la probabilita di colpirlo al secondo vale (4/5) (2/5) = 8/25 (non colpisce al primo colpo e ha probabilita doppia di colpirlo al secondo); la probabilita di colpirlo al terzo vale (4/5) (3/5) (4/5) = 48/125 (non colpisce al primo colpo, non colpisce al secondo e ha probabilita doppia, rispetto al secondo tentativo, di colpirlo al terzo). La probabilita cercatae quindi
P =
b) Indicando con X il numero di frecce scoccate si nota che X e una variabile aleatoria discreta che puo assumere i valori 1, 2 , 3; calcoliamo le rispettive probabilit`a (ricorda che si scoccano tre frecce sia che si colpisca il bersaglio al terzo tentativo sia che non lo si colpisca):
P (X = 1) =^1
P (X = 2) = 8
P (X = 3) = 1 − 1
=^12
Il valor medio `e allora E[X] = 1^1 5
+ 3^12
=^57
Variabili aleatorie discrete
Binomiale (o bernoulliana)
Sia E un evento con probabilit`a p, e consideriamo la v.a. X che conta il
numero di volte che E si `e verificato in n esperimenti.
P (X = k) =
n
k
p
k
(1 − p)
n−k
E(X) = n p
V ar(X) = n p (1 − p) DS(X) =
V ar(X) =
n p (1 − p)
Variabili aleatorie discrete
Distribuzione geometrica
Sia E un evento con probabilit`a p che chiamiamo “successo” e supponiamo
di ripetere delle prove. Consideriamo la v.a. X che conta il numero di prove
necessarie ad ottenere il primo successo.
P (X = k) = (1 − p)k−^1 p
E(X) =
p
V ar(X) =
1 − p
p^2
DS(X) =
V ar(X) =
1 − p
p^2
Le variabili aleatorie geometriche godono di una propriet`a rilevante, detta
assenza di memoria: se nei primi n tentativi non `e stato ottenuto alcun
successo, la probabilit`a di dover attendere altri m tentativi prima del primo
successo non dipende da n.
Esercizio 6
In una serie di 15 prove una variabile aleatoria X con distribuzione
binomiale ha valor medio E(X) = 3. Quanto vale la sua varianza V ar(X)?
Esercizio 7
In un sacchetto ci sono 8 biglie rosse, 2 gialle e 10 blu. Si estrae con rimessa
per 5 volte. Calcola la probabilit`a di estrarre:
a) esattamente 4 rosse;
b) almeno 1 rossa.
c) Quante palline gialle saranno estratte in media?
Esercizio 7 - Soluzione
Si hanno 20 palline in totale quindi
P (R) =
P (G) =
P (B) =
a) P (4R) =
b) P (almeno 1R) = 1 − P (0R) = 1 −
c) Indichiamo con X la variabile aleatoria discreta che conta il numero di palline gialle estratte: poich´e l’estrazione `e con rimessa, X ha una distribuzione binomiale con p = P (G) = 2/20 e n = 5, quindi
E[X] = n p =
Esercizio 8 - Soluzione
a) La probabilita di ottenere la parola AACGTAe
p =
dove a denominatore c’e il numero di possibili parole di 6 lettere formate con l’alfabeto di 4 lettere in questione. b) Indicando con X la variabile aleatoria discreta che conta il numero di estrazioni per vedere estratta la parola in questione,e facile notare che X ha una distribuzione geometrica e quindi il suo valor medio vale E[X] = 1/p = 4^6.