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Esercizi distribuzioni di probabilita e
variabili aleatorie discrete
Esercizi presi da “Statistica” di P. Newbold, W.L. Carlson, Betty Thorne (2010, Pearson Italia,
Milano)
- Determinate la funzione di probabilità del numero di teste nel lancio di una moneta regolare
Soluzione:
X P(x)
- Determinate la funzione di probabilità del numero di teste in tre lanci indipendenti di monete
regolari
Soluzione:
X P(x)
T T T
T T C
T C C
C C C
C C T
C T T
C T C
T C T
- Una compagnia aerea ha chiesto a degli specialisti di studiare i ritardi dei voli, nella prima settimana
di Natale, da uno specifico aeroporto. La variabile X rappresenta il numero di voli in ritardo di un’ora
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
P(x
)
0
8
- 0
7
5
2
8
0
2
8
0
a. Determinare la funzione di ripartizione
b. Determinare la probabilità che il numero di voli in ritardo sia ≥ 5
c. Qual è la probabilità che il numero di voli in ritardo sia compreso tra 3 e 7 (inclusi)
Soluzione:
A
X P(x) F(x)
B
4
𝑥≤ 4
C
𝑖
7
𝑖 3
- Sia data la seguente funzione di probabilità:
X 0 1 2
P(x) 0.25 0.50 0.
a. Rappresentare graficamente la funzione di probabilità
b. Trovare la media della variabile aleatoria di X
c. Trovare la varianza di X
Soluzione:
a. Rappresentare graficamente la funzione di probabilità
X P(x) F(x)
Soluzione:
A
X P(x) F(x)
C
𝐸(𝑋) = ∑ 𝑃(𝑥) = ( 0 × 0 , 28 ) + ( 1 × 0 , 36 ) + ( 2 × 0 , 23 ) + ( 3 × 0. 09 ) + ( 4 × 0 , 04 ) = 1 , 25
𝑥
0
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,
F(x)
X
DISTRIBUZIONE di probabilità
0
0,
0,
0,
0,
1
1,
0 1 2 3 4 5
F(x)
X
funzione di ripartizione
D
2
2
𝑥
X P(x) F(x) X*P(x) x-μ (x-μ)
2
(x-μ)
2
*P
- Un’azienda produce scatole di graffette per carta. Il numero di graffette per scatola varia, come
indicato nella tabella seguente
X 47 48 49 50 51 52 53
P(x) 0.28 0.36 0.23 0.09 0.04 0.10 0.
a. Disegnare la funzione di probabilità
b. Calcolare la funzione di ripartizione
d. Si scelgono a caso due scatole. Qual è la probabilità che almeno una di queste contenga
come minimo 50 graffette?
f. Il costo di produzione (in centesimi) di una scatola di graffette è uguale a 16+2X, dove X
rappresenta il numero di graffette per scatola. Il ricavo della vendita di una scatola,
indipendentemente dal numero di graffette contenute, è di 1.5 euro. Dato come utile la
differenza tra ricavo e costo, trovare la media e la deviazione standard dell’utile della
scatola
SOLUZIONE:
X P(x) F(x)
E(U)= 134 – 2E(X)
σ(U)= √ 4 σ(X)
Occorre quindi trovare il valore atteso e la varianza di X
X P(x) F(x) X*P(x) x-μ (x-μ)
2
(x-μ)
2
*P
Dopodiché
E(U)= 134 – 2E(X)= 134 – 2(49.9) = 34.
σ(U)= √ 4 σ(X)= 2√1.95=21,396=2,
