Esercitazioni mate fin, Esercizi di Matematica Finanziaria

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Esercitazioni di Matematica Finanziaria

Esercitazione 2

TABELLA RIASSUNTIVA FATTORI DI CAPITALIZZAZIONE E DI ATTUALIZZAZIONE (SCONTO)

NEI TRE REGIMI

Capitalizzazione

semplice

RIS

Capitalizzazione composta

RIC

Capitalizzazione ad interesse

anticipato RIA

u (τ) =1+i⋅ τ

M = C(1 + i τ)= C ⋅ u (τ)

u (τ)= ( 1 + 𝑖)τ

M=C( 1 + 𝑖)τ^ = C ⋅ u (τ)

u (τ)=

1 1 −𝑑𝜏

M=C

1 1 −𝑑𝜏

= C u (τ)

v(τ) =

1

1 +𝑖τ = (1 + i^ τ)

• 1

→ sconto razionale

v(τ) = ( 1 + 𝑖)−τ^ =

1 ( 1 +𝑖)τ ➔ sconto scomposto

v(τ)= 1 - d τ

Capitalizzazione a tassi variabili nel tempo

M = C(1 + i 1 τ 1 + i 2 τ 2 +…+ in

τn)

Capitalizzazione a tassi variabili nel tempo

M=C( 1 + 𝑖 1 )𝜏^1 ( 1 + 𝑖 2 )𝜏^2 … ( 1 +

Capitalizzazione a tassi variabili nel tempo

C = M( 1 – d 1 τ 1 – d 2 τ 2 - … dnτn)

Forza di interesse

𝛿(𝜏)^ =

Forza di interesse

𝛿(𝜏)^ =

= ln ( 1 + 𝑖)

la forza di interesse non dipende

dal tempo

Regime scindibile

Forza di interesse

𝛿(𝜏)^ =

·

t

· per

T = 1

u · (^) anno civile :^365 giorni · (^) anno commerciale :^ (^360) giorni · Mese^ :^30 gioni

. Semestre^

: 180 giorni

alla

Esercizio 1

Un istituto bancario propone a un cliente un certificato di deposito con le seguenti caratteristiche. Investendo oggi 50000e fra 5 anni si puo incassare il capitale versato piu interessi lordi per 29375e (in tutto si incassano 75703, 1 e dati dal capitale iniziale piu interessi netti pari a 25703,1ederivanti dall’applicazione della ritenuta fiscale del 12, 50% sugli interessi lordi). L’istituto a!erma che il tasso di interesse lordo annuoe dell’11, 75%. (a) Si trovi la legge finanziaria utilizzata dalla banca per il calcolo del rendimento del certificato. (b) Si determini il tasso d’interesse netto o!erto dalla banca nel regime precedentemente individuato. 5000E 50.^000 +^29375 IN5 =^25703.^ LE

• u

R .F.^12.^50 %

IL

O (^5) = 11. 75 % =^0.^1175 ② Ipotesi RIS^ u(i)

= 2 + it

& 5 =^ C^

. (^) in (^) = 50000.^0. 1175.^5 =

= 29375E

La L^ .E.^ è^ RIS ⑥ RIS in =?^ Ins =^ Cint in^20 = 10.^28 % Verifica dei = 11.^75 %^

decurtato delle

riterete (^) fiscali del 12.^50 %^ corrisponda a 10.^28 % #50%

(^100) % 11.^75 · (^87).^50 % =^10.^28 %

La banca^

ha (^) operato correttamente

③

CONV. LINEARE

C .^ L^ = C^.^ E^

in (^) questo caso^

non essendoci

une pare (^) praz

Esercizio 3

Determinare il valore capitalizzato in ω = 19 mesi di 20000e nel regime dell’interesse composto con capitalizzazione trimestrale degli interessi e in convenzione esponenziale con tasso di interesse trimestrale i 4 = 0.021. Determinare il valore scontato ad oggi di 19000e disponibili in ω = 17 mesi, nel regime dello sconto razionale, al tasso di sconto annuo d = 0, 063. ⑨ 20000 E^?^ iy^ = 0.^021 RIC

O 19m^ =^6 +^1 = 1 M= (1+^ in)=^ (^2000) (2 +^0. 02)292813.^ 56-

19. 000 E^ RIA

③ d= 0.^063 · 17m = 2 += 063 =

19000 v(0) =^ (2)^ - =^17348 . (^) 43E 2 + i^2 +^0.^ (^0672) ·f^ = 0.^0672 12

a me & · ·

Esercizio 4

Il montante di un capitale impiegato per 3 anni, 9 mesi e 8 giorni al tasso semestrale i 2 = 0.02 `e pari a 1800e. Calcolare il capitale iniziale supponendo di utilizzare il regime dell’interesse semplice (anno commerciale). (a) 235, (b) 1239, (c) 1564, (d) 2071, (e) non so rispondere ma sono presente

• >von

la senso

CM

? 1800E^ in=^

0. 02 Ris

-u-

O T=^ (^30) ,am,Sg ~ (^) = 3. 2 + 2 2 =

Esercizio 5

Un risparmiatore vuole disporre di 200000e fra 12 anni. A tal proposito programma di e!ettuare 3 versamenti di importo costante – il primo in data odierna, il secondo fra 4 anni e il terzo fra 7 anni – presso una societ`a finanziaria che remunera i depositi a un tasso costante annuo del 4%. (a) Si determini l’ammontare di ciascun versamento. (b) Si determini dopo quanto tempo un capitale di 160000e investito al tasso annuo composto del 5% produce un montante di 200000e. (c) Tenuto conto del risultato precedente, si determini l’ammontare dei versamenti (costanti) che si debbono e!ettuare alle scadenze t = 0, t 1 = 4 e t 2 = 7 per disporre dei 200000e dopo 12 anni nell’ipotesi che il tasso di remunerazione non rimanga costante, ma passi dal 4% al 5% non appena il montante delle somme depositate supera i 160000 e. T T T

Ri (^) R2 R3 200000 E i (^) = 4.% = 0.^04 e R, = (^) Rz =^ Rz^ =^ R

200000 =^ R(^

• (^) i) "

R(

i)

• (^) R(2 +^ i) = & = R[

.^ 04 *^ +^ 2.04 (^) + 2. 045] R = 11. (^048) + 2.^045 = 47.

775.^42

RIC

③ i= 5 % = 0.^05

O

?? M (^) = C(2 +^ i)^ (1^ +^ i) =

Esercizio 6

Abbiamo a disposizione un capitale di 20000e da investire per 2 anni e 8 mesi. (a) Determinare il montante M disponibile alla fine del periodo, usando il regime di capitalizzazione composta, con convenzione lineare, al tasso del 4% annuo. (b) Il montante maturato puo essere usato per coprire anticipatamente, un debito D di 14000e scadente tra 4 anni, al tasso di sconto del 3% annuo, con convenzione esponenziale. Determinare il valore scontato del debito D e la somma S restante dopo averlo pagato. (c) Un Istituto di Credito permette di depositare una somma alle seguenti condizioni: per i primi 9 mesi al tasso annuo del 4% e per i successivi 7 mesi ad un tasso annuo del 3,5% in capitalizzazione semplice. Stabilire se si ottiene un montante piu alto pagando il debito D alla scadenza naturale e investendo il montante M presso l’Istituto o saldando il debito con il montante M (punto 2) e depositando la somma S presso l’Istituto.

Esercizio 6

Abbiamo a disposizione un capitale di 20000e da investire per 2 anni e 8 mesi. (a) Determinare il montante M disponibile alla fine del periodo, usando il regime di capitalizzazione composta, con convenzione lineare, al tasso del 4% annuo. (b) Il montante maturato puo essere usato per coprire anticipatamente, un debito D di 14000e scadente tra 4 anni, al tasso di sconto del 3% annuo, con convenzione esponenziale. Determinare il valore scontato del debito D e la somma S restante dopo averlo pagato. (c) Un Istituto di Credito permette di depositare una somma alle seguenti condizioni: per i primi 9 mesi al tasso annuo del 4% e per i successivi 7 mesi ad un tasso annuo del 3,5% in capitalizzazione semplice. Stabilire se si ottiene un montante piu alto pagando il debito D alla scadenza naturale e investendo il montante M presso l’Istituto o saldando il debito con il montante M (punto 2) e depositando la somma S presso l’Istituto.