Scarica Esercizi di Regressione Lineare Multipla: Applicazioni e Interpretazione dei Risultati e più Esercizi in PDF di Econometria solo su Docsity!

I riga

. 1 colonna (^) X

(.^ -[

5. +^ (0-20) +^ (^

. 5) +

. 15) + ( . (^) 10) = 775

3x

25 400 25 225 100

I riga

. 2 Colonna

(

.

. 2) + ( - 9) +^ (15. 11) +(

.

=

40 4045165100

(

X) (^) = 55775390

3x

2

riga

. I colonna

/ /^

= 390

(X

= 2

riga

. 2 colonna

(

. 2)

.

11. (^) + (

.

10. =^208

775390

(spero

che det e (^) matrice inversa ce la diano loro)

64

2x

n 1822

100

I

de

(XX) =^30. (^000) e

quind

: la matrice e^ non

singolare

(XX)

=

390 208

in versa^ :

2x

giusto

(TX) 48315833 s

I

riga

. (^1) Colonna - 0 .

(^31833 ) ,

008330 .

02833

(

(

. 20) (^) + (

.

(

.

15) =^1275

50 Goo^ 100

(^375 )

2 riga

. 1 colonna

.

+ (^

.

30) +^ (

.

20. • (^) (1. 25) +^ (

= 745

8060 188 275 150

(x Y)

=

12

2

(X)48315833 s ·

(TY =

3x

• 0 .

318330 ,

008330 .

02833

1

riga

. 1 colonna = (.

18833

.

(0,^

15833

.

1275. +^70 .

31833

. 745) =^9

.

8

448 ,

833 - 201

,

87075 - 237

.

155

2 riga

. 1 colonna^

,

100) +^ (

,

, 00833

·

745) =^0

.

9936

• 15 , 833

10 ,

62075 6 ,

20585

3 riga

. 1 colonna^ =^ (- ,

31833

.

100. +^ ( ,

00833

.

,

02833

.

745. =^ - 0

.

1064

• 31 ,

(^833 ) ,

62075

21 ,

10585

Bas (^) =

9 ,

8

I

• 0 ,

2

3x

modello stimato

Y

= 9 ,

0 +

2x

:

• 0 .1X

3

prevedi

il valore di^ y quando^

X

= 5 e

X

= 8

Y

= 9 ,

0 + 2(5)

• 0

,

1(8)

= (^14)

4 calcoliamo Ser e R

9

testser(Y) Xe

Xe

Y

: U :

(^4) : ( :

• 5. (Y :
     • y)

10

5 z 24 4 16

• 20 100

30 202 29 ,

6 0 .

4

0 ,

(^16 ) 100

(^20 ) 9

13 ,

9 6 ,

2 37

,

21 O^ O

(^25 ) 11

23 ,

7 1 ,

3 1 , 69

(^5 )

15 10 10 18 .

8

• 3 ,

(^8 ) ,

44

• (^5 )

O 69 ,

(^5 )

Y =^20

SER

=

(^1 ) ,

5

= 34 ,

75

n - k- 2

5

• 2 - 2

n. regressori

i= calcolo

R = 1 -

n

• 1 SSR =

(^1) -^5

• 1 S

(^69) ,

5

= 1

• 2

. 0 .

278 = 0

. 44h

~

senza (^) parentesi

:

n

• (^) R -^1 TSS 5

   2 - 2250 

Il

iss

=

E i= ~

(4:

• y)

0 ,

278

Il valore^ assunto dall'indice denota^ uno scarso adattamento della retta di

regressione

ai panti

osservati.

Infatti (^) solo il 44 ,

4 % della^ variabilità di Y è spiegata

dai due regressori

considerati.

⇤ ⇤⇤

t i

=

i

S.E.(i)

t = 1. 96 t = 2. 58

X 1

⇤⇤ ⇤⇤ ⇤⇤

[16.762] [17.762] [17.667]

X 2

⇤⇤ ⇤⇤ ⇤⇤

[21.810] [22.850] [12.550]

X 3

⇤⇤ ⇤⇤

[11.000] [11.000]

X 4

⇤⇤

[4.730]

X 5

⇤⇤

[3.121]

X 6

⇤

[ 2 .372]

⇤⇤ ⇤⇤ ⇤⇤

[692.833] [254.510] [217.368]

t =

1. 011

2. 001

= 11

[0. 011 ± 1. 96 x 0 .001] = [0.009; 0.013]

Age x [ 3

± 1. 96 x SE( 3

)] = 10 x [0. 011 ± 1. 96 x 0 .001] = [0.0904; 0.1296]

R

2

4

=

5

= 6

= 0

4 =

5

= 6

= 0

1

¯ R

2

R

2

¯ R

2 = 1 (

n 1

nk 1

)(1 R

2 ) = 1 (

n 1

nk 1

)(

RSS

T SS

)! R

2 = 1

nk 1

n 1

(1

¯ R

2 )

R

2 = 1

10973 2 1

10973 1

(1 0 .0710) = 0. 0712

R

2

= 1

10973 3 1

10973 1

(1 0 .0761) = 0. 0764

R

2 = 1

10973 6 1

10973 1

(1 0 .0814) = 0. 0819

H 0

: 4

= 5

= 6

= 0 H 1

: i

6 = 0 f ori = 4, 5 , 6

F =

R

2

unrestricted

R

2

restricted

/q

(1R

2

unrestricted

)/(nkunrestricted1)

R

2 R

2

R

2

F =

1. 0819 0. 0764 / 3

(1 0 .0819)/(10973 6 1)

= 21. 898

F 3 , 1 = 3. 78

q

c = Z 1

↵/q

2

H 0

se il (^) coefficente e

significativo

al 5 %

(probabilità

di errore

= (^0) .

ovvero dobbiamo verificare se i coefficienti stimati^ sono significativamente

diversi da^ zero^ usando livelli^ di^ significatività

5 % e 1 %

se lo sono

ti =^ Bi

non sono dovuti

SE(Bil

al caso

calcoliamo la statistica teste^ e^

la (^) confronto con valori^ :^5 %^ (t^

= (^2)

,

96. => 4

= (^0)

,

025

(^1) % (t =^2 ,

576) =^ X =^0

,

005

se

tet

1 ,

96 => coefficente

e

significativo

al 5 %^ a

se +1 x 2 ,

576 =

coefficente

è

significativo

al (^1) % *

regressore

(3)

0 ,

352

**

0 ,

373

**

0 .

371

**

College

(X1)

,

(

,

,

te (^) = 52

= (^16) ,^7 ,

762 17 ,

667

** **^

**

,

(^81 ) ,

85 22 ,

35

• (^) **

11 11

North (Xa)

0

.

175

*x

[ ,

4 ,

73

South (X5) 0

,

203

**

,

3

,

122

East(Xo)

• 0 .

102

,

• 2 ,

(^372) =>

2 ,

• 2 ,

372171 .

96

Intercetta 12

,

840

12 ,

471 12

,

3904A

Co

,

(

,

(

,

713 ,

52

217 ,

3

1. Nella Statistica^ test otteniamo 1171

,

96 e 11 72

,

576 => 11 è

significativo

all'2%

~

perché

95 %

C'è poco

caso

Intervallo di^ confidenza^ al 95 % è

By

= 1 ,

SE(Bs)]

( ,

011 =^1 ,

96

. 0

, 001]

2. Alvo =^30 anni laureato

100

a

non ce^ lo^ e ae

Kal =^ do anni laureato

dobbiamo tenere

in (^) considerazione l'età

Age

. [B

1

,

96

·

SE(s)]

= (^) 20 -30(

,

011 =^1 ,

96

. 0 ,

= 10( ,

011

= (^1)

,

96. 0 ,

2. =^20 ,

0904

0 .

1296]

ovvero tra 9 ,

(^04) % e il (^14) , 96 %

Quindi poiché

non c'è^

lo O (^) o valore negativi

allora un^

individuo di (^) lo anni guadagna

in media^ significati

vamente

di

più

di uno di so

,

0017

F =

,

0819

• 0 .

076123)/

22 ,

69E

,

89

(

• 0 , 0819/( - 6 - 1)

6

,

2181

06

A

livello (^) di

significatività

%

F

,

0

= (^3) , (^) 7 Fest quindi

rifiuto

almeno (^) uno dei^ coefficenti è

da O

domanda (^) :

quando

accettare Ho

?

(^3). Il test di Bonferroni

è asato per

verificare ipotesi Multiple (9 =^3 in questo caso) riducendo

rischio di falsi^ positivi

. Si^ calcola^ un valore^ critico^ corretto:

c = E

x

= (^1) %

9

= (^3)

71-

= 20

,

2904

= 2 ,

Ital

= (^4)

,

(^730) < 2

,

24 =^ > rifiuto Ho

per

Ba

Ist

= 3 ,

12172

,

24

=

rifiuto Ho^

pers

Isl

= - 2

,

,

94 =

non rifiuto Ho

per

Bs

almero uno dei^ coefficenti (^) è

significativamente

da Zero

(^4). [

1 2 ,

SE(p1))

= [ ,

37112 ,

58 · 0 .

=

,

3168

;

04252]

Esercizio 1 Si considerino 3 variabili indipendenti X 1 , X 2 , X 3 e una variabile dipen-

dente y. Le osservazioni sono le seguenti:

X

1

X

2

X

3

y

Usando questi valori, si vuole calcolare la matrice delle osservazioni X, il vettore delle

variabili dipendenti y, e stimare i coe!cienti di regressione usando R.

Soluzione

Il modello di regressione lineare multivariata nella forma matriciale è dato da:

y = Xω + ε

dove:

• y è il vettore delle osservazioni della variabile dipendente y,
• X è la matrice delle osservazioni delle variabili indipendenti,
• ω è il vettore dei coe!cienti da stimare,
• ε è il vettore degli errori casuali.

Matrice X e vettore y

X =

y =

La formula per stimare i coe!cienti

ω è:

ω = (X

T X)

→ 1 X

T y

Dove:

esercitazione

modello <- lm(y ~ X1 + X2 + X3, data=dati)

Risultati del modello

summary(modello)

Questa funzione restituisce direttamente i coe!cienti stimati e le statistiche di signifi-

catività del modello.

Esercizio 2 Consideriamo i seguenti risultati della regressione:

Coe!cients:

(Intercept) : 1. 50 (p-value = 0.001)

X 1 : 0. 45 (p-value = 0.025)

X 2 : → 0. 30 (p-value = 0.150)

X 3 : 0. 75 (p-value = 0.010)

X 4 : 0. 20 (p-value = 0.200)

X

5

: → 0. 40 (p-value = 0.005)

Residual standard error: 1. 25 Multiple R

2 = 0. 85 Adjusted R

2 =?

F-statistic: 23. 50 on 5 and 994 DF, p-value :< 2. 2 ↑ 10

→ 16

1. Per ogni coe!ciente, valutare la significatività guardando il p-value.
2. Utilizziando il test F di Fisher, verificare se il gruppo di coe!cienti X 2

e X 4

siano

entrambi pari a zero.

3. Svolgere il punto 2. applicando la correzione di Bonferroni.
4. Calcolare l’R

2

aggiustato

i

Y

Bo

Bas

=

Be

= (Xix)

• 2

(XTY)

·

1 + +^ +^ +^ + +

X

2x

=

2413567

1212456

36248910

(Xn

,

X ,

X

=

=

Renonristretta

Ristretta/a

Renon

ristratta)/(T-K)

q

= 2 =>X

= (^) 0eXa =^0

k =^ G

T

= (^1000)

Non

possiamo svolgere

il calcolo con

le informazioni di^ cui disponiamo (^) perché

non possiamo

calcolare

R

ristretto

3

. con^ Bonferroni^ dobbiamo^

ridurre il (^) livello di significatività per

ciascun test..

Se partiamo

da X= ,

05 e

abbiamo (^2)

ipotesi

da testare (una^ per X^

=

1. e^ una^ per

(X ,

= 0) (^) il livello di significatività

corretto (^) e :

X

Bonferrosi

n

. ipotesi

= (^0).

05 = 0 ,

025

2

con la^ correzione confrontiamo^ :^ p-value

dei test (^) con X corretto

se

p-value

< (^) Xcometto S. rifiuta^ Ho

h. = 1 -

(

RT

(

• 0

,

83)(

= 1

= 0 ,

15 = (^0)

,

85

994

ˆ ω

↭ X

→

y(X

→

X)

↑ 1

↭ (X

→

X)

↑ 1

X

→

y ↭ (X

→

y)

↑ 1

X

→

y

↭ (X

→ X)

↑ 1 X

→ X ↭ y

→ X(X

→ X)

↑ 1 ↭ y

→ X(X

→ y)

↑ 1

(X

→

X)

↑ 1

X

→

y

y t

= ω 0

• ω 1

x 1 t

• ω 2

x 2 t

N = 150

X

→

y

esercitazione

F

X