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Progettazione di Algoritmi Anno Accademico 2018–
Esercizi sulle Notazioni Asintotiche ed Analisi di Algoritmi.
Ugo Vaccaro
- Esercizio: In ciascuno dei seguenti casi, indicare se vale che f (n) = O(g(n)), oppure se f (n) =
Ω(g(n)), oppure valgono entrambe le condizioni (nel cui caso occorre indicare che f (n) =
Θ(g(n)). Non occorre giustificare le risposte.
(a) f (n) = n −
n, g(n) = 5n
(b) f (n) = 10n log n, g(n) = (n/2) 3
n
(c) f (n) = 5n + 10
n, g(n) = n − 10
n
(d) f (n) = n 3 / 2 − n, g(n) = 8n log n
(e) f (n) = 7 log n, g(n) = log n 3
(f) f (n) =
log n, g(n) = log
n
(g) f (n) = 6n 4
n, g(n) = n 4 − 4 n log n 2 − 8
n
(h) f (n) = n
- 01 , g(n) = n(log n) 3
(i) f (n) = 7 n , g(n) = 8 n
(j) f (n) = 3 log 2 n , g(n) = 2 log 3 n
(k) f (n) = n 4 n , g(n) = n!
(l) f (n) = 3 n+ , g(n) = 3 n− 3
(m) f (n) = n 5 n , g(n) = 6 n
(n) f (n) = n 2 − n 3 / 2 , g(n) = n 2 − n 2 / 3
(o) f (n) = log n 5 , g(n) = log
4 n
- Esercizio: Provare formalmente le seguenti affermazioni, esibendo le opportune costanti:
(a) 5n
n log n 2
(b) (n + 2) n = O( n /n).
- Esercizio: Date le seguenti funzioni
n log 5 n,
n log n, log n 5 , n log n , n 2 log n 2 , n n , n 4 , (log n) n , 10
n, n log
n, log 2 n, n 3
n, 10 log log n,
3 log n 2 , n!
ordinarle scrivendole da sinistra a destra in modo tale che la funzione f (n) venga posta a
sinistra della funzione g(n) se e solo se vale che f (n) = O(g(n)). Ad esempio, se le funzioni
fossero 3n 2 , 3 n , n log n,
n, log n, occorrerebbero scriverle nell’ordine log n,
n, n log n, 3 n 2 , 3 n .
- Esercizio: Date le seguenti funzioni:
n−
n, log(n!/ 2 n ) 4 , log log n 3 , n 2 +log n 2 , 3 n
n , n log 2 n , n!, 4 n 2 +n 6
n, 10 n+3 log log n, log log n,
5 n+2 log n+
n, log(n!), 5 · 2 n , n log(n+2) 3 , 5 n 2 +n log n+n 3 / 2 , 4 log n , n log(n+2) 3 , 4 n , n log
n,
partizionarle in insiemi disgiunti A 1 , A 2 ,... tali che entrambe le seguenti condizioni valgano
- f (n), g(n) ∈ Ai se e solo se f (n) = Θ(g(n))
- f (n) ∈ Ai, g(n) ∈ Aj , con i < j ⇐⇒ f (n) = O(g(n)) ma f (n) 6 = Θ(g(n))
- Esercizio: Per ciascuna delle seguenti coppie di funzioni f e g, trovare costanti opportune
c ∈ R+ per cui f (n) ≤ c · g(n), per ogni n > 1.
(a) f (n) = 3n 2
(b) f (n) = 2
n log n + 1, g(n) = n + n^2
(c) f (n) = n 3
(d) f (n) = n
n + 4n 2 , g(n) = n 2
(e) f (n) = 12n + 3, g(n) = n − 7
(f) f (n) = n 2 − n + 1, g(n) = n 2 / 10
(g) f (n) = 3n + 1, g(n) = (2n 2 − 10 n)/ 6
(h) f (n) = 5
n log n − 1 , g(n) = n −
n
- Esercizio: Sia g(n) = n + 2n 3 − 3 n 3 + 4n 4 . Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere
e quali sono false. E necessario provare le affermazioni che si ritengono vere, non `´ e necessario
provare le affermazioni che si ritengono false.
(a) g(n) = Ω(n log n)
(b) g(n) = Θ(n 5 )
(c) g(n) = O(n 10 )
(d) g(n) = Ω(n 4 )
- Esercizio: Sia g(n) = n log n + 2n 3 − 3 n 2 . Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere e
quali sono false. E necessario provare le affermazioni che si ritengono vere, non `´ e necessario
provare le affermazioni che si ritengono false.
(a) g(n) = O(n log n)
(b) g(n) = Ω(n 2 )
(c) g(n) = Θ(n 3 )
(d) g(n) = O(n 4 )
- Esercizio: Sia f (n) = 4n 2 + n + 3. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali sono
false, dando la dimostrazione di ogni affermazione.
- Esercizio: Date funzioni arbitrarie f : n ∈ N 7 → f (n) ∈ R+, g : n ∈ N 7 → g(n) ∈ R+ e
h : n ∈ N 7 → h(n) ∈ R+, provare che se f (n) = O(g(n)) e g(n) = O(h(n)), allora vale che
f (n) = O(h(n)), usando la definione di O.
- Esercizio: Date funzioni arbitrarie f : n ∈ N 7 → f (n) ∈ R+, g : n ∈ N 7 → g(n) ∈ R+ e
h : n ∈ N 7 → h(n) ∈ R+, provare che se f (n) = Ω(g(n)) e g(n) = Ω(h(n)), allora vale che
f (n) = Ω(h(n)), usando la definione di Ω.
Ricordiamo il seguente risultato per la risoluzione delle pi`u comuni equazioni di ricorrenza:
Teorema. La soluzione alla ricorrenza
T (n) =
d se n ≤ 1
aT (n/c) + bnk^ altrimenti
per a, c, b, k costanti, `e
T (n) =
O(n k ) se a < c k
O(n k log n) se a = c k
O(n logc a ) se a > c k
Nel caso in cui non si voglia (o non si possa) applicare il risultato di sopra, gli esercizi che
seguono si possono risolvere iterando la equazione di ricorrenza che descrive la complessit`a di tempo
dell’algoritmo e deducendo la soluzione.
- Esercizio: Si consideri il seguente algoritmo:
Algoritmo B(n)
- x = 1
- IF ((n == 1)||(n == 2) {
- x = x + 1
- } ELSE {
- Algoritmo B(n − 2)
- Algoritmo B(n − 2)
}
- FOR (i = 1, i < n + 1, i = i + 1){
- x = x + 1
}
Si derivi una equazione di ricorrenza che descrive la complessit`a di Algoritmo B(n), e la si
risolva, usando il metodo di iterazione.
- Esercizio: Si consideri il seguente algoritmo:
Algoritmo(n)
- IF (n <= 1){
- RETURN 0
- } ELSE {
- Algoritmo(n/2)
}
- x = 0; i = 0
- WHILE (x ≤ n) {
- x = x + 1
- i = i + 1
}
Si esprima la complessit´a di Algoritmo(n) mediante una equazione di ricorrenza e se ne dia
una soluzione in termini della notazione O.
- Esercizio: Si consideri il seguente algoritmo:
Algoritmo S(n)
- IF (n <= 1) {
- RETURN 0
- } ELSE {
- Algoritmo S(n/3)
- Algoritmo S(n/3)
}
- x = 0
- WHILE (x ≤ 3 n 3 ) {
- x = x + 3
}
Si derivi una equazione di ricorrenza che descrive la complessit`a di Algoritmo S(n), e la si
risolva in termini della notazione O.
- Esercizio: Si consideri il seguente algoritmo:
Algoritmo S(n)
- IF (n <= 1) {
- RETURN 0
- } ELSE {
- Algoritmo S(n/4)
- Algoritmo S(n/4)
}
- x = 0
- WHILE (x ≤ 9
n) {
- x = x + 3
}
Si derivi una equazione di ricorrenza che descrive la complessit`a di Algoritmo S(n), e la si
risolva in termini della notazione O.
