Esercizi di
Calcolo delle Probabilit`a
FOGLIO 4
Ricciuti Costantino
Variabili aleatorie doppie
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Esercizio 1
Siano XeYdue variabili aleatorie indipendenti, tali che Xha distribuzione uniforme tra
0 e 2, mentre Yha distribuzione esponenziale di parametro 1.
a) Trovare la densit´a congiunta f(x, y).
b) Calcolare la probabilit´a che Y
X<1
c) Calcolare il valore atteso e la varianza di X+ 3Y.
Esercizio 2
Siano XeYdue variabili aleatorie con densit´a congiunta
f(x, y) = (y e−xy e−yx≥0, y ≥0
0 altrove
a) Trovare le densit´a marginali di Xe di Y.
b) Stabilire se XeYsono indipendenti
b) Trovare la densit´a condizionata di Xdato Y=y.
d) Calcolare Pr{X > 1|Y > 1}.
Esercizio 3
Il vettore (X, Y ) ha distribuzione uniforme sul triangolo di vertici (0,0), (1,1) e (1,0)
a) Trovare le densit´a marginali e stabilire se XeYsono indipendenti.
b) Calcolare EXeEY
c) Calcolare la covarianza tra XeY
d) Trovare la distribuzione di Z=Y−X
Esercizio 4
Siano XeYdue variabili aleatorie indipendenti, entrambe con distribuzione esponenziale
di parametro 1.
a) Trovare la densit´a congiunta di (X, Y ).
b) Trovare la distribuzione di Z=X
Y
Esercizio 5
Siano XeYdue variabili indipendenti, ciascuna con distribuzione gaussiana standard.
a) Trovare la densit´a congiunta di (X, Y )
b) Sia P= (X, Y ) un punto del piano, distribuito secondo la densit´a trovata nel punto
precedente. Trovare la distribuzione di probabilit´a della distanza di Pdall’origine.
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