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COVARIANZA BIVARIATE DUE VARIABILI E CALCOLO COVARIANZA BIVARIATE DI DUE MUTABILI E COEFFICIENTE CORRELAZIONE
COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE RO=P
ore valutazione 1250 2000 3250 2500--| 4000 1 53 3 36 10 2 48 10 92 9 6 28 5 39 10 94 18 12 --| 24 1 6 13 20 4 75 43 44 20 107 8 85 2 54 7 78 1 47 E [x,y] = 18049. 4 79 5 74 E [x] = 7. E [y] = 1932. E [x,y] = 428.000 MEDIA XY COV [X,Y] = 2609. E [x] = 5.200 MEDIA DI X E [y] = 73.100 MEDIA DI Y E [X^2] = 94. COV [X,Y] = 47.8800 E [XY] – E [X] * E[Y] E [Y^2] = 4247079. Y:Stipendio netto mensile (euro) X: Numero giorni vacanza
SOMMA DI OGNI MODALITA’ PER
VALORE CENTRALE DI CLASSE DI
X E DI Y DIVISO IL COLLETTIVO
MEDIA DELLE RIGHE MOLTIPLICANDO LE
FREQUENZE MARGINALI DELLE RIGHE
PER OGNI VALORE CENTRALE DELLE
RIGHE IL TUTTO DIVISO IL COLLETTIVO
MEDIA DELLE COLONNE MOLTIPLICANDO
LE FREQUENZE MARGINALI DELLE
COLONNE PER OGNI VALORE CENTRALE
DELLE COLONNE IL TUTTO DIVISO IL
COLLETIVO
MEDIA DI XY – MEDIA DI X MOLTIPLICATO
MEDIA DI Y
VALORI CENTRALI CLASSI DELLE RIGHE
AL QUADRATO MOLTIPLICATO LE
FREQUENZE MARGINALI DI OGNI RIGA IL
TUTTO DIVISO IL COLLETTIVO
VALORI CENTRALI CLASSI DELLE
COLONNE AL QUADRATO MOLTIPLICATO
LE FREQUENZE MARGINALI DI OGNI
COLONNA IL TUTTO DIVISO IL
COLLETTIVO
E [X^2] = 37.6 MEDIA QUADRATICA DI X V [X] = 30.
E [Y^2] = 5588.5 MEDIA QUADRATICA DI Y V [Y] = 513516.
V [X] = 10.56 VARIANZA DI X RO [X,Y] = 0.
V [Y] = 244.89 VARIANZA DI Y
0.9415 GRADO DI DIPENDENZA LINEARE
MEDIA QUADRATICA DI X MENO LA MEDIA
DI X AL QUADRATO
MEDIA QUADRATICA DI Y MENO LA MEDIA
DI Y AL QUADRATO
COVARIANZA DI XY DIVISO LA RADICE
QUADRATA DELLA VARIANZA DI X PER LA
VARIANZA DI Y
RO [X,Y] = COV [XY] /
RADQ V[X] * V[Y]
COVARIANZA DI XY DIVISO LA RADICE QUADRATA DELLA VARIANZA
DI X PER LA VARIANZA DI Y
INDIPENDENZA STATISTICA CHI QUADRO DI PEARSON E V DI CRAMER
Y: Esami superati A: Genere 1 2 3 FREQ. MARGINALI Maschio 19 4 16 39 Femmina 45 29 90 164 64 33 106 203 CHI QUADRO DI PEARSON X^2 6. 203 COLLETTIVO[R-1] 406 COLLETTIVO[S-1] V DI CRAMER= RADICE QUADRATA DI CHI QUADRO DI PEARSON/MAX X^2 (SI PRENDE SEMPRE IL VALORE INFERIORE) V DI CRAMER= RADQ(3,172/203) 0.182 INTENSITA’ DI DUE VARIABILI STATISTICHE
MAX CHI QUADRO X^2 = MIN *
[COLLETTIVO * [R-1]
INDIPENDENZA IN MEDIA E VALUTAZIONE INTENSITA’ DELLA DIPENDENZA IN MEDIA DI DUE VARIABILI
X↓ Y→ 0 1 n i -1 1 3 4 0 5 2 7 1 0 5 5 6 10 16 E [Y|X=X1] = 0. E [Y|X=X2] = 0.2857142857 E [X|Y=1] = 0. E [Y|X=X3] = 1 MEDIA DELLE RIGHE MEDIA DELLE COLONNE E Y|X n i E Y|X n i E [Y|X = -1] = 0.750 4 E [X|Y = 0] = -0.167 6 E [Y|X = 0] = 0.2857142857 7 E [X|Y = 1] = 0.2 10 E [Y|X = 1] = 1 5 16 16 E [ E^2 Y|X] = 0.489 E [ E^2 X|Y] = 0. E [Y] = 0.625 (06+110)/16 E [x] = 0. V [E Y|X] = E [ E^2 Y|X] – E [Y]^2 0.0982 V [E X|Y] = E [ E^2 Y|X] – E [Y]^2 0. V [Y] = 0.2344 V [X] = 0. Il valore di η2Y|X è 0,0982/0,2344 0.4190 Il valore di η2X|Y è = 0. VARIANZA DI XY/VARIANZA DI Y
OGNI MODALITA’ DELLA 1° RIGA
MOLTIPLICATO I DUE DATI DELLA Y
DIVISO LA FREQ. MARGINALE DELLA
RIGA
OGNI MODALITA’ DELLA 2° COLONNA
MOLTIPLICATO OGNI DATO DELLA X
DIVISO IL COLLETTIVO
MEDIA QUADRATICA DELLE RIGHE
DIVISO IL COLLETTIVO
VARIANZA DI XY DIVISO LA
VARIANZA DI X
CALCOLO ETA QUADRO PER VALUTAZIONE INTENSITA’ DELLA DIPENDENZA IN MEDIA
A↓ Y→ 0 1 2 FREQUENZE MARGINALI
Vodafone 10 19 9 38 Tim 20 15 7 42 Wind 21 23 28 72 51 57 44 152 Vodafone 0.97368 (100+191+92)/ Tim 0.69048 (200+151+72)/ Wind 1.09722 (210+231+282)/ E [Y^2|A] = 0.93902 (0,9736838+0,6904842+1,0972272)/ E [Y] = 0.95395 (051+157+244)/ V [Y] = 0.62288 (0^251+1^257+2^244)/152-0,95395^ V [E Y|A] = 0.02900 0,93902/0,95395^2 E [Y^2|A] – E[Y]^ Il valore di η2Y|A è 0.04656 0,02900/0,62288 V [E Y|A] / V [Y]
CALCOLO ETA QUADRO PER VALUTAZIONE INTENSITA’ DELLA DIPENDENZA IN MEDIA
B: Giudizio Performance A: Titolo di Studio Bassa Media Alta FREQ. MARGINALI Licenza media inferiore 75 22 10 107 (^6 71 8 ) Laurea e oltre 24 22 13 59 FREQ. MARGINALI 105 115 31 251 COLLETTIVO CHI QUADRO DI PEARSON X^2 93. MAX CHI QUADRO X^2 502 251[3-1] 502 251[3-1] V DI CRAMER= RADICE QUADRATA DI CHI QUADRO DI PEARSON/MAX X^2 (SI PRENDE SEMPRE IL VALORE INFERIORE) V DI CRAMER= 0.431 INTENSITA’ MEDIO BASSA DELLA DIPENDENZA STATISTICA Licenza di scuola media superiore COLLETTIVO CHE MOLTIPLICA SOMMA DI OGNI NUMERO ELEVATO ALLA SECONDA DIVISO FREQ. MARGINALE DEL RIGO* FREQ. MARGINALE DELLA COLONNA – 1 COLLETTIVO(NUMERO RIGHE-1) COLLETTIVO(NUMERO COLONNE-1)
Modalità xi Frequenza ni 6 2 7 1 8 2 9 1 10 1 Totale 7 7.838 RADICE QUADRATA DELLA SOMMA DELLE MODALITA’ AL QUADRATO PER LE LORO FREQUENZE DIVISO IL COLLETTIVO Numero di vani xi Frequenza ni Wi (valore centrale classi) 11 2 3 -| 5 41 4 19 6. 7 9. 2 13 Totale 80 35 MEDIA DI X = E [X] 5.025 SOMMA DEL VALORE CENTRALE DI UNA CLASSE MOLTIPLICATO PER LA SUA FREQUENZA DIVISO IL COLLETTIVO CHE E’ IL TOTALE DELLE FREQUENZE (ni) SOMMA DEGLI SCARTI DALLA MEDIA ARITMETICA E’ SEMPRE = 0 xi xi−E[X] 4 1.75 MEDIA DI X= E [X] 2.
SOMMA DI OGNI MODALITA’ DI X DIVISO IL COLLETTIVO
3 0.75 SOMMA DEGLI SCARTI DELLA MEDIA E’ OGNI MODALITA’ MENO LA MEDIA
Totale 0
M2 MEDIA
QUADRATICA =
FREQUENZE TEORICHE
B = nazionalità A = sesso Italiana Straniera ni• Femmina 22 7 29 Maschio 6 22 28 n•j 28 29 57 N 11 14.246 FREQUENZA MARGINALE DEL 1° RIGO MOLTIPLICATO FREQUENZA MARGINALE DELLA 1° COLONNA DIVISO IL COLLETTIVO N 12 14.754 (^) FREQUENZA MARGINALE DEL 1° RIGO MOLTIPLICATO FREQUENZA MARGINALE DELLA 2° COLONNA DIVISO IL COLLETTIVO N 21 13.754 FREQUENZA MARGINALE DELLA 1° COLONNA MOLTIPLICATO FREQUENZA MARGINALE DEL 2° RIGO DIVISO IL COLLETTIVO N 22 14.246 FREQUENZA MARGINALE DELLA 2° COLONNA MOLTIPLICATO FREQUENZA MARGINALE DEL 2° RIGO DIVISO IL COLLETTIVO CONTINGENZE c11 = n11−n11 = 7.754 22-14,246 C11+C21 = 0 c12 = n12−n11 = -7.754 7-14, c21 = n21−n21 = -7.754 6-13, c22 = n22−n21 = 7.754 22-14, 0
MINIMI QUADRATI E RETTA DI REGRESSIONE
Y: Voto finale 84 58 57 86 77 61 62 66 63 92 8 3 3 6 7 4 3 4 2 10 b. Calcolare i parametri della retta di regressione Y=a0+a1•X. MEDIA DI X = E [X] = 5 (8+3+3+6+7+4+3+4+2+10)/ M^2 media quadratica X= 31.2 (8^2+3^2+3^2+6^2+7^2+4^2+3^2+4^2+2^2+10^2)/ V [X] = SIGMA^2 X = 6.2 31,2-5^ MEDIA DI Y = E [Y] = 70.6 (84+58+57+86+77+61+62+66+63+92)/ M^2 media quadratica Y= 5134.8 (84^2+58^2+57^2+86^2+77^2+61^2+62^2+66^2+63^2+92^2)/ V [Y] = SIGMA^2 Y = 150.44 5134,8-70,6^ MEDIA DI XY = E [XY] = 381.2 (848+583+573+866+777+614+623+664+632+9210)/ COV [X,Y] = MEDIA DI XY – MEDIA X * MEDIA Y = E[XY]-E[X]E[Y] = 28.2 381,2-570, COEFFICIENTE ANGOLARE A1 = COV [XY]/V[X] = 4.5484 28,2/6, TERMINE NOTO A0 = E[Y] – A1 * E[X] 47.8581 70,6-4,5484* X: Giorni di studio a. Costruire il diagramma a dispersione con il punteggio conseguito al test sull'asse delle ascisse ed il numero di contratti chiusi nel trimestre sull'asse delle ordinate.
MINIMI QUADRATI E RETTA DI REGRESSIONE
Scelto quale modello di regressione la retta Y=a0+a1•X, determinarne i parametri secondo il metodo dei minimi quadrati. MEDIA DI X = E [X] = 22. M^2 media quadratica X= 508. V [X] = SIGMA^2 X = 1. MEDIA DI Y = E [Y] = 637. M^2 media quadratica Y= 428540. V [Y] = SIGMA^2 Y = 21921. MEDIA DI XY = E [XY] = 14496. COV [X,Y] = MEDIA DI XY – MEDIA X * MEDIA Y = E[XY]-E[X]*E[Y] = 138. COEFFICIENTE ANGOLARE A1 = COV [XY]/V[X] = 118. TERMINE NOTO A0 = E[Y] – A1 * E[X] = -2022. Temperatura gornaliera ore 12 (C°)xα Fatturato giornaliero € yα
Infine si ottiene il coefficiente di determinazione R
b. Calcolare il coefficiente di correlazione lineare al quadrato ρ2 e’ il Ro al quadrato RO^2 [X,Y] = [COV [XY] / RADQ V[X] * V[Y]]^2 0.
R2 = 1 MENO LA VARIANZA DEGLI SCARTI (SCARTI AL
QUADRATO DIVISO IL COLLETTIVO) DIVISO LA VARIANZA DI Y
IL 59% DELLA VARIABILITA’ DI Y E’ SPIEGATA DALLA RETTA Y CAPPELLO (DI
REGRESSIONE)
COVARIANZA DI XY AL QUADRATO DIVISO LA VARIANZA DI X PER LA
VARIANZA DI Y
REGRESSIONE LINEARE BONTA’ DI ADATTAMENTO P2=RO
48,445+4,651*X
X: Giorni di studio 9 7 4 6 10 2 1 8 2 1 Y: Voto finale 85 78 64 89 98 51 53 83 62 54 xα yα yα (scarti) MEDIA DEI RESIDUI (SCARTI) E’ NULLA = 0 9 85 90.304 -5.304 85-90, 7 78 81.002 -3.002 78-81, 4 64 67.049 -3.049 64-67, 6 89 76.351 12.649 89-76, 10 98 94.955 3.045 98-94, 2 51 57.747 -6.747 51-57, 1 53 53.096 -0.096 53-53, 8 83 85.653 -2.653 83-85, 2 62 57.747 4.253 62-57, 1 54 53.096 0.904 54-53, Calcolare la varianza dei residui con la media quadratica degli scarti diviso il collettivo
Calcolare la varianza di Y Calcolare la varianza di X Calcolare la varianza di XY E [Y] = media di Y 71.7 E [X] = media di X 5 Media di XY = E [XY] = 407. 5398.9 35.6 49. 258.01 10. La retta di regressione Y=a0+a1•X con i parametri stimati, sulla base dei dati rilevati, con il metodo dei minimi quadrati risulta essere:Y=a0+a1•X = yα= a0+a1•xα = 48,445+4,651•X MEDIA QUADRATICA DEGLI SCARTI SOMMA DI OGNI YA^2 DIVISO IL COLLETTIVO= E [Y^2] = media quadratica di Y E [X^2] = media quadratica di X
COV [X,Y] = E [XY] – E
[X] * E[Y]
V [Y] = media quadratica
- media al quadrato V [X] = media quadratica – media al quadrato
REGRESSIONE LINEARE BONTA’ DI ADATTAMENTO P2=RO
Fatturato giornaliero (€)yα 22.2 582 21.8 492 22.8 679 23.7 727 24 823 20.8 429 a. Valutare la bontà di adattamento della retta ai dati calcolando il coefficiente di determinazione R b. Calcolare il coefficiente di correlazione lineare al quadrato ρ2. xα yα yα (scarti) MEDIA DEI RESIDUI (SCARTI) E’ NULLA = 0 22.2 582 579.644 2. 21.8 492 531.236 -39. 22.8 679 652.256 26. 23.7 727 761.174 -34. 24 823 797.48 25. 20.8 429 410.216 18. Calcolare la varianza dei residui con la media quadratica degli scarti diviso il collettivo
Calcolare la varianza di Y Calcolare la varianza di X Calcolare la varianza di XY E [Y] = media di Y 622 E [X] = media di X 22.55 Media di XY = E [XY] = ### La tabella sottostante riporta, nella prima colonna, le temperature giornaliere registrate alle ore 12 nei primi 6 giorni del mese di maggio 2014 in una località della riviera ligure e, nella seconda colonna, il fatturato degli stessi giorni di un bar gelateria locale. Temperatura gornaliera ore 12 (C°)xα La retta di regressione Y=a0+a1•X con i parametri stimati, sulla base dei dati rilevati, con il metodo dei minimi quadrati risulta essere:Y=a0+a1•X = −2107,00+121,02•X yα= a0+a1•xα = - 2107,00+121,02•X MEDIA QUADRATICA DEGLI SCARTI SOMMA DI OGNI YA^2 DIVISO IL COLLETTIVO=
Infine si ottiene il coefficiente di determinazione R
b. Calcolare il coefficiente di correlazione lineare al quadrato ρ2 e’ il Ro al quadrato RO^2 [X,Y] = [COV [XY] / RADQ V[X] * V[Y]]^2 0. E [Y^2] = media quadratica di Y E [X^2] = media quadratica di X
COV [X,Y] = E [XY] – E
[X] * E[Y]
V [Y] = media quadratica
- media al quadrato V [X] = media quadratica – media al quadrato R2 = 1 MENO LA VARIANZA DEGLI SCARTI (SCARTI AL QUADRATO DIVISO IL COLLETTIVO) DIVISO LA VARIANZA DI Y
IL 96% DELLA VARIABILITA’ DI Y E’ SPIEGATA DALLA RETTA Y CAPPELLO (DI
REGRESSIONE)
COVARIANZA DI XY AL QUADRATO DIVISO LA VARIANZA DI X PER LA
VARIANZA DI Y
