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Esercitazioni di Matematica Generale A.A. 2016/ Pietro Pastore Lezione del 4 Novembre 2016
Trinomi di secondo grado
Possiamo usare le soluzioni dell'equazione di secondo grado per scomporre il trinomio ax^2 bx + c nel prodotto di due binomi di primo grado cos costruito
a(x x 1 )(x x 2 ).
Esempio: scomporre il trinomio x^2 7 x + 12. Determiniamo le soluzioni dell'equazione associata al trinomio
x^2 7 x + 12 = 0
∆ = ( 7)^2 4(1)(12) = 49 48 = 1
soluzioni reali e distinte uguali a
x 1 / 2 = ( 7)^
p 1 2 =
x 1 = 4 x 2 = 3
Percio la scomposizione sara (x 4)(x 3). Osserviamo che se l'equazione non ha soluzioni il trinomio non e scomponibile. Possiamo utilizzare tale regola nelle equazioni fratte. Risolviamo ad esempio la seguente equazione:
x + 2 x 3 +^
x 2 x 1 = 2^ ^
x^2 x^2 4 x + 3
Scomponiamo il denominatore dell'ultima frazione utilizzando la regola appena descritta. Risolviamo l'equazione associata
x^2 4 x + 3 = 0 ∆ = ( 4)^2 4(1)(3) = 16 12 = 4
x 1 / 2 = ( 4)^
p 4 2 =
x 1 = 3 x 2 = 1
percio la scomposizione sara (x 3)(x 1). Riscrivendo l'equazione si ha x + 2 x 3 +^
x 2 x 1 = 2^ ^
x^2 (x 3)(x 1) , troviamo le condizioni di esistenza 8 < :
x 1 ̸= 0 x 3 ̸= 0
x ̸= 1 x ̸= 3 e poi determiniamo il minimo comune denominatore (x 1)(x + 2) + (x 2)(x 3) (x 3)(x 1) =
2(x 3)(x 1) x^2 (x 3)(x 1) e continuando
(x 1)(x + 2) + (x 2)(x 3) = 2(x 3)(x 1) x^2 x^2 + 2x x 2 + x^2 3 x 2 x + 6 = 2(x^2 4 x + 3) x^2 2 x^2 4 x + 4 = 2x^2 8 x + 6 x^2 2 x^2 2 x^2 + x^2 4 x + 8x + 4 6 = 0 x^2 + 4x 2 = 0 ∆ = (4)^2 4(1)( 2) = 16 + 8 = 24 = 2^3 3 x 1 / 2 = ^4
p 23 3 2 =^
4 2 p 6 2 =
2( 2 p6) 2 =^ ^2
p
Le soluzioni trovate sono accettabili perche veri cano le condizioni di esistenza. Ulteriori esercizi consigliati:
- Scomporre i seguenti trinomi di secondo grado: (a) x^2 + 5x + 6 (b) 2x^2 5 x + 3 (c) x^2 7 x 18
- Risolvere le seguenti equazioni (a) (^) x (^2) + 5^5 x + 6 (^) x (^2 2) 4 = (^) x (^2 3) 9 (b) (^) x 2 x ^ 4 x^11 + 5 = (^) x + 1^2 (^) x ^2 .
cartesiano. Consideriamo la seguente disequazione:
x^2 5 x + 4 > 0.
Visto che a = 1 e quindi positivo, qualitativamente possiamo trovarci di fronte a una di queste situazioni:
(a) ∆ > 0 (b) ∆ = 0 (c) ∆ < 0
a seconda del segno del discriminante ∆ e cioe in base al numero di soluzioni dell'equazione di secondo grado associata. Percio andiamo a risolvere x^2 5 x + 4 = 0 per capire se la parabola attraversa oppure no l'asse.
x^2 5 x + 4 = 0 ∆ = ( 5)^2 4(1)(4) = 25 16 = 9
e quindi siamo nel primo dei tre casi in gura. Calcoliamo le soluzioni
x 1 / 2 = ( 5)^
p 9 2 =
x 1 = 4 x 2 = 1
Percio si ottiene il seguente gra co
1 4
Siamo interessati alla positivita del trinomio visto che nella disequazione abbiamo > 0 quindi la soluzione si trova laddove il gra co della parabola e al di sopra dell'asse e percio per i valori di x tali che x < 1 _ x > 4. Risolviamo la seguente disequazione
3 x^2 + 5x 9 < 0
In questo caso a = 3 quindi negativo, qualitativamente possiamo trovarci di fronte a una di queste situazioni:
(d) ∆ > 0 (e) ∆ = 0 (f) ∆ < 0
Percio andiamo a risolvere 3 x^2 +5x 9 = 0 per capire se la parabola attraversa oppure no l'asse.
3 x^2 + 5x 9 = 0 ∆ = 5^2 4( 3)( 9) = 25 108 = 83.
Quindi l'equazione non ammette soluzioni reali e la parabola non attraversa l'as- se(terzo caso in gura). Siamo interessati ai valori di x che rendono il trinomio negativo, ossia a quei valori per i quali la parabola si trova al di sotto dell'asse. In tal caso cio e sempre vero. La soluzione allora e 8 x 2 R. Risolviamo la seguente disequazione
x^2 14 x + 49 < 0.
Il coefficiente a e positivo quindi la parabola ha la concavita rivolta verso l'alto. Vediamo se attraversa l'asse x, quindi risolviamo l'equazione associata
x^2 14 x + 49 = 0 ∆ = ( 14)^2 4(1)(49) = 196 196 = 0
percio la parabola e tangente all'asse (ossia si intersecano in un solo punto) e tale valore e dato da x 1 = x 2 = 214 = 7.
Percio si ottiene il seguente gra co
e le soluzioni della disequazione sono i valori delle x per i quali essa si trova al di sopra dell'asse > 0 e quindi x < 1 _ x > 2. Andiamo adesso a controllare se le due disequazioni hanno in comune delle soluzioni e quindi costruiamo il seguente gra co del sistema
Dis. A Dis. B
dal quale si vede facilmente che le soluzioni comuni sono per i valori di x tali che x < 1 _ 2 < x < 3. Risolvere le seguenti disequazioni fratte:
- x x^ + 1+ 4 > 0. Bisogna studiare il segno di numeratore e denominatore. Con- viene studiare la positivita di entrambi e quindi
N x + 1 > 0 x > 1 D x + 4 > 1 x > 4 e, riportando i segni nel seguente gra co,
N
D
ND
si ottiene che l'insieme delle soluzioni della disequazione, ossia i valori della x per i quali la frazione risulta essere positiva, e x < 4 _ x > 1.
- x
(^2) 7 x + 12 x^2 5 x + 6 <^ 0. N x^2 7 x + 12 > 0 D x^2 5 x + 6 > 0
Sono disequazioni di secondo grado e quindi passiamo all'equazione asso- ciata in tutti e due i casi x^2 7 x + 12 = 0 ∆ = ( 7)^2 4(1)(12) = 49 48 = 1
x 1 / 2 = ( 7)^
p 1 2 =
x 1 = 4 x 2 = 3
x^2 5 x + 6 = 0 ∆ = ( 5)^2 4(1)(6) = 25 24 = 1
x 1 / 2 = ( 5)^
p 1 2 =
x 1 = 2 x 2 = 3
Le parabole in entrambi i casi attraversano l'asse e dai seguenti gra ci
3 4
(g) Numeratore
2 3
(h) Denominatore
si deduce quello del segno della frazione
N
D
ND
Si ottiene allora che l'insieme delle soluzioni della disequazione, ossia i valo- ri della x per i quali la frazione risulta essere negativa, e 2 < x < 3 _ 3 < x < 4.
Ulteriori esercizi consigliati:
- Risolvere le seguenti disequazioni: (a) x^2 2 x < 0 (b) 4x^2 4 x + 1 0
Risolviamo l'equazione e otteniamo 25 x^2 = (1 x)^2 25 x^2 = 1 + x^2 2 x x^2 x^2 + 2x + 25 1 = 0 2 x^2 + 2x + 24 = 0 x^2 + x + 12 = 0 ∆ = 1^2 4( 1)(12) = 1 + 48 = 49
x 1 / 2 = ^1
p 49 2 =^
x 1 = 3 x 2 = 4
Solamente x = 3 risulta accettabile perche veri ca x 1.
- 4x + p5 + 4x = 7 Isoliamo il termine con la radice e riscriviamo p5 + 4x = 4 x + 7.
Come per l'esercizio precedente dobbiamo risolvere il seguente sistema 8
< :
4 x + 7 0 5 + 4x = ( 4 x + 7)^2
Dalla disequazione otteniamo 4 x + 7 0 4 x 7 4 x 7 x 74. Risolviamo l'equazione e otteniamo 5 + 4x = ( 4 x + 7)^2 5 + 4x = 16x^2 + 49 56 x 16 x^2 + 60x 44 = 0 4 x^2 + 15x 11 = 0 ∆ = 15^2 4( 4)( 11) = 225 176 = 49
x 1 / 2 = ^15
p 49 8 =^
x 1 = 1 x 2 = ^228 =^114
Solamente x = 1 risulta accettabile perche veri ca x 74.
- p 5 x + 1 = p 2 x + 10. Bisogna imporre che uno dei due radicandi sia 0 prima di elevare al quadrato e quindi va risolto il seguente sistema 8 >< >:
2 x + 10 0 5 x + 1 = 2x + 10
Dalla disequazione si ottiene 2 x + 10 0 2 x 10 x 5.
Risolvendo l'equazione di primo grado si ha
5 x + 1 = 2x + 10 3 x = 9 x = 3,
che risulta accettabile perche x 5.
Ulteriori esercizi consigliati:
- p 1 x = 2
- p 3 x + 1 = p 2 x
- px + 4 x = 2
- 2 p x^2 + 3x + 4 = x + 4.
