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5/15/25, 9:40 PM ‘about:blank Esercizi Monti 6 7 8.9 10 Calcolo delle probabilità 9 6.11. Esercizi Esercizio 6.1. 11 60% dei lettori di una rivista è di sesso femminile e il 35% dei lettori è abbonato. In particolare il 20% dei lettori sono abbonati e di sesso femminile. Î) Qualè la probabilità che un lettore sia di sesso maschile? ii) Qualè la probabilità che il lettore non sia abbonato? ili) Qual è la probabilità che un lettore sia abbonato o sia di sesso femminile? iv) Qual è la probabilità che un lettore non sia abbonato e sia di sesso maschile? Esercizio 6.2. E' noto che l’abitudine al fumo e un elevato tasso di colesterolo nel sangue sono fattori di rischio per le patologie cardiache. Un cardiologo sa che la probabilità che un suo paziente fumi è 0.38, la probabilità che abbia un elevato tasso di colesterolo nel sangue è 0,65 e infine la probabilità che fumi e abbia un elevato tasso di colesterolo nel sangue è 0.22. Î Qual è la probabilità che un paziente sia esposto ad almeno uno dei due fattori dî rischio? ii) Qual è la probabilità che un paziente non sia esposto ad alcun fattore di rischio? Esercizio 6.3. L’80% dei visitatori di un portale raggiunge il sito web tramite un motore di ricerca, mentre i restanti visitatori conoscono l'indirizzo del sito. Il 15% dei visitatori chiede un preventivo, inoltre il 5% dei visitatori conoscono l'indirizzo del sito web © chiedono un preventivo. i) Qualè la probabilità che un visitatore conosca l'indirizzo del sito web? ii) Qual è la probabilità che un visitatore conosca l'indirizzo del sito web o chieda un preventivo? ili) Qual è la probabilità che un visitatore raggiunga il sito web tramite un motore di ricerca e non chieda un preventivo? 1/30 5/15/25, 9:40 PM ‘about:blank Esercizi Monti 6 7 8.9 10 120 Introduzione alla Statistica Esercizio 64. Un risparmiatore ha acquistato un titolo obbligazionario. Il rendimento di questo titolo è ancorato a un indice di rendimento del mercato italiano © a un indice di rendimento del mercato internazionale. Se almeno uno dei due indici non scende al di sotto di una soglia minima, stabilita nel contratto, il titolo obbligazionario assicura un rendimento annuale del 7%, altrimenti il rendimento si limiterà a coprire il tasso di inflazione. Il risparmiatore ritiene che la probabilità che l’indice italiano scenda al di sotto della soglia è pari al 0.10, mentre la probabilità che l’indice internazionale scenda al di sotto della soglia è 0.22. Infine la probabilità che entrambi si mantengano sopra la soglia è 0.86. Qual è la probabilità che il titolo dia un rendimento del 7%? Esercizio 6.5. In un mazzo di carte francese vi sono 52 carte, delle quali tredici sono di fiori e quattro sono assi. Si estrae una carta a caso dal mazzo. i) Qualè la probabilità che sîa di fiori? ii) Qualè la probabilità che sia un asso? Esercizio 6.6. Alla realizzazione di un progetto sull'ambiente collaborano cinque ricercatori universitari e otto dipendenti di un ente pubblico. Fra i ricercatori universitari due sono esperti in economia mentre gli altri sono competenti nelle scienze ambientali. Fra i dipendenti dell’ente pubblico quattro sono esperti in economia. AI termine del progetto si organizza un seminario per divulgare i risultati ed è quindi necessario scegliere il relatore. La scelta fra i partecipanti al progetto avviene a caso. i) Qualè la probabilità che sia un ricercatore universitario? iî) Qualè la probabilità che sîa un dipendente dell'ente pubblico? ili) Qualè la probabilità che sia un esperto in economia? iv) Qualè la probabilità che sia un ricercatore universitario esperto in economia? v) Qualè la probabilità che sia un ricercatore universitario oppure un esperto in economia? 2/30 5/15/25, 9:40 PM ‘about:blank Esercizi Monti 6 7 8.9 10 12 Introduzione alla Statistica Esercizio 6.11. Per essere assunto presso l'ufficio statistico di un ente pubblico un laureato deve sostenere sia una prova în statistica sia una prova în diritto amministrativo. La probabilità che superi la prima prova è 0.85, mentre la probabilità che superi la seconda prova è 0.38. Se gli esiti delle prove sono indipendenti, qual è la probabilità che il Jaureato sia assunto? Esercizio 6.12. Un fornitore ha imballato 200 batterie in due scatole, delle quali la prima ne contiene 120 e la seconda 80. Fra le batterie ve ne sono 10 difettose e il fornitore ne mette cinque per scatola. Il cliente proverà due batterie dalla prima scatola e una dalla seconda e se non sono difettose procederà al pagamento. Qual è la probabilità che l'affare si concluda? Esercizio 6.13. Un dado è truccato in modo tale che la probabilità sia proporzionale al numero di puntini su ciascuna faccia. i) Qual è la probabilità che lanciando tale dado si verifichi una faccia con un numero di puntini pari? ii) Qual è la probabilità che lanciando tale dado si verifichi una faccia con un numero di puntini dispari? fi). Qual è la probabilità che lncindo due dedi di questo tipo la somma dei puntini sia pari’ iv) Qual è la probabilità che "anciando due dadi dî questo tipo la somma dei puntini sia dispari? Esercizio 6.14. Il 70% dei libri di testo utilizzati presso un corso di Scienze Statistiche sono stampati in una tipografia convenzionata con l'università, mentre la parte restante è stampata presso case editrici nazionali. La probabilità che in una pagina di un libro vi sia un errore di stampa, dato che il libro è stato prodotto dalla tipografia, è 0.08; mentre la probabilità che vi sia un errore in una pagina di un libro, dato che è stato prodotto da una casa editrice, è 0.05 i Qual è a probabilità che in una pagina di un libro di testo vi sia un errore? ii) Qual è la probabilità che un libro sia stato stampato nella tipografia dato che è stato osservato un errore in una pagina? 4/30 5/15/25, 9:40 PM ‘about:blank Esercizi Monti 6 7 8.9 10 Calcolo delle probabilità 123 iii) Qual è la probabilità che un libro sia stato stampato da una casa editrice dato che è stato osservato un errore in una pagina? Esercizio 6.15. Un'azienda vinicola produce sia vino da tavola sia vino DOC. La sua produzione è distribuita attraverso due canali: il 65% è destinata ai supermercati e la parte restante alle enoteche. La probabilità che sia richiesto vino DOC, dato che l'ordine proviene da un supermercato, è 0.25; mentre la probabilità che sia richiesto vino DOC, dato che è un’enoteca a emettere l'ordine, è 0.80. i) Qualèla probabilità che sia richiesto vino DOC? fi) Qual è la probabilità che l'ordine provenga da un’enoteca dato che è stata richiesta la qualità DOC? ili) Qual è la probabilità che l’ordine provenga da un supermercato dato che è stata richiesta la qualità DOC? Esercizio 6.16. Un'azienda produce ceramica. Due ispettori del controllo di qualità classificano i pezzi prodotti in pezzi di buona qualità da distribuire sul mercato mediante una catena di negozi di lusso e pezzi di scarto da vendere a prezzo ridotto. Ciascun ispettore controlla metà della produzione. Può capitare che dei difetti sfuggano agli ispettori. In particolare la probabilità che il primo ispettore non si accorga di un difetto è 0.05, mentre la probabilità che il secondo ispettore non se ne accorga è 0.03. i Qual è la probabilità che un difetto sfugga all’ispezione sul controllo dî qualità? ii Qual è la probabilità che un pezzo difettoso erroneamente classificato come di buona qualità sia stato esaminato dal primo ispettore? ii) Qual è la probabilità che un pezzo difettoso erroneamente classificato come di buona qualità sia stato esaminato dal secondo ispettore? Esercizio 6.17. Un'azienda effettua vendite per corrispondenza con tre diverse modalità di pagamento: contrassegno, con conto corrente postale e con bonifico bancario. La probabilità che un cliente paghi contrassegno è 0.42 e la probabilità che paghi con bonifico 5/30 5/15/25, 9:40 PM ‘about:blank Esercizi Monti 6 7 8.9 10 1a Introduzione alla Statistica mentre applicando la (7.3) si ottiene 1 Var (Z)=—Var(X) =1. La standardizzazione risulta quindi particolarmente utile quando si vuole rendere la distribuzione indipendente dalla posizione e dalla scala. 0° 79 Esercizi Fsercizio 7.1. La ubella 74 riporta a finzione di probabilità del numero di errori di stampa nelle pagine dei libri tipografia. Si indichi con X la varitil casuale che descrive il numero di errori per pagina. î) Calcolare e rappresentare graficamente la funzione di ripartizione dix ii) Calcolare il valore atteso e la varianza di X. Tabella 7.4 - Funzione di probabilità del mumero di errori di stampa nelle pagine di libri stampati da una tipografia. Numero di Errori O 1 2 Probabilità 0952 0931 007 Esercizio 7.2. La tabella 7.5 riporta la funzione di probabilità del numero di carte di credito possedute dai clienti di un grande magazzino. Si indichi con X la variabile casuale che descrive il numero di carte di credito. i). Calcolare e rappresentare graficamente la funzione di ripartizione dix fi) Calcolare il valore atteso e la varianza di X. ela 7.5 Funzione di probabilità el numer di carte i ceioposeute dai clienti di un Carte di credito n TI 3 Probabilità 027 046 at 0.09 7/30 5/15/25, 9:40 PM ‘about:blank Esercizi Monti 6 7 8.9 10 Variabili casuali 18 Esercizio 7.3. La tabella 7.6 riporta la distribuzione del tasso di rendimento di un titolo. Sia X la variabile casuale che descrive il rendimento. i). Calcolare e rappresentare graficamente la funzione di ripartizione ix ii). Calcolare il valore atteso e la varianza di X. “Tabella 7.6 Funzione di probabilità del tasso di rendimento di un titolo. Rendimento 12 -0$ 13 25 40 Probabilità 005 0A 037 025 09 Esercizio 7.4. Una variabile casuale X assume valori {2/3,1,2} con probabilità P(X =) l/(32) i) Calcolare la funzione di probabilità. ii) Calcolare e rappresentare graficamente la funzione di ripartizione dix. ili) Calcolare il valore atteso e la varianza di X. Esercizio 7.5. Calcolare il valore atteso e lo scarto quadratico medio della variabile casuale che descrive il profitto del negoziante nell'esempio 7.2. Esercizio 7.6. Un libero professionista è incerto circa i suoi redditi lordi mensili. Egli può guadagnare 4500 euro con probabilità 0.30, oppure 3700 euro con probabilità 0.40 0, infine, può guadagnare 3000 euro. L'imposta sul reddito è proporzionale con un'aliquota media del 35%. Sia X la variabile casuale che descrive il reddito al netto dell’imposta. Calcolare il valore atteso e lo scarto quadratico medio di x Esercizio 7.7. Per acquistare un appartamento uno speculatore del settore immobiliare deve sostenere un costo di 500 mila curo. Egli può rivendere l'appartamento a 700 mila curo, a 550 mila curo o a 450 mila euro. La probabilità che lo rivenda a 700 mila euro è 0.24, mentre la probabilità che lo rivenda a 550 euro è 0.56. Sia X la variabile casuale 8/30 5/15/25, 9:40 PM ‘about:blank Esercizi Monti 6 7 8.9 10 ma Introduzione alla Statistica Var (0)= frvar (6) var) + + val x) = Il valore atteso di X è sempre 4 per qualunque n, invece la varianza si riduce all’aumentare del numero di variabili casuali. E possibile dimostrare, applicando la (8.7) e la (8.8), che se le variabili casuali X,,X,, .., X, hanno tutte la stessa media e la stessa varianza ma sono correlate con covarianza Cox X, X))=7, costante per qualunque i e j, il valore atteso di X è sempre 4 mentre la varianza è data da n-l n In alcune circostanze è utile calcolare il valore atteso e la varianza della somma di n variabili casuali indipendenti con la stessa media e la stessa varianza. Siano X,X,, .., X variabili casuali indipendenti tali che E[X]=% © Var(X,)=0? per qualunque i. La variabile casuale somma v-fxoea è una particolare combinazione lineare che si ottiene ponendo a,=1 per qualunque i. Applicando la (8.7) e la (8.9), si ha 12) EM] DLE = €19) Var (1) = $, Var(X) =. 8.7 Esercizi Esercizio 8.1. Una compagnia di assicurazioni ha due agenti, Rossi e Bianchi. Sia X una variabile casuale che assume valore 1 se un 10/30 5/15/25, 9:40 PM ‘about:blank Esercizi Monti 6 7 8.9 10 Variabili casuali doppie 18 potenziale cliente è stato contattato dall'agente Rossi e zero se è stato contattato dall'agente Bianchi. Sia Y una variabile casuale che assume valore 1 se la persona contattata sottoscrive una polizza e zero in caso contrario. La funzione di probabilità congiunta di X e Y è riportata nella tabella 8.8. i) Calcolare le funzioni di probabilità marginali. fi) Calcolare le funzioni di probabilità condizionate di Y, per X 0 e X =1, e confrontarle. iii) Calcolare la funzione di probabilità congiunta che si avrebbe in caso di indipendenza. E' possibile affermare che le due variabili casuali sono indipendenti? ‘Tubella 8.8 Distribuzione di probabilità congiunta di X e Y nell'esercizio 8.1. Y x 0 1 O 023 dI n 034 030 Esercizio 8.2. In una facoltà vi sono due corsi di laurea: Economia € Statistica. L’80% dei laureati conseguono il titolo in Economia. La probabilità che un laureato di questa facoltà trovi lavoro nell’arco di un anno dalla laurea è 0.60, mentre la probabilità che un laureato consegua il titolo in Statistica e trovi lavoro nell’arco di un anno è 0.15. Sia X una variabile casuale che assume valore 1 se un laureato consegue il titolo in Statistica e zero se consegue il titolo in Economia. Sia Y una variabile casuale che assume valore 1 se un Jaureato trova lavoro nell'arco di un anno e zero altrimenti. i) Determinare la funzione di probabilità congiunta di X e Y. )) Verificare se le variabili casuali X e Y sono indipendenti. ili) Calcolare le funzioni condizionate di Y, per X=0 e X confrontarle. se Esercizio 8.3. Un funzionario di un’azienda addetto al reclutamento del personale sottopone i candidati ad un test attitudinale , se questo è superato, ad un colloquio finalizzato ad accertare la preparazione professionale. Egli ha osservato che gli esiti sono tendenzialmente diversi per i candidati che hanno una precedente esperienza di lavoro rispetto a coloro che sono alla ricerca del primo 11/30 5/15/25, 9:40 PM ‘about:blank Esercizi Monti 6 7 8.9 10 Variabili casuali doppie im Î) Calcolare le funzioni di probabilità marginali. ii) Calcolare valori attesi condizionati della Y, per e confrontarli con il valore atteso marginale, commentando i risultati. iii) E' possibile affermare che le due variabili casuali sono indipendenti? Esercizio 8.5. La tabella 8.3 riporta la funzione di probabilità congiunta delle variabili X e Y dell’esempio 8.2. La X assume valore 1 se uno studente ha seguito il corso e 0 altrimenti e la Y rappresenta il punteggio ottenuto al singolo quesito. Calcolare i valori attesi condizionati della Y, per X= 0 e X=1, e confrontarli con il valore atteso marginale. Esercizio 8.6. Un'azienda vende i propri prodotti per corrispondenza. Fra gli articoli trattati vi sono sia detersivi sia prodotti per l’igiene personale. Sia X una variabile casuale che descrive il numero di detersivi richiesti in ciascun ordine e Y una variabile casuale che descrive il numero di prodotti per l’igiene personale richiesti in ciascun ordine. La funzione di probabilità congiunta è riportata nella tabella 8.10. Calcolare il coefficiente di correlazione e commentare il risultato. “Tabella 8.10 — Distribuzione di probabilità congiunta del numero di detersivi 00) e del numero di per l'igiene personale (Y) in ciascun ordine. Y x o 1 El 0 000 008 001 1 030 008 002 2 035 05 004 Esercizio 8.7. Il responsabile del servizio medico di un ente pubblico è interessato a studiare le abitudini dei dipendenti rispetto al fumo e all'alcool. A tal fine egli somministra a 500 dipendenti un questionario chiedendo loro se il numero medio di sigarette che fumano ogni giorno è 0 («non fumatori), circa 10 (=fumatori moderati) oppure circa 20 (-fumatori) e se la quantità di alcool che consumano per pasto 13/30 5/15/25, 9:40 PM Esercizi Monti 6 7 8.9 10 ‘about:blank 14/30 5/15/25, 9:40 PM Esercizi Monti 6 7 8.9 10 ‘about:blank 16/30 5/15/25, 9:40 PM Esercizi Monti 6 7 8.9 10 ‘about:blank 17/30 5/15/25, 9:40 PM Esercizi Monti 6 7 8.9 10 ‘about:blank 19/30 5/15/25, 9:40 PM Esercizi Monti 6 7 8.9 10 ‘about:blank 20/30 
