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Variabili Casuali: Distribuzioni di Probabilità, Valore Atteso e Varianza - Prof. Conti, Esercizi di Statistica
Una panoramica completa sulle variabili casuali, coprendo sia quelle discrete che continue. illustrando distribuzioni di probabilità, funzioni di massa e densità, valore atteso e varianza, il documento offre esempi pratici ed esercizi per una comprensione approfondita. vengono inoltre presentati concetti chiave come la funzione di distribuzione cumulativa e metodi per il calcolo di probabilità. Particolarmente utile per studenti universitari che affrontano corsi di statistica e probabilità.
Tipologia: Esercizi
2024/2025
1 / 24
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X
X
! P (!) X
T T T 1 / 8 3
T T C 1 / 8 2
T CT 1 / 8 2
CT T 1 / 8 2
T CC 1 / 8 1
CT C 1 / 8 1
CCT 1 / 8 1
CCC 1 / 8 0
X!
TTT TTC
TCC CCC
CCT
TCT
CTC
0
CTT
1 2 3
S
X
x (^) i P (X = x (^) i ) F (x (^) i ) 0 1 / 8 1 / 8 1 3 / 8 4 / 8 2 3 / 8 7 / 8 3 1 / 8 1 0 1 2 3
P(X = x)
x
F
0 1 2 3
P (X = 2) = 3 / 8
X
Y = 3 X + 2
Y
Y
P r(X = x)
P r(X = x) 0 8 x = 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5
X^5
x=
P r(X = x) = 1
P r(X = 0) + P r(X = 1) + P r(X = 2) + P r(X = 3) + P r(X = 4) + P r(X = 5) = 1
P r(X = 0) + 0.45 + 0.24 + 0.12 + 0.09 + 0.05 = 1 P r(X = 0) = 1 0. 45 0. 24 0. 12 0. 09 0 .05 = 0. 05
P r(X 2)
P r(X 2) = P r(X = 2) + P r(X = 3) + P r(X = 4) + P r(X = 5) = 0 .24 + 0.12 + 0.09 + 0.05 = 0. 5
P r(X 2) = 1 P r(X < 2) = 1 P r(X = 1) P r(X = 0) = 1 0. 45 0 .05 = 0. 5
μ = E(X) =
X^5
x=
x · P r(X = x)
= 0 · P r(X = 0) + 1 · P r(X = 1) + 2 · P r(X = 2)
- 3 · P r(X = 3) + 4 · P r(X = 4) + 5 · P r(X = 5) = 0 · 0 .05 + 1 · 0 .45 + 2 · 0 .24 + 3 · 0 .12 + 4 · 0 .09 + 5 · 0 .05 = 1. 9
2 = V ar(X) =
X^5
x=
(x μ) 2 · P r(X = x)
= (0 1 .9) 2 · P r(X = 0) + (1 1 .9) 2 · P r(X = 1) + (2 1 .9) 2 · P r(X = 2)
- (3 1 .9) 2 · P r(X = 3) + (4 1 .9) 2 · P r(X = 4) + (5 1 .9) 2 · P r(X = 5) = 3. 61 · 0 .05 + 0. 81 · 0 .45 + 0. 01 · 0 .24 + 1. 21 · 0 .12 + 4. 41 · 0 .09 + 9. 61 · 0. 05 = 1. 57
F (x) X x F (x) = P (X x) x p (^) i x (^) i x
F (x) = 0 ; F (x) = 0. 05 0 x < 1; F (x) = 0 .05 + 0.45 = 0. 50 1 x < 2; F (x) = 0 .05 + 0.45 + 0.24 = 0. 74 2 x < 3; F (x) = 0 .05 + 0.45 + 0.24 + 0.12 = 0. 86 3 x < 4; F (x) = 0 .05 + 0.45 + 0.24 + 0.12 + 0.09 = 0. 95 4 x < 5; F (x) = 0 .05 + 0.45 + 0.24 + 0.12 + 0.09 + 0.05 = 1 x 5;
X x (^) i y (^) i = 3 x (^) i + 2 Y
y (^) i 2 1 4 7 10 13 P (Y = y (^) i ) 0. 05 0. 45 0. 24 0. 12 0. 09 0. 05
Y
μ (^) Y = E(Y ) =
X
y (^) i · P r(Y = y (^) i ) = 2 ⇥ 0 .05 + ( 1) ⇥ 0 .45 + ( 4) ⇥ 0 .24 + ( 7) ⇥ 0 .12 + ( 10) ⇥ 0 .09 + ( 13) ⇥ 0. 05 = 3. 7
Y = aX + b Y
E(Y ) = aE(X) + b.
a = 3 b = 2
E(Y ) = 3 · 1 .9 + 2 = 3. 7.
0 1 2 3 4
x
p
F (x) =
0 x < 0
- 14 0 x < 1
- 31 1 x < 2
- 51 2 x < 3
- 74 3 x < 4 1 x 4
0 1 2 3 4
x
F
E(X) V ar(X)
x p(x) xp(x) x 2 p(x) 0 0. 14 0. 00 0. 00 1 0. 17 0. 17 0. 17 2 0. 20 0. 40 0. 80 3 0. 23 0. 69 2. 06 4 0. 26 1. 03 4. 11 t 1. 00 2. 29 7. 14
E(X) = 2. 29 V ar(X) = E(X 2 ) E(X) 2 = 7. 14 2. 29 2 = 1. 92
P (X 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) =
P (X < 2) = P (X = 0) + P (X = 1) =
P (X > 2) = P (X = 3) + P (X = 4) =
P (X > 2) = 1 P (X 2)
P (X > 2) = 1 0 .5143 = 0. 4857.
P (1 < X 3) = P (X = 2) + P (X = 3) =
P ( 1 < X 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3),
P ( 1 < X 3) = 1 P (X = 4) = 1
f (x)
(0, 2)
Z 1
f (x)dx =
Z 0
0 dx +
Z 1
0
xdx +
Z 2
1
(2 x)dx +
Z 1
2
0 dx
x x^ 2 2 (2^ ^ x)^ (2x^ ^
x 2 2 )
Z 1
f (x)dx = x 2 2
| 10 + (2x x 2 2
F (x) =
R (^) x 1 f^ (t)dt
F (x) =
0 x < 0 x 2 2 0 ^ x <^1 1 (2 x)^
2 2 1 ^ x <^2 1 x 2
0 < x < 1 Z (^) x
f (t)dt =
Z (^) x
0
tdt = x 2 2
1 < x < 2 Z (^) x
f (t)dt =
Z 1
0
tdt +
Z (^) x
1
(2 t)dt =
Z (^) x
1
(2 t)dt =
1 2
Z (^) x
1
2 dt
Z (^) x
1
tdt =
- 2(x 1) x 2 2
(2 x) 2 2
0.0 0.5 1.0 1.5 2.
x
F (x)
0 2 4 6 8
Binomiale (8,0.8)
x
p(x)
Bin(8, 0 .8)
P r(X 8 = 5) =
(0.8) 5 (0.2) (8 5)^ = 0. 1468
P r(X 8 = 8) =
− 4 − 2 0 2 4
N(0,1)
a
− 4 − 2 0 2 4
N(0,1)
b
−0.
− 4 − 2 0 2 4
N(0,1)
c
−0.46 2. − 4 − 2 0 2 4
N(0,1)
d
−1.
z = 0. 68 z = 0
P r( 0. 68 Z 0) = P r(0 Z 0 .68) = P r(Z 0 .68) P r(Z 0) = = F (0.68) F (0) = 0. 7517 0 .5 = 0. 2517 ,
P r( a Z 0) = P r(0 Z a) z = 0. 46 z = 2. 21 P r( 0. 46 Z 2 .21) = P r( 0. 46 Z 2 .21) = P r( 0. 46 Z 0) + P r(0 Z 2 .21) = P r(0 Z 0 .46) + P r(0 Z 2 .21) = F (0.46) + F (2.21) 2 ⇤ F (0) = = 0 .6772 + 0. 9864 1 = 0.6636;
z = 1. 28 P r( 1. 28 Z < + 1 ) = P r( 1. 28 Z 0) + P r(0 Z < + 1 ) = = P r(0 Z 1 .28) + P r(0 Z < + 1 ) = = P r(0 Z 1 .28) + P r( 1 < Z 0) = = P r( 1 < Z 0) + P r(0 Z 1 .28) = = P r( 1 < Z 1 .28) = = F (1.28) = 0. 8997.
x x
X ⇠ N (μ = 70000; = 8000)
Z =
X 70000
⇠ N (0; 1),
P r(X < 60000) = P r
X 70000
= P r
Z <
= P r(Z < 1 .25) = 0. 1056
P r(Z < q (^) Z ) = 0. 9 , q (^) Z ⇡ 1. 28
P r(Z > q (^) Z ) = 0. 9 , q (^) Z ⇡ 1. 28
q (^) Z ⇤ 8000 + 70000 = 1 , 28 ⇤ 8000 + 70000 = q (^) X = 59760.
X ⇠ N (μ = 100; = 20)
P r(X < 120) = P r
X 100
= P r
Z <
= P r(Z < 1) = 84.13%
P r(Z < q (^) Z ) = 0. 95 , q (^) Z ⇡ 1. 645
P r(Z < q (^) Z ) = 0 .95 = P r(Z ⇤ 20 + 100 < qZ ⇤ 20 + 100) = 0. 95 , , q (^) Z ⇤ 20 + 100 = q (^) X = 1. 645 ⇤ 20 + 100 = 132. 9.
1 2 3 4 5
x
1/(b
−a)=1/
0 5 10
0.^ 0.^ 0.^ 0.^ 0.^
x
F(x)
X (0, 10)
E(X) =
Z 1
xf (x)dx =
Z 10
0
x
dx =
x 2 2
V ar(X) =
Z 1
x 2 f (x)dx E(X) 2 =
Z 10
0
x 2
dx 25 =
x 3 3
F (6) =
Z 6
0
dx =
Z 6
0
dx =
x| 60 =
0 5 10
x
1/(b −a)=1/
0 5 10
0.^ 0.^ 0.^ 0.^ 0.^
x
(x−a)/(b
−a)=x/
− 4 − 2 0 2 4
x
dt(x, 24)
0 5 10 15 20
x
dchisq(x, 5)
- h(x)
- l(x)
F (x) =
0 x < 1
- 2 1 x < 2
- 3 2 x < 3
- 6 3 x < 4 1 x 4
(^01 2 3 4) x
P(X = x)
c(−0.04, 1.15)
1 2 3 4 x
1
FX(x)
●
●
●
●
1 p
n = 1 p = 0.2; 0.5; 0. 8 n p
n = 5 p = 0.2; 0.5; 0. 8 E(Z) = 0 V ar(Z) = 1 P (X 3)
μ
μ = 5, = 1
X Binomiale(n; p) 0 < p < 1
P r(x; n, p) = p(x) =
n x
p x^ (1 p) n x^ ; x = 0, 1 , ..., n
(p + q) n^ =
P (^) n k=
(^) n k
p k^ q n k X^ n
x=
n x
p x^ (1 p) n x^ = (p + (1 p)) n^ = 1 n^ = 1
E(X) =
X^ n
x=
xp(x) =
X^ n
x=
x
n x
p x^ (1 p) n x^ =
X^ n
x=
x
n x
p x^ (1 p) n x^ =
= p
X^ n
x=
x n(n 1)! x!(n x)!
p x ^1 (1 p) n x^ = np
X^ n
x=
x (n 1)! x(x 1)!(n x)!
p x ^1 (1 p) n x^ =
= np
X^ n
x=
(n 1)! (x 1)!(n x)! p x ^1 (1 p) n x^ = np
X^ n
x=
n 1 x 1
p x ^1 (1 p) n x^ =
= np
X^ n ^1
l=
n 1 l
p l^ (1 p) n ^1 l^ = np(p + (1 p)) n ^1 = np
(x 1 = l) (p + (1 p)) n ^1
V ar(X) =
X^ n
x=
(x E(X)) 2 p(x) =
X^ n
x=
(x np) 2
n x
p x^ (1 p) n x^ = np(1 p)
Binomiale(5; 0, 2)
0 1 2 3 4 5
0.^ 0.^ 0.^ 0.^
x
p(x)
0 1 2 3 4 5
0.^ 0.^ 0.^ 0.^ 0.^ 0.^
x
F(x)