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ALCUNI ESERCIZI SUL CALCOLO INTEGRALE
G. DI MEGLIO
Indice Introduzione 1
- Integrali Immediati 1
- Integrali che si Calcolano per Parti 3
- Integrali Razionali 4
- Integrali che si Calcolano per Sostituzione 8
- Integrali Impropri 10
- Calcolo Integrale 13 Appendice A. Tabelle di Integrali Fondamentali ed Immediati 25 Appendice B. Regole di Integrazione Indefinita e Definita 27 Appendice C. Integrazione di Funzioni Razionali 27 Riferimenti bibliografici 32
Introduzione In questi fogli, che accompagnano le mie note [DM1], sono proposti alcuni eser- cizi sull’integrazione indefinita, definita ed impropria. Lo spettro di tali esercizi, seppur ampio, non esaurisce tutte le possibili eventualità che si possono presentare nel Calcolo. È lasciato allo studioso lettore il compito di reperire e svolgere ulteriori esercizi^1 , qualora egli non si sentisse ancora padrone delle tecniche di integrazione indefinita elementare. Infine, nell’ultimo paragrafo sono proposti alcuni esercizi teorici sull’integrazione definita, i quali servono a prendere confidenza con la teoria svolta a lezione e le sue potenzialità.
Avvertenza: Nei presenti fogli, quando non è specificato altrimenti, i simboli a, b, λ, ω, p denotano numeri reali (con a, p 6 = 0 e λ, ω > 0 ) ed n denota un numero naturale ≥ 1.
- Integrali Immediati
Esercizio 1: I seguenti integrali si calcolano come integrali “della tabella” (cfr. Tabelle 1 e 2 ). ˆ √nax + b d x = n a(n + 1)
(1)^ √^ n(ax + b)n+1^ + C,
Date: 9 agosto 2018. (^1) Tali esercizi si trovano su un qualsiasi eserciziario di Analisi I, ivi compresi quelli consigliati a lezione, ed anche in rete. 1
2 G. DI MEGLIO
ˆ 1 √ nax + b d x = n a(n − 1)
(2)^ √^ n(ax + b)n−^1 + C, ˆ x
√n ax^2 + b d x =
n 2 a(n + 1) (3)^ √^ n(ax^2 + b)n+1^ + C,
ˆ x^2 √ nax (^3) + b d x = n 3 a(n − 1)
(4)^ √^ n(ax^3 + b)n−^1 + C, ˆ ee
px+px d x =
p ee
px (5) + C,
ˆ √n log x x
d x = n n + 1
n
(6) logn+1^ x + C,
ˆ logb^ x x
d x =
1 b+1 log
b+1 (^) x + C , se b 6 = − 1
log | log x| + C , se b = − 1
sinb(ωx) cos(ωx) d x =
1 ω(b+1) sin
b+1(ωx) + C , se b 6 = − 1 1 ω log^ |^ sin(ωx)|^ +^ C^ , se^ b^ =^ −^1
sin(ωx) cosb(ωx) d x =
− (^) ω(b^1 +1) cosb+1(ωx) + C , se b 6 = − 1 − (^1) ω log | cos(ωx)| + C , se b = − 1
sin^4 (ωx) cos^6 (ωx)
d x =
(10) tan^5 (ωx) + C, ˆ 1 cos^2 (ωx) n
tan(ωx)
d x =
n ω(n − 1)
n
(11) tann−^1 (ωx) + C,
ˆ 1 √ x^2 + ω^2
d x = settsinh
( (^) x ω
(12) + C,
x^2 − ω^2
d x = settcosh
( (^) x ω
(13) + C,
x √ x^4 + ω^2
d x =
settsinh
x^2 ω
(14) + C,
epx √ e^2 px^ − ω^2
d x =
p settcosh
epx ω
(15) + C,
setttanhb^
( (^) x ω
ω^2 − x^2
d x =
1 ω(b+1) setttanh
b+1 (^ x ω
- C , se b 6 = − 1 1 ω log^
∣setttanh ( (^) x ω
∣ (^) + C , se b = − 1
esetttanh(^
x ω ) ω^2 − x^2
d x =
ω
esetttanh(^
x (17) ω^ ) + C,
ˆ ep
√ax+b √ ax + b
d x =
ap ep
√ax+b (18) + C,
ˆ ep^ arctan(ax+b) 1 + (ax + b)^2
d x =
ap
(19) ep^ arctan(ax+b)^ + C,
ˆ 2 ax+b^ d x =
a log 2
(20) 2 ax+b^ + C, ˆ sin(ωx) πcos(ωx)^ d x = −
ω log π (21) πcos(ωx)^ + C,
ˆ √^ 1 − x 1 + x
d x = arcsin x +
(22) 1 − x^2 + C.
4 G. DI MEGLIO
ˆ sin(λx) cos(ωx) d x = −
λ^2 − ω^2
(35) ω sin(λx) sin(ωx)
+ C,
sin(λx) sin(ωx) d x =
λ^2 − ω^2
(36) ω sin(λx) cos(ωx)
− λ cos(λx) sin(ωx)
+ C,
cos(λx) cos(ωx) d x =
λ^2 − ω^2
(37) λ sin(λx) cos(ωx)
− ω cos(λx) sin(ωx)
+ C,
earcsin^ ωx^ d x =
2 ω earcsin^ ωx^
ωx +
1 − ω^2 x^2
(38) + C,
1 − x^2 d x =
x
1 − x^2 +
(39) arcsin x + C,
ˆ (^) √ x^2 + ω^2 d x =
x
x^2 + ω^2 +
ω^2 2
log
x +
x^2 + ω^2
(40) + C,.
[Suggerimento: In (39) e (40) si consiglia di integrare per parti con fattore diffe- renziale 1 ; inoltre, in (40) conviene far comparire al numeratore del nuovo integrale la derivata del radicando presente al denominatore; ciò consente di riottenere l’in- tegrale di partenza al secondo membro.]
Inoltre, provare che gli integrali (35)–(37) si possono ricondurre ad integrali imme- diati usando le formule di Werner della Trigonometria Elementare.
- Integrali Razionali
Esercizio 5: 1. Dopo aver verificato che ognuno dei polinomi di secondo grado elencati in seguito ha ∆ < 0 , usare la tecnica del completamento del quadrato per scrivere tali polinomi come somma di due quadrati:
(41) x^2 + 2x + 3, x^2 − 2 x + 5, x^2 + x + π,
2 x^2 +
2 x + 1, π^2 x^2 +
(42) 3 x + π^2 , e^4 x^2 − x + 2.
- Sfruttare la tecnica del completamento del quadrato per scomporre i seguenti polinomi di grado pari:
(43) x^4 + 4, x^8 − 1 , x^8 + π^8.
Esercizio 6: Calcolare i seguenti integrali di fratti semplici:
ˆ 1 x + 2
(44) d x = log |x + 2| + C, ˆ 1 2 x − 3
d x =
log
∣x^ −^
(45) ∣ + C,
x^2 + 2
d x =
arctan
x √ 2
(46) + C,
ESERCIZI SULL’INTEGRAZIONE 5 ˆ 1 x^2 + 2x + 3 d x =
arctan
x + 1 √ 2
(48) + C,
x x^2 + x + 3 d x =
log(x^2 + x + 3) −
arctan
2 x + 1 √ 11
(49) + C,
3 x + 2 2 x^2 + x + 1
d x =
log(2x^2 + x + 1) +
arctan 4 x + 1 √ 7
(50) + C.
Esercizio 7: Calcolare i seguenti integrali di funzioni razionali usando la tecnica di scomposizione in fratti semplici^2 :
ˆ x + 1 x^2 − 5 x + 6
(51) d x = −3 log |x − 2 | + 4 log |x − 3 | + C,
ˆ 1 x^2 − 2 x − 3
d x =
log
x − 3 x + 1
(52) ∣ + C,
x − 7 x^2 + 4x − 5
(53) d x = − log |x − 1 | + 2 log |x + 5| + C, ˆ 2 x − 1 3 x^2 + 7x + 2
d x = log |x + 2| −
(54) log | 3 x + 1| + C,
ˆ 1 4 x^2 − 8 x − 5
d x =
log
2 x − 5 2 x + 1
(55) ∣ + C,
2 x^2 − 3 x
d x =
log
2 x − 3 x
(56) ∣ + C,
2 x^3 + 3x d x =
log
x^2 2 x^2 + 3
(57) + C,
(x^2 − x + 1)(x^2 + x + 1)
d x =
log
x^2 + x + 1 x^2 − x + 1
arctan
x +
arctan
x −
+ C,
x^2 x^4 + 4 d x =
log
x^2 − 2 x + 2 x^2 + 2x + 2
arctan(x + 1) +
arctan(x − 1) + C,
(^2) Si ricordi che un polinomio di secondo grado non monico, cioé un polinomio del tipo ax (^2) +bx+c con a 6 = 1, avente ∆ = b^2 − 4 ac ≥ 0 può essere fattorizzato come: { a (x − x 1 ) (x − x 2 ) , se ∆ > 0 e x 1 6 = x 2 sono le radici del polinomio a (x − x 1 )^2 , se ∆ = 0 e x 1 = − 2 ba è l’unica radice del polinomio .
Inoltre, si ricordi che il Teorema di Ruffini garantisce che:
“Un polinomio p(x) è divisibile per x − α se e solo se α è radice di p(x) (cioè se p(α) = 0).”
In particolare, ciò implica che:
“Se p(x) ha coefficienti interi, α è intero e se p(x) si divide per x − α, allora α è un divisore del termine noto di p(x);”
pertanto, le radici intere di un polinomio a coefficienti interi vanno necessariamente ricercate tra i divisori del termine noto.
ESERCIZI SULL’INTEGRAZIONE 7
Esercizio 9: Calcolare i seguenti integrali di funzioni razionali con quoziente non nullo^4 : ˆ 3 x^3 + 7x^2 + 4x − 1 3 x^2 + 7x + 2
d x =
(68) x^2 + log |x + 2|
log | 3 x + 1| + C, ˆ 3 x^4 − 10 x^2 + 9x − 4 (x − 1)^2 (69) d x = x^3 + 3x^2 − x
x − 1
+ C,
x^6 − x^5 + 3x^4 − 2 x^3 + 3x^2 − 3 x − 1 (x + 1)(x^2 + 1)^2
(70) x^2 − 2 x + 3 log |x + 1|
− arctan x − x x^2 + 1
+ C,
3 x^7 + 7x^5 + 4x^3 − x 3 x^4 + 7x^2 + 2
d x =
x^4 +
(71) log |x^2 + 2|
log | 3 x^2 + 1| + C.
[Suggerimento: Nell’ultimo integrale, sarebbe opportuno fare una sostituzione prima di avventurarsi nella decomposizione dell’integrando.]
Esercizio 10: Siano p(x) e q(x) polinomi di grado ≥ 1.
Provare che la funzione f 1 (x) := p(x) · arctan q(x) è elementarmente integrabile in R.
Se q(x) non è ovunque ≤ 0 , provare che la funzione f 2 (x) := p(x) · log q(x) è elementarmente integrabile.
Se |q(x)| non è ovunque ≥ 1 , provare che la funzione f 3 (x) := p(x) · setttanh q(x) è elementarmente integrabile.
[Suggerimento: Per le ipotesi fatte su q, ogni funzione fk (k = 1, 2 , 3 ) è definita almeno in un intervallo della retta reale ed è ivi continua; ergo essa ha qualche pri- mitiva. Per mostrare che ogni primitiva è una funzione elementare basta integrare´ fk(x) d x per parti con fattore differenziale p(x).]
(^4) Ciò accade sempre quando il grado del numeratore è maggiore o tutt’al più uguale al grado del denominatore. Infatti, se f (x) = p p^12 ((xx)) con gr p 1 ≥ gr p 2 , l’algoritmo della divisione assicura l’esistenza di due polinomi q(x) ed r(x) che soddisfano le proprietà:
p 1 (x) = q(x) · p 2 (x) + r(x) gr q = gr p 1 − gr p 2 gr r < gr p 2
(tali polinomi sono chiamati, rispettivamente, quoziente e resto della divisione di p 1 per p 2 ) e ciò importa che:
f (x) = q(x) + r(x) p 2 (x) ,
con q(x) non identicamente nullo.
8 G. DI MEGLIO
Esercizio 11 (Integrale di Dalzell^5 ): Seguendo lo schema proposto qui di seguito, provare che 227 è una buona approssimazione di π per eccesso.
- Posto:
I(1) :=
0
x^4 (1 − x)^4 x^2 + 1
d x e J(1) :=
0
x^4 (1 − x)^4 d x ,
provare che I 1 > 0.
Calcolare esplcitamente I(1) sfruttando la scomposizione in fratti semplici e dimostrare che 227 è un’approssimazione per eccesso di π sfruttando il punto 1.
Mostrare che:
1 2
J(1) < I(1) < J(1)
e, calcolando esplicitamente J(1), ottenere delle stime per l’errore di approssima- zione 227 − π.
- Posto:
I(2) :=
0
x^8 (1 − x)^8 x^2 + 1
d x e J(2) :=
0
x^8 (1 − x)^8 d x
I(3) :=
0
x^12 (1 − x)^12 x^2 + 1
d x e J(3) :=
0
x^12 (1 − x)^12 d x ,
provare ad usare lo stesso schema precedente per ottenere approssimazioni di π e confrontare i risultati con quanto già acquisito nei punti 1 – 3. Le approssimazioni sono sempre per eccesso? Migliorano? Peggiorano? Descrivere la situazione e proporre qualche congettura per il caso generale, i.e. quello che coinvolge gli integrali:
I(n) :=
0
x^4 n(1 − x)^4 n x^2 + 1
d x e J(n) :=
0
x^4 n(1 − x)^4 n^ d x.
- Integrali che si Calcolano per Sostituzione
Esercizio 12: Con l’ausilio di opportune sostituzioni, calcolare i seguenti integra- li:
ˆ ex 1 + e^2 x^
(72) log(arctan ex) d x = arctan ex^ (log(arctan ex) − 1) + C,
ˆ e^2 x^ − 2 e^2 x^ − 9
d x =
x +
(73) log |e^2 x^ − 9 | + C,
(^5) Donald Percy Dalzell (1898 – 1988), matematico ed ingegnere inglese, impiegato alla Standard Telephone and Cables Company di Londra e proprietario di alcuni brevetti su cavi di comunicazioni elettriche.
10 G. DI MEGLIO
ˆ cos x sin x 1 + tan x
d x =
(87) sin 2x − cos 2x
− 2 log | cos x + sin x|
+ C.
Esercizio 13 (Integrali Abeliani^6 ): Alcuni integrali calcolati nell’Esercizio precedente si inquadrano in una tipologia più generale. Ogni integrale nella forma:
ˆ R(x, y) d x ,
in cui R è una funzione razionale dei suoi argomenti e le variabili x ed y sono legate da una relazione del tipo:
(88) p(x, y) = 0
con p polinomio di grado ≥ 1 , si chiama integrale abeliano associato alla curva algebrica di equazione (88). Ad esempio gli integrali:
ˆ R(x, 3
x) d x o
R(x,
x^2 + 2x + 2) d x
sono integrali abeliani associati, rispettivamente, alle curve y^3 − x = 0 ed x^2 − y^2 + 2 x + 2 = 0. Provare che se esistono due funzioni razionali ϕ(t) e ψ(t) tali che p(ϕ(t), ψ(t)) = 0 allora l’integrale abeliano
R(x, y) d x associato alla curva algebrica di equazione p(x, y) = 0 è razionalizzabile con le sostituzioni x = ϕ(t) e y = ψ(t). Trovare l’espressione dell’integrale
R(x, y) d x rispetto alla variabile ausiliaria t.
- Integrali Impropri
Esercizio 14: Usando l’opportuna definizione ed i metodi di integrazione noti, calcolare i seguenti integrali impropri:
+ˆ∞
0
1 + x^2
d x =
π 2
ˆ^ +∞
1
(1 + x^2 )^2 d x =
π − 2 8
2
1 + x^3
d x =
π 6
(91) log 3
ˆ^ +∞
0
x^3 e−x
2 d x =
(^6) Niels Henrik Abel (1802 – 1829), matematico norvegese.
ESERCIZI SULL’INTEGRAZIONE 11
ˆ^1
0
(93) log x d x = − 1
1
log x xα^
d x =
(α − 1)^2
(94) (α > 1 )
ˆ^1
0
log x xα^ d x = −
(α − 1)^2 (95) (α < 1 )
ˆ^ −^1
−∞
x^3 − x^2
(96) d x = log 2 − 1
ˆ^4
0
4 − x √ x(1 + x)^2
(97) d x = 2 + 3 arctan 2^7
0
4 − x √ x(1 + x)^2
d x = 3 π 2
ˆ^ +∞
−∞
x^4 + 5x^2 + 4
d x =
π 6
ˆ^ +∞
−∞
ex^ + a^2 e−x^
d x =
π 2 a
(100) (a > 0 )
log 2
e^2 x^ + ex^ + 1
d x = log
0
x e−sx^ d x =
s^2 (102) (s > 0 )
0
x^3 e−sx^ d x =
s^4
(103) (s > 0 )
0
cos(ωx) e−sx^ d x =
s s^2 + ω^2
(104) (s > 0 , ω ∈ R)
0
sin(ωx) e−sx^ d x =
ω s^2 + ω^2
(105) (s > 0 , ω ∈ R)^8
(^7) Si ricordi che arctan x + arctan(1/x) = π/ 2 per x > 0. (^8) Gli ultimi quattro integrali sono importanti, poiché definiscono la trasformata di Laplace unilatera delle funzioni x, x^3 , cos(ωx) e sin(ωx). Lo studio della trasformata di Laplace, uti- lissima nella risoluzione delle equazioni differenziali lineari, sarà affrontato nel corso di Metodi Matematici per l’Ingegneria.
ESERCIZI SULL’INTEGRAZIONE 13
f 3 (x) :=
x log^2 x
(113) in [1/ 2 , 1]
f 4 (x) :=
e−^1 /x
2
x^2 (x^2 + 1)
(114) in [− 1 , +∞[
f 5 (x) :=
x |x − 1 |α^ |x − 2 |β^
(115) in ]1, 3]
f 6 (x) :=
sin xβ xα^ |x − 1 |β^ (116) in ]0, 1[
f 7 (x) :=
1 − cos xα xβ^
(117) in ]0, +∞[
f 8 (x) :=
(ex
2 − 1)
√ 2
sin xα^ e^2 x^2
(118) in ]0, +∞[
f 9 (x) :=
arctan |x|α tanβ^ ( x 2 4 )^ |x
(119) (^2) − 1 | 1 /β in ] − 2 , 2[.
[Suggerimento: Sfruttare il Criterio dell’Ordine di Infinito/Infinitesimo ed i limiti notevoli.]
- Calcolo Integrale
Esercizio 19: Siano a < b ∈ R ed f : [a, b] → R la funzione definita ponendo:
f (x) :=
ˆ (^) b
a
|t − x| d t.
- Provare che f è continua in [a, b].
[Suggerimento: Si può calcolare esplicitamente il valore di f (x). Altrimenti, bi- sogna verificare che limx→x 0 f (x) = f (x 0 ) per ogni x 0 ∈ [a, b]: ciò si può fare sfruttando la disuguaglianza triangolare.]
- Provare che f è derivabile in ]a, b[.
[Suggerimento: Sfruttare l’espressione esplicita di f (x).]
- Determinare i punti di estremo assoluto e gli estremi assoluti di f in [a, b], cioè calcolare min [a,b]
f e max [a,b]
f ed i punti in cui tali valori sono assunti da f.
- Fornire un’interpretazione geometrica del valore della funzione f e del risultato di cui al punto 3.
Esercizio 20: Sia f : R → R continua in R.
1 Provare che se f è pari allora risulta: ˆ (^) a
−a
f (x) d x = 2
ˆ (^) a
0
f (x) d x
per ogni a > 0.
- Provare che se f è dispari allora risulta: ˆ (^) a
−a
f (x) d x = 0
14 G. DI MEGLIO
per ogni a > 0.
- Provare che se f è periodica di periodo T > 0 allora risulta: ˆ (^) x 0 +T
x 0
f (x) d x =
ˆ T
0
f (x) d x
per ogni x 0 ∈ R.
[Suggerimento: Usare appropriati cambiamenti di variabile e le proprietà dell’in- tegrale definito.]
Esercizio 21: Sia f : [a, b] → R una funzione continua in [a, b]. Provare che le tre condizioni seguenti sono equivalenti:
(i) f è identicamente nulla in [a, b];
(ii) esiste un punto x 0 ∈ [a, b] tale che:
∀x ∈ [a, b],
ˆ (^) x
x 0
f (t) d t = 0.
(iii) per ogni x 1 < x 2 ∈ [a, b] risulta: ˆ (^) x 2
x 1
f (t) d t = 0.
[Suggerimento: Provare le implicazioni (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (i). Per mostrare che (ii) ⇒ (iii) tenere presente la proprietà additiva dell’integrale; per dimostrare la (iii) ⇒ (i) procedere per assurdo.]
Esercizio 22: Sia f : [a, b] → R continua in [a, b].
- Dimostrare che il rettangoloide “generalizzato” Rf relativo ad f di base [a, b], cioè l’insieme:
Rf :=
(x, y) ∈ R^2 : a ≤ x ≤ b e f −(x) ≤ y ≤ f +(x)
è limitato e misurabile secondo Peano-Jordan.
[Suggerimento: Per la limitatezza, usare opportunamente il Teorema di Weier- strass. Per la misurabilità, notare che Rf è unione di Rf + e del simmetrico (rispetto all’asse x) del rettangoloide R−f − .]
2 Provare che Rf si può dividere in due parti di ugual misura usando una retta parallela all’asse delle ordinate.
[Suggerimento: Fissato x ∈ [a, b], la misura della parte di Rf a sinistra di x è uguale a
´ (^) x a |f^ (t)|^ d^ t^ (perchè?).^ Usare le proprietà della funzione integrale per stabilire che esiste un valore ξ in guisa che tale misura uguagli 12 m(Rf ).]
- Si può fare la stessa suddivisione usando rette con inclinazione qualsiasi? In altre parole, fissato m ∈ R, è vero che Rf si può dividere in due parti di ugual misura usando una retta con coefficiente angolare m?
Esercizio 23 (Teorema della Media Integrale Pesata): Siano f, w : [a, b] → R continue in [a, b] e w(x) ≥ 0 per ogni x ∈ [a, b].
16 G. DI MEGLIO
[Suggerimento: Fare un cambiamento di variabile nell’integrale definito per ri- condursi ai casi precedenti.]
Esercizio 27: Sia F : R → R la funzione definita ponendo:
F (x) :=
ˆ (^) x
0
et t^2 + 1
d t.
Verificare che F è strettamente monotòna in R.
Calcolare lim x→+∞ F (x) e provare che lim x→−∞ F (x) esiste finito e negativo.
[Suggerimento: L’integrale non è calcolabile elementarmente, quindi bisogna pro- cedere con cautela. Dato che per x ≥ 0 l’integrando ha minimo assoluto m > 0 (calcolarlo!), risulta F (x) ≥ mx; concludere invocando il Teorema del Confronto. D’altra parte, per x ≤ 0 l’integrando è minore di et, dunque F (x) ≥
´ (^) x 0 e
t (^) d t (per-
chè?); concludere usando il Teorema di Regolarità delle Funzioni Monotòne ed un calcolo esplicito.]
Provare che l’immagine di F è un intervallo del tipo ]α, +∞[, con α < 0. Quali sono le soluzioni dell’equazione F (x) = 0?
Mostrare che F è invertibile in R e calcolare esplicitamente la derivata di F −^1 in 0.
[Suggerimento: Usare il Teorema di Derivazione della Funzione Inversa ed il secondo risultato di cui al punto 3 .]
Esercizio 28 (Funzione Massimale): Sia f : [0, +∞[→ R una funzione conti- nua in [0, +∞[. Si definisca la funzione ϕ :]0, +∞[→ R ponendo:
ϕ(x) :=
x
ˆ (^) x
0
f (t) d t
(di modo che ϕ(x) coincide con la media integrale di f su [0, x]).
- Provare che ϕ è continua in ]0, +∞[ e che essa si può prolungare su 0 con conti- nuità. Supponendo che f sia regolare in +∞, mostrare che anche ϕ lo è ed ha lo stesso limite.
[Suggerimento: Usare il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale ed il Teore- ma di de l’Hôpital.]
- D’ora in avanti, indichiamo con ϕ il prolungameno continuo su [0, +∞[ della funzione definita in precedenza: tale funzione è usualmente detta funzione massi- male di Hardy. Provare che se f è crescente [risp. decrescente] in [0, +∞[, allora ϕ(x) ≤ f (x) [risp. f (x) ≤ ϕ(x)] in [0, +∞[.
[Suggerimento: Ricordare che f (x) = 1/x
´ (^) x 0 f^ (x) d^ t.]
ESERCIZI SULL’INTEGRAZIONE 17
- Provare che ϕ è derivabile in ]0, +∞[ e che essa è derivabile in 0 da destra solo se f lo è; calcolare ϕ′ +(0). Dimostrare che se f è monotòna in [0, +∞[, anche ϕ è monotòna in [0, +∞[ ed ha la stessa monotònia.
[Suggerimento: Sfruttare il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale per cal- colare ϕ′. Per la derivabilità in 0 , formare il rapporto incrementale e calcolarne il limite usando il Teorema di de l’Hôpital. Sfruttare il risultato di cui al punto 2 per analizzare il segno di ϕ′.]
- Provare che se f è derivabile due volte in ]0, +∞[, anche ϕ lo è. Inoltre, provare che se f è convessa [risp. concava] in [0, +∞[, allora anche ϕ lo è. È vero il viceversa?
[Suggerimento: Calcolare esplicitamente la derivata seconda ricordando il Teore- ma Fondamentale del Calcolo Integrale. Studiare il segno di ϕ′′. Per il viceversa, studiare cosa accade scegliendo f (x) = ax^4 + bx^3 , con a, b ∈ R.]
Esercizio 29: Sia f : R → R una funzione derivabile due volte in R tale che risulti:
f ′′(x) + f (x) = 0
per ogni x ∈ R.
- Dimostrare che f ′′^ è continua e che f è indefinitamente derivabile in R.
[Suggerimento: Usare la tecnica di bootstrap, tenendo presente che f ed f ′^ sono continue e derivabili in R.]
- Provare che se esiste un punto a ∈ R tale che f (a) = f ′(a) = 0, allora f (x) = 0 ovunque in R.
[Suggerimento: Moltiplicare la relazione f ′′(x) + f (x) = 0 per 2 f ′(x), integrare membro a membro l’uguaglianza ottenuta sull’intervallo di estremi a (fisso) ed x (variabile) e concludere.]
Esercizio 30: Sia f : R → R una funzione derivabile una volta in R. Provare che se f ′(x) ≥ f 2 (x) per ogni x ∈ R, allora f (x) ≤ 0 in tutto R.
[Suggerimento: Osservare che f è monotòna in R, dunque regolare in +∞; pro- vare che il limite l = lim x→+∞ f (x) deve essere nullo escludendo via via i casi (a)
l = +∞, (b) l > 0 e (c) l < 0 ; concludere. Per escludere (a), procedere per assurdo: supposto l = +∞, osservare che la fun- zione ϕ(x) := 1/f (x) sarebbe definita e derivabile in un intorno di +∞ e la sua derivata verificherebbe ϕ′(x) ≤ − 1 e dunque lim x→+∞ ϕ(x) = −∞, contro il fatto che lim x→+∞ ϕ(x) = 0.
Per escludere (b), osservare che intorno a +∞ si avrebbe f (x) > l/ 2 , quindi f ′(x) ≥ l^2 / 4 e lim x→+∞ f (x) = +∞ contro il fatto che l 6 = +∞.
L’eventualità (c) si esclude allo stesso modo.]
Esercizio 31 (Resto nella Forma Integrale): Siano f : I → R una funzione derivabile n + 1 volte in I con derivata n + 1-esima continua in I, x 0 un punto
ESERCIZI SULL’INTEGRAZIONE 19
- Calcolare F (ω) in corrispondenza delle funzioni:
f 1 (x) := e−|x|^ e f 2 (x) :=
1 , se − 1 ≤ x ≤ 1 0 , altrimenti
Esercizio 35 (Lemma Fondamentale del Calcolo delle Variazioni): Sia f : [a, b] → R continua in [a, b]. Provare che se risulta: ˆ (^) b
a
f (x) · g(x) d x = 0
per ogni funzione g : [a, b] → R continua in [a, b] con g(a) = 0 = g(b), allora è f (x) = 0 ovunque in [a, b].
[Suggerimento: Per assurdo, si supponga che risulti f (x 0 ) 6 = 0 almeno in un punto di ]a, b[; detto [x 0 − δ, x 0 + δ] un “piccolo” intorno di x 0 in cui f (x) conservi lo stesso segno di f (x 0 ), si consideri la funzione gδ definita per casi ponendo:
gδ (x) :=
0 , se a ≤ x ≤ x 0 − δ 2 δ (x^ −^ x^0 +^ δ)^ , se^ x^0 −^ δ^ ≤^ x^ ≤^ x^0 −^
δ 2 1 , se x 0 − δ 2 ≤ x ≤ x 0 + δ 2 − (^2) δ (x − x 0 − δ) , se x 0 + δ 2 ≤ x ≤ x 0 + δ 0 , se x 0 + δ ≤ x ≤ b
(il cui rettangoloide è costituito da un trapezio isoscele con base [x 0 − δ, x 0 + δ] ed altezza 1 ) e si mostri che gδ può essere usata come “test” nella uguaglianza integrale in ipotesi, ottenendo una contraddizione.]
Esercizio 36 (Disuguaglianza di Cauchy^10 –Schwarz^11 ): Siano f, g : [a, b] → R funzioni continue in [a, b]. Provare che:
ˆ (^) b
a
∣f (x)
∣g(x)
∣ (^) d x ≤
ˆ (^) b
a
f 2 (x) d x ·
ˆ (^) b
a
g^2 (x) d x ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
ˆ (^) b
a
f (x) · g(x) d x
b
a
f 2 (x) d x ·
b
a
g^2 (x) d x.
[Suggerimento: Basta provare la prima, poiché la seconda segue da essa sfrut- tando la disuguaglianza triangolare. Per la dimostrazione, osservare che la funzione (|f (x)| + λ|g(x)|)^2 è continua e non negativa in [a, b], cosicché risulta
´ (^) b a (|f^ (x)|^ + λ|g(x)|)^2 d x ≥ 0 per ogni λ ∈ R; riscrivere il primo membro come polinomio (di secondo grado) in λ e concludere esaminando il segno del discriminante ∆.]
Esercizio 37 (Disuguaglianze di tipo Sobolev^12 ): Sia f : [a, b] → R una funzione derivabile ed avente la derivata prima continua in [a, b].
(^10) Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857), matematico e fisico-matematico francese, pose la teoria dei limiti alla base del Calcolo Differenziale ed Integrale. (^11) Hermann Schwarz (1843 – 1921), matematico tedesco. (^12) Sergei Sobolev (1908 – 1989), matematico russo.
20 G. DI MEGLIO
- Provare che se f (a) = 0, allora valgono le disuguaglianze:
max [a,b]
|f | ≤
ˆ (^) b
a
|f ′(x)| d x ˆ (^) b
a
|f (x)| d x ≤
(b − a)^2 2 max [a,b]
|f ′|
[Suggerimento: Ricordare che si ha
´ (^) x a f^
′(t) d t = f (x) − f (a) (per il Teorema
Fondamentale del Calcolo Integrale) e sfruttare le proprietà dell’integrale definito.]
- Provare che se f (a) = 0 = f (b), la prima delle precedenti può essere “migliorata” come segue:
max [a,b]
|f | ≤
ˆ (^) b
a
|f ′(x)| d x.
[Suggerimento: Oltre al suggerimento precedente, tenere presente che f (x) =
−
´ (^) b x f^
′(t) d t ed usare la disuguaglianza triangolare per l’integrale].
Esercizio 38 (Disuguaglianza di Poincaré^13 ): Siano a < b ∈ R, f : [a, b] → R una funzione continua in [a, b], ivi derivabile con derivata prima anch’essa conti- nua in [a, b] ed:
f^ ˆ :=
b
a
f (x) d x =
b − a
ˆ (^) b
a
f (x) d x
la media integrale di f su [a, b].
- Provare che vale la seguente disuguaglianza: ˆ (^) b
a
|f (x) − fˆ | d x ≤ (b − a)
ˆ (^) b
a
|f ′(x)| d x.
[Suggerimento: Per il Teorema della Media Integrale, esiste ξ ∈ [a, b] tale che f^ ¯ = f (ξ), sicché l’integrando nel primo membro si può riscrivere come |f (x) − f¯ | =
|f (x) − f (ξ)| =
´ (^) x ξ f^
′(t) d t
∣; sfruttare la^ disuguaglianza triangolare per l’integrale,
poi integrare e concludere.]
- Provare che vale la seguente disuguaglianza: ˆ (^) b
a
|f (x) − fˆ |^2 d x ≤
(b − a)^2 2
ˆ (^) b
a
|f ′(x)|^2 d x.
[Suggerimento: Ragionando come sopra si trova |f (x) − fˆ |^2 =
´ (^) x ξ f^
′(t) d t
2 ;
sfruttare la disuguaglianza di Cauchy–Schwarz (cfr. Esercizio 36), poi integrare e concludere.]
Esercizio 39 (Un’Altra Caratterizzazione delle Funzioni Costanti in un Intervallo): Sia f : [a, b] → R una funzione continua. Se risulta: (^) ˆ b
a
f (x) · ϕ′(x) d x = 0
per ogni funzione ϕ : [a, b] → R di classe C^1 e con ϕ(a) = 0 = ϕ(b), allora f è costante in [a, b].
(^13) Henri Poincaré (1854 – 1912), matematico francese.
