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ESERCIZI
(Gli esercizi con (*) sono pi `u avanzati)
1. Calcolare il seguente integrale per parti
x log
x dx
2. Calcolare il seguente integrale per parti
x^3 e−x
2
dx
3. Calcolare il seguente integrale definito
1
6 x^2 − 4
x^3 − 2 x + 2
dx
4. Calcolare il seguente integrale definito
∫ (^) π
0
sen x cos x dx
5. Stabilire se il seguente integrale improprio `e convergente o meno. In caso lo sia,
calcolarne il valore. ∫
+∞ 3
x^4
x^5 + 1
dx
6. Idem per l’integrale improprio
−∞
ex^ cos x dx
7. (*) Data la funzione
f (x) =
e−|x|
x ∈ R
calcolare (se convergenti)
−∞
f (x) dx
−∞
x f (x) dx
−∞
x^2 f (x) dx
SOLUZIONI
- Posto f = log
x e g = x, abbiamo f ′^ = 1/( 2 x) e G = x^2 /2, da cui ∫ x log
x dx = x
2 2 log
x − 1 4
∫ x dx = x
2 2 log
x − x
2 8
- Posto f = x^2 e g = x e−x^2 , abbiamo f ′^ = 2 x e (usando la sostituzione u = −x^2 , da cui du = − 2 x dx) G(x) =
∫ x e−x 2 dx = −
∫ eu^ du = − eu 2
e−x^2 2 Segue ∫ x^3 e−x 2 dx = − x^2 e−x^2 2
∫ x e−x 2 dx = − x^2 e−x^2 2
e−x^2 2
e−x^2 2 (x^2 + 1 )
- Con la sostituzione u = x^3 − 2 x + 2 abbiamo du = ( 3 x^2 − 2 ) dx e dunque ∫ (^6) x (^2) − 4 x^3 − 2 x + 2 dx = 2
∫ (^) du u = 2 log u = 2 log(x^3 − 2 x + 2 )
L’integrale definito `e ∫ (^2) 1
6 x^2 − 4 x^3 − 2 x + 2 dx = 2
[
log(x^3 − 2 x + 2 )
] 2
1 =^2 (log 6^ −^ log 1) =^ 2 log 6^ (≈^ 3.58)
- Posto u = sen x, abbiamo du = cos x dx e ∫ sen x cos x dx =
∫ u du = u
2 2 = (sen^ x)
2 2 (l’integrale poteva anche essere svolto per parti). L’integrale definito `e ∫ (^) π 0
sen x cos x dx =
[
(sen x)^2
] π 0
- Posto u = x^5 , abbiamo du = 5 x^4 dx, da cui ∫ (^) x 4 x^5 + 1 dx = 1 5
u + 1 du = log(u^ +^1 ) 5 = log(x
Segue che ∫ (^) +∞ 0
x^4 x^5 + 1 dx = lim b→+∞
[
log(x^5 + 1 ) 5
]b
0
= lim b→+∞
log(b^5 + 1 ) 5 = +∞ Concludiamo che l’integrale non `e convergente.
Se invece x 6 0, `e f (x) = ex^ /2. Abbiamo
∫ (^0) −∞
f (x) dx =
∫ (^0) −∞
ex^ dx = (^) a→−lim∞
ea 2
Procedendo poi per parti come sopra si ottiene
∫ (^0) −∞
x f (x) dx =
∫ (^0) −∞
xex^ dx = (^) a→−lim∞
ea(a − 1 ) 2
e (^) ∫ 0 −∞
x^2 f (x) dx =
∫ (^0) −∞
x^2 ex^ dx = (^) a→−lim∞
ea(a^2 − 2 a + 2 ) 2
Dunque, tutti e tre gli integrali impropri sono convergenti e si ha
∫ (^) +∞ −∞
f (x) dx =
∫ (^0) −∞
f (x) dx +
∫ (^) +∞ 0
f (x) dx =
∫ (^) +∞ −∞
x f (x) dx = − 1 2
∫ (^) +∞ −∞
x^2 f (x) dx = 1 + 1 = 2
