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MATEMATICA GENERALE
Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF, EI, EISR
11 Febbraio 2004
Esercizio A (A1+A2+A3+A4+A5) B C D E (E1 + E2)
Punti (11=1+2+3+3+2) (6) (5) (4) (4=2+2)
ESERCIZIO A
Data la funzione:
f (x) = ln
2 x + 3
x
A1. determinare dominio, segno ed eventuali zeri di f :
Dom f (x) =
x ∈ R :
2 x + 3
x
La funzione si annulla per x = −3, `e positiva in (−∞, −3) ∪ (0, +∞) e negativa in
3 2
A2. calcolare i limiti necessari per capirne l’andamento:
lim x→±∞
f (x) = ln 2
lim
x→−
3 2
−
f (x) = −∞
lim x→ 0 +^
f (x) = +∞.
Le rette x = −
3 2
− e x = 0
sono asintoti verticali, mentre la retta y = ln 2 `e un asintoto orizzontale
( x → ±∞).
A3. determinare i valori di x per cui la funzione e crescente, i valori per cuie decrescente ed eventuali
punti di massimo o di minimo per f :
f
′ (x) =
2 x+ x
2 x − (2x + 3) 1
x^2
x (2x + 3)
La derivata prima non si annulla mai ed e sempre negativa. La funzionee sempre decrescente nel suo
dominio.
A4. determinare i valori di x per cui la funzione e concava, i valori per cuie convessa ed eventuali punti
di flesso;
f ”(x) = 3
(2x + 3) + 2x
x^2 (2x + 3)^2
4 x + 3
x^2 (2x + 3)^2
La derivata seconda non si annulla mai, `e positiva in (0, +∞) e negativa in
3 2
. La funzione
rivolge la concavit`a verso l’alto in (0, +∞) e verso il basso in
3 2
-6 -4 -2 2 4 6
2
4
6
y
x
A5. disegnare infine il grafico di f.
ESERCIZIO B
Calcolare il seguente integrale:
3
x
2 e
−x dx
3
x
2 e
−x dx =
3
x
x
2 e
−x
3
x^2 +
x
2 d
[
−e
−x
]
3
x^2 − x
2 e
−x
(2x) e
−x
x^2 − x
2 e
−x
x d
[
−e
−x
]
x^2 − x
2 e
−x − 2 x e
−x
e
−x dx =
3
x^2 − x
2 e
−x − 2 x e
−x − 2 e
−x
ESERCIZIO C
Dato il sistema:
x + y + z = 1
3 x + y = 4
2 x − z = 2
discuterne la compatibilit`a e, qualora sia possibile,
risolverlo.
Consideriamo la matrice dei coefficienti A
A =
il cui determinante vale
|A| =
Poich`e
∣ =^ −^2 = 0
la matrice dei coefficienti ha rango p = 2.
-1 1 2 3
1
2
y
x
lim x→ 1 −^
f (x) = lim x→ 1 −^
x
2 = 1
lim x→ 1 −^
f (x) = lim x→ 0 +^
(ln x + 1) = 1
Allora x = 1 e una singolarita eliminabile , ponendo f (1) = 1.
lim h→ 0 −
f (0 + h) − f (0)
h
= lim h→ 0 −
−(0 + h) − 0
h
lim h→ 0 +
f (0 + h) − f (0)
h
= lim h→ 0 +
(0 + h)
2 − 0
h
la funzione non `e derivabile in x = 0.
lim h→ 0 −
f (1 + h) − f (1)
h
= lim h→ 0 −
(1 + h)
2 − 1
h
= lim h→ 0 −
2 h + h
2
h
lim h→ 0 +
f (1 + h) − f (1)
h
= lim h→ 0 +
ln (1 + h) + 1 − 1
h
la funzione non `e derivabile in x = 1.
lim h→ 0 +
f (−1 + h) − f (−1)
h
= lim h→ 0 +
−(−1 + h) − 1
h
In x = −1 esiste solo la derivata destra.
E2. tracciare il grafico di f , vedendo i tre
tratti componenti come traslazioni di funzioni elementari
MATEMATICA GENERALE
Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF, EI, EISR
11 Febbraio 2004
Esercizio A (A1+A2+A3+A4+A5) B C D E (E1 + E2)
Punti (11=1+2+3+3+2) (6) (5) (4) (4=2+2)
ESERCIZIO A
Data la funzione:
f (x) = ln
3 x + 1
x
A1. determinare dominio, segno ed eventuali zeri di f :
Dom f (x) =
x ∈ R :
3 x + 1
x
La funzione si annulla per x = −
1 2 , `e positiva in^
1 2
∪ (0, +∞) e negativa in
1 2 ,^ −^
3 2
A2. calcolare i limiti necessari per capirne l’andamento:
lim x→±∞
f (x) = ln 3
lim x→− (^13)
−
f (x) = −∞
lim x→ 0 +^
f (x) = +∞.
Le rette x = −
1 3
− e x = 0
sono asintoti verticali, mentre la retta y = ln 3 `e un asintoto orizzontale
( x → ±∞).
A3. determinare i valori di x per cui la funzione e crescente, i valori per cuie decrescente ed eventuali
punti di massimo o di minimo per f :
f
′ (x) =
3 x+ x
3 x − (3x + 1) 1
x^2
x (3x + 1)
La derivata prima non si annulla mai ed e sempre negativa. La funzionee sempre decrescente nel suo
dominio.
A4. determinare i valori di x per cui la funzione e concava, i valori per cuie convessa ed eventuali punti
di flesso;
f ”(x) =
(3x + 1) + 3x
x
2 (3x + 1)
2
6 x + 1
x
2 (3x + 1)
2
La derivata seconda non si annulla mai, `e positiva in (0, +∞) e negativa in
1 3
. La funzione
rivolge la concavit`a verso l’alto in (0, +∞) e verso il basso in
1 3
Se consideriamo la matrice completa
(A|b) =
e se consideriamo il suo minore
allora la matrice completa ha rango p
′ = 3 e quindi il sistema `e impossibile.
ESERCIZIO D
Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando
brevemente le risposte:
D1. Assegnato un vettore v in R
3 , l’insieme dei suoi multipli `e un sottospazio vettoriale.
© V © F
Vero, in quanto `e la retta di direzione il vettore v.
D2. La derivata di una funzione pari `e dispari.
© V © F
Vero in quanto, per definizione
f (−x) = f (x) ⇒ −f
′ (−x) = f
′ (x)
e quindi la funzione f
′ (x) `e dispari.
ESERCIZIO E
Data la seguente funzione:
f (x) =
e
x se − 1 ≤ x < 0
x + 1 se 0 ≤ x < 1 √ 2 x − 1 se x > 1
E1. analizzare la continuita e la derivabilita di f
lim x→− 1 +^
f (x) = lim x→− 1 +^
e
x
e
f (−1) =
e
La funzione `e continua a destra in x = −1.
lim x→ 0 −^
f (x) = lim x→ 0 −^
e
−x = 1
lim x→ 0 −^
f (x) = lim x→ 0 +^
(x + 1) = 1
f (0) = 1
La funzione `e continua in x = 0.
-1 1 2 3 4
1
2
y
x
lim x→ 1 −^
f (x) = lim x→ 1 −^
(x + 1) = 2
lim x→ 1 −^
f (x) = lim x→ 0 +^
2 x − 1) = 1
Allora x = 1 e una singolarita non eliminabile e quindi non derivabile..
lim h→ 0 −
f (0 + h) − f (0)
h
= lim h→ 0 −
e
−(0+h) − 1
h
lim h→ 0 +
f (0 + h) − f (0)
h
= lim h→ 0 +
(h + 1) − 1
h
la funzione `e derivabile in x = 0.
lim h→ 0 +
f (−1 + h) − f (−1)
h
= lim h→ 0 +
−(−1 + h) − 1
h
In x = −1 esiste solo la derivata destra.
E2. tracciare il grafico di f , vedendo i tre
tratti componenti come traslazioni di funzioni elementari
-6 -4 -2 2 4 6
1
2
3
4
y
x
A5. disegnare infine il grafico di f.
ESERCIZIO B
Calcolare il seguente integrale:
4
x
2 ln xdx
4
x
2 ln xdx =
4
x
3
ln x d
[
x
3
]
4
x
3
x
3
ln x −
x
3
x
dx =
4
x
3
x
3
ln x −
x
3
ESERCIZIO C
Dato il sistema:
x − y + z = 0
2 x + 3y + 2z = 1
x − 2 y + z = 1
discuterne la compatibilit`a e, qualora sia possibile, risolverlo.
Consideriamo la matrice dei coefficienti A
A =
il cui determinante vale
|A| =
Poich`e
la matrice dei coefficienti ha rango p = 2.
-1 -0.5 0.5 1
-0.
1
y
x
-2 2 4 6
2
y
x
Se consideriamo la matrice completa
(A|b) =
e se consideriamo il suo minore
allora la matrice completa ha rango p
′ = 3 e quindi il sistema `e impossibile.
ESERCIZIO D
Assegnata la funzione:
h(x, y) =
y^2 + x^2 − 1 ln(y − x + 4)
E1. determinare il dominio K di h e disegnarlo:
Il dominio D della funzione `e D = A ∩ B , dove
A = {(x, y) ∈ R
2 : y
2
2 − 1 ≥ 0 }
B = {(x, y) ∈ R
2 : y − x + 4 > 0 }.
A `e la porzione di piano fuori del grafico della circonferenza x
2
2 = 1.
B `e la porzione di piano sopra il grafico della retta y = x − 4
lim x→ 1 −^
f (x) = lim x→ 1 −^
(3x + 1) = 4
lim x→ 1 −^
f (x) = lim x→ 1 +
2 x + 14 = 4
Allora x = 1 e una singolarita eliminabile , ponendo f (1) = 4.
lim h→ 0 −
f (0 + h) − f (0)
h
= lim h→ 0 −
e
3(0+h) − 1
h
lim h→ 0 +
f (0 + h) − f (0)
h
= lim h→ 0 +
[3(0 + h) + 1] − 1
h
la funzione `e derivabile in x = 0.
lim h→ 0 −
f (1 + h) − f (1)
h
= lim h→ 0 −
3(1 + h) + 1 − 4
h
lim h→ 0 +
f (1 + h) − f (1)
h
= lim h→ 0 +
2(1 + h) + 14 − 4
h
la funzione non `e derivabile in x = 1.
lim h→ 0 +
f (−1 + h) − f (−1)
h
= lim h→ 0 +
e
3(−1+h) −
1 e^3
h
e
3
In x = −1 esiste solo la derivata destra.
