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Correzione esercizi sulle rendite
Esercizio 1. Un investitore deposita presso una societ`a finanziaria 24 000 euro accor- dandosi per un tasso composto annuo del 7%.
a. Calcolare quale sar`a la somma nel deposito dopo 5 anni.
b. Se, dopo 10 anni dall’inizio dell’investimento, l’investitore inizia a prelevare alla fine di ogni anno 5 000 euro, dopo quanto tempo non sara piu possibile effettuare un prelievo di tale importo? Quanto tempo sar`a necessario attendere dopo l’ultimo prelievo affinch´e sia possibile prelevare altri 5 000 euro?
c. Qual e l’importo massimo che si puo prelevare ogni anno in modo da garantire un numero illimitato di prelievi?
Soluzione esercizio 1.
C = 24 000 euro, i = 7% (a) t = 5 anni,
M (t) = C · (1 + i)t
da cui M (5) = 24 000 · (1 + 0, 07)^5 = 33 661, 24 euro
(b) A = M (10) = 24 000 · (1 + 0, 07)^1 0 = 47 211, 63 euro
Rendita posticipata annua con R = 5 000 euro, quindi si tratta individuare il numero intero n∗^ tale che
n∗^ =
log
(R−i·A R
log(1 + i)
n∗^ =
log
5 000
log(1 + 0, 07)
= b 15 , 99 c = 15
quindi sara possibile effettuare15 prelievi annui di 5 000 euro ciascuno. Nel deposito, dopo i 15 prelievi, restera il seguente importo:
A · (1 + i)n
∗ − R · sn∗ (^) i = 47 211, 63 · (1 + 0, 07)^15 − 5 000 ·
(1 + 0, 07)^15 − 1
= 4 613, 27 euro
che effettivamente risulta < 5 000 euro. Per calcolare quanto tempo `e necessario attendere prima di poter prelevare nuovamente 5 000 euro, bisogna aspettare che l’importo residuo depositato in conto produca gli interessi necessari per raggiungere tale cifra. Quindi si tratta di risolvere la seguente equazione:
4 613, 27 · (1 + 0, 07)t^ = 5 000
da cui
t =
log (5 000/4 613, 27) log(1 + 0, 07)
= 1, 19 anni
(c) Rmax = i · A = 0, 07 · 47 211, 63 = 3 304, 81 euro
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Esercizio 2. a. Calcolare quale versamento quadrimestrale posticipato per 10 anni porta ad accumulare 30 000 euro, se il tasso d’interesse composto `e pari al 12% annuo.
b. Quale versamento quadrimestrale posticipato al tasso d’interesse composto del 12% annuo per 10 anni d`a diritto a ricevere per i 20 anni successivi una rata mensile di 800 euro?
c. Si supponga che il risparmiatore che ha costituito un capitale di 30 000 euro decida di prestare tale somma e preveda che questa venga restituita con 12 versamenti annuali posticipati, ciascuno di 3 000 euro. Qual `e il tasso legato a tale finanziamento?
Soluzione esercizio 2.
(a) (Risoluzione con rendite frazionate) Versamento quadrimestrale posticipato di im- porto R, n = 10 anni, m = 3 (numero di parti in cui `e diviso l’anno, 1 anno = 3 quadrimestri), M (10) = 30 000 euro, i = 12%.
R =
M (t) m · s (m) n i
3 · (^0) j,(3)^12 (1+0,12)
(^10) − 1 0 , 12 con j(3) = 3 · [(1 + 0, 12)^1 /^3 − 1] = 0, 1155
da cui R = 548, 46 euro.
(Risoluzione con rendite non frazionate) In alternativa N = 10 · 3 = 30 rate (3 all’anno per 10 anni) con tasso quadrimestrale i 1 / 3 = j(3)/3 = 0, 0385
R =
M (t) sN i 1 /m
s30 0, 0385
= 548, 46 euro
(b) i = 0, 12
(I) Prima rendita (II) Seconda rendita
Versamento post. quadrim. (m = 3) Prelievo post. mensile (m′^ = 12)
R =? quadrimestrale R′^ = 800 euro mensili
n = 10 anni → N = 30 n′^ = 20 anni → N ′^ = 20 · 12 = 240
MI = AII
(Risoluzione con rendite frazionate)
m · R ·
i j(m)
· sn i = m′^ · R′^ ·
i j(m′)
· an′ (^) i
con j(m) = j(3) = 0, 1155 , j(m′) = j(12) = 12[(1 + i)^1 /^12 − 1] = 0, 1139 ,
3 · R
(1 + 0, 12)^10 − 1
1 − (1 + 0, 12)−^20
Esercizio 3. a. Calcolare quale versamento mensile posticipato per 10 anni porta ad accumulare 16 000 euro, se il tasso d’interesse composto `e pari all’8% annuo.
b. Quale versamento mensile posticipato al tasso d’interesse composto dell’8% annuo d`a diritto a ricevere per i 10 anni successivi una rata mensile posticipata di 200 euro?
c. Nelle ipotesi del punto a. si supponga che, dopo i primi 5 anni, il tasso d’interes- se in base a cui si accumulano le rate pagate diventi dello 0, 7% mensile. Qual `e la misura della nuova rata da pagare mensilmente per arrivare a disporre del montante preventivato alla scadenza dei 10 anni?
Soluzione esercizio 3.
(Risoluzione con rendite non frazionate) (a) Versamento mensile posticipato di importo R, n = 10 anni, m = 12 (numero di parti in cui `e diviso l’anno, 1 anno = 12 mesi), M (10) = 16 000 euro, i = 8%. Quindi N = 10 · 12 = 120 (numero di versamenti mensili),
R =
M (t) sN i 1 /m
con tasso mensile i 1 / 12 = [(1 + 0, 08)^1 /^12 − 1] = 0, 0064
quindi
R =
(1+0,0064)^120 − 1 0 , 0064
= 89, 03 euro
(b) i = 0, 08
(I) Prima rendita (II) Seconda rendita
Versamento mens. post. (m = 12) Prelievo mens. post. (m′^ = 12)
R =? mensile R′^ = 200 euro mensili
n = 10 anni → N = 120 n′^ = 10 anni → N ′^ = 120
MI = AII
i 1 / 12 = 0, 0064 tasso mensile,
R · sN i 1 / 12 = R′^ · aN ′ (^) i 1 / 12
R ·
(1 + 0, 0064)^120 − 1
1 − (1 + 0, 0064)−^120
da cui R = 93, 02 euro.
(c) Dopo 5 anni i′^ = 0, 007 con M (10) = 16 000 euro. Per calcolare l’importo della nuova rata R′, dobbiamo, innanzitutto, calcolare qual `e il montante dato dai primi 5 anni da capitalizzare per il tempo restante (i successivi 5 anni, che sono 60 mesi) utilizzando il
nuovo tasso:
MR(10) = R · s 5 · 12 i 1 / 12 · (1 + i′ 1 / 12 )^60
= 89, 03 ·
(1 + 0, 0064)^60 − 1
· (1 + 0, 007)^60 = 9 859, 09 euro.
Ora, cio che resta da versaree
MR′^ = 16 000 − MR = 16 000 − 9 859, 09 = 6 140, 91 euro
dato da MR′^ = R′^ · s 60 i′ 1 / 12
quindi
R′^ =
(1+0,007)^60 −^1 0 , 007
= 82, 71 euro.
