RENDITE CAUSA MORTE, Appunti di Matematica Finanziaria

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Tecniche Attuariali delle Assicurazioni

Lezione 10

a.a. 2018/

Assicurazioni in caso di morte con capitale pagabile

all'atto della morte

Si suppone che i decessi siano distribuiti uniformemente nell'anno, quindi si considera come data di decesso metà anno.

Ai premi unici dei vari contratti assicurativi occorre aggiungere l'interesse per 6 mesi.

Nella notazione si usa soprassegnare la lettera A per indicare che il pagamento del capitale assicurato avviene all'atto della morte.

Ad esempio, il premio unico puro per un'assicurazione in caso di morte a vita intera con capitale unitario, pagabile all'atto di morte si indica con A¯x ed è pari a:

A^ ¯x = Ax(1 + i)^1 /^2

Inoltre, per ogni s ≤ h possiamo scrivere

h/ 1 Ax^ =^ v h+1 (^) · dx+h lx

= vs^ · lx+s lx

· vh−s+1^ · dx+h lx+s

= vs^ · (^) spx · vh−s+1^ · (^) h−s/ 1 qx+s = (^) sEx · (^) h−s/ 1 Ax+s

e per s = h ritroviamo la relazione scritta sopra.

Le relazioni nEx =^ sEx ·^ n−sEx+s h/ 1 Ax^ =^ sEx^ ·^ h−s/ 1 Ax+s esprimono la cosiddetta proprietà di scindibilità attuariale.

Per questa proprietà la valutazione all'epoca 0 (età x) di una prestazione elementare caso vita o caso morte relativa ad una s- sata epoca futura (successiva ad s) può essere eseguita valutando prima la prestazione all'epoca s (età x + s) e portando quindi il valore così ottenuto all'epoca 0.

Premi periodici

Molti contratti assicurativi propongono una rateazione del premio unico in m rate, P 1 , P 2 ,... , Pm, di solito pagate ad intervalli di tempo costanti (premi periodici).

Consideriamo solo il caso di premi pagati annualmente in via anticipata.

E' importante osservare che il premio periodico è pagato solo nché l'assicurato è in vita.

Per il principio di equità il valore attuariale dei premi periodici deve essere uguale al valore attuariale delle prestazioni dell'assi- curato.

Questo equivale a dire che il valore attuariale dei premi periodici deve essere uguale al premio unico.

Esercizio

Un uomo di 32 anni stipula un contratto di assicurazione mista semplice per un capitale di 50.000 euro esigibile a 60 anni e pagabile agli eredi in caso di morte prima dei 60 anni. Determinare il premio annuo costante da pagare per tutta la durata del contratto. Soluzione

P · ¨a (^) 32:28 = 50. 000 · A (^32) , 28

Ricordando che

A (^32) , 28 =

D 60 + M 32 − M 60

D 32

¨a (^) 32:28 =

N 32 − N 60

D 32

si ricava

P = 50. 000 ·

D 60 + M 32 − M 60

N 32 − N 60

La durata massima di pagamento dei premi annui dipende dal tipo di contratto assicurativo.

Una rendita vitalizia immediata richiede necessariamente il pa- gamento di un premio unico.

I contratti di capitale dierito o di rendita vitalizia dierita con- sentono una rateazione su un intervallo lungo al massimo quanto la durata del periodo di dierimento.

Per le assicurazioni di morte a vita intera il premio annuo può essere pagato per tutta la durata residua di vita dell'assicurato:

P =

U

¨ax

= C ·

Ax ¨ax

Rendite vitalizie a rate variabili aritmeticamente

Si tratta di rendite con rate variabili in progressione aritmetica: la dierenza tra una rata e la precedente è costante. Questa dierenza è detta ragione. Le rate sono del tipo:

R + K, R + 2K, R + 3K,...

dove R e K sono costanti. Di solito la ragione K è positiva e quindi la rata è crescente. Nel seguito calcoliamo il premio unico per il caso R = 0, ossia per rate del tipo:

K, 2 K, 3 K, 4 K, 5 K, 6 K...

Dal principio di composizione dei contratti si ricavano poi le formule per il caso R 6 = 0.

Rendita anticipata (immediata e illimitata)

Se la rendita è immediata e anticipata il pagamento della rata avviene all'inizio di ogni anno nché la testa assicurata è in vita, a partire dalla stipula del contratto:

Nel caso K = 1 il valore attuariale di questa rendita è indicato con il simbolo (I¨a)x dove la lettera I sta per Increasing.

Per il principio di composizione dei contratti, il valore attuariale di questa rendita vitalizia è dato dalla somma dei valori attuariali delle varie rendite a rata costante in cui può essere scomposta. La prima rendita è immediata, le altre sono dierite.

Raccogliendo K possiamo scrivere:

U = K

¨ax + (^1) /¨ax + (^2) /¨ax + (^3) /¨ax · · · + (^) ω−x− 1 /¨ax

= K · (I¨a)x

dove

(I¨a)x = ¨ax + (^1) /a¨x + (^2) /¨ax + (^3) /¨ax · · · + (^) ω−x− 1 /a¨x

Poiché (^) h/a¨x = 0 per h > ω − x − 1 possiamo anche scrivere

(Ia¨)x =

∑^ +∞

h=

h/a¨x

Funzioni di commutazione: Sx

La funzione di commutazione Sx viene introdotta per semplicare il calcolo del premio unico nei contratti di assicurazione di rendita vitalizia a rate crescenti in progressione aritmetica.

(I¨a)x = ¨ax + (^1) /¨ax + (^2) /¨ax + (^3) /¨ax · · · + (^) ω−x− 1 /¨ax =

Nx Dx

Nx+ Dx

Nx+ Dx

Nω− 1 Nx

Nx + Nx+1 + Nx+2 + · · · + Nω− 1 Dx Ponendo

Sx = Nx + Nx+1 + Nx+2 + · · · + Nω− 1 =

ω−∑x− 1

h=

Nx+h

si ottiene (I¨a)x = Sx Dx

Esercizio

Calcolare il premio unico per una testa di età x = 40 (anni) per una rendita vitalizia immediata e anticipata con prima rata pari a 1000 euro e con rate successive che aumentano ogni anno di 100 euro. Soluzione Il premio unico puro è

U = 100 · (I¨a) 40 + 900 · ¨a 40 =

S 40

D 40

N 40

D 40

Rendita POSTICIPATA (immediata e illimitata) a rata

crescente in progressione aritmetica

Se la rendita è immediata e posticipata il pagamento della prima rata avviene all'epoca 1:

Nel caso K = 1 il valore attuariale di questa rendita è indicato con il simbolo (Ia)x e quindi U = K · (Ia)x

Segue che

(Ia)x =

Nx+ Dx

Nx+ Dx

Nω Dx

Sx+ Dx

Esercizio

Calcolare il premio unico per un assicurato di x = 40 anni per una rendita vitalizia immediata e posticipata con rate crescenti in progressione aritmetica di ragione pari a 100e e con prima rata di 100e. Soluzione Il premio unico puro è

U = 100 · (Ia) 40 = 100

S 41

D 40

Esercizio

Calcolare il premio unico per un assicurato di x = 40 anni per una rendita vitalizia immediata e posticipata con prima rata pari a 1000e e con rate successive che aumentano ogni anno di 100e. Ripetere l'esercizio nel caso di rendita anticipata. Soluzione Il premio unico puro per la rendita posticipata è

U = 100 · (Ia) 40 + 900 · a 40 = 100

S 41

D 40

N 41

D 40

Il premio unico puro per la rendita anticipata è

U = 100(I¨a) 40 + 900 ¨a 40 = 100

S 40

D 40

N 40

D 40

Il premio per il caso anticipato si può calcolare anche come segue:

U = 100 · (Ia) 40 + 1000 · ¨a 40 = 100

S 41

D 40

N 40

D 40