G. S CANDOLO ESERCIZI SU OTTIMIZZAZIONE - 4
ESE RC IZ I
(Gli esercizi con (*) sono pi`u avanzati)
1. Disegnare ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di R2, dicendo se si tratta di un insie-
me chiuso, aperto e/o limitato:
B1={(x,y):x−y>0}B2={(x,y):x2+y2<4}
B3={(x,y):y=x2}B4={(x,y):x>2, 0 <y<1}
B5={(x,y):x=0, 0 6y61}B6={(x,y):|x|=1, 0 6y61}
B7={(x,y):|x|<1, |y|<1}B8={(x,y):|x|<1, |y|<1, (x,y)6= (0, 0)}
(*) B9={(x,y):xeysono numeri interi}B10 ={(x,y):|xy|>0}
(Nota: i primi 8 sono quelli del precedente file di esercizi)
2. Spiegare perch´
e il seguente problema:
min x3−3xy2+6ysoggetto a x2+y2<1
sicuramente non ha soluzioni.
3. Spiegare perch´
e il seguente problema:
max ne−x4+xy +log(x4+y2+1)osoggetto a 0 6x61, 0 6y6x
sicuramente ha soluzione.
4. Per ognuna delle seguenti forme quadratiche, calcolare gradiente e matrice Hessia-
na, determinare i punti stazionari e dire se (0, 0)`
e un punto di minimo (su R2), di
massimo, o nessuna delle due.
f1(x,y) = 4x2−2y2+xy f2(x,y) = x2+5y2+4xy
f3(x,y) = 4xy −4x2−y2f4(x,y) = (3x+y)(x−y)
f5(x,y) = x2−xy f6(x,y) = 8xy
5. Per quali valori di k∈R, se ne esistono, la forma quadratica
f(x,y) = kx2+4ky2−2xy
ha (0, 0)come punto di minimo?
6. (*) Trattando separatamente i punti interni a Sdai punti sulla frontiera, risolvere:
min x2+y2+xy −2x−2ysoggetto a 0 6x61, 0 6y61
e il relativo problema di massimo.
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