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Matematica Generale
Esercitazione 2
Docente: Annalisa Fabretti. Esercitatore: Simone La Cesa. Economia e Managment
Esercizio 1. Dimostra le due leggi di De Morgan
(A ∪ B) C^ = A C^ ∩ B C
(A ∩ B) C^ = A C^ ∪ B C
Esercizio 2. Calcolare l’unione A∪B , l’intersezione A∩B e la differenza A−B dei seguenti insiemi:
(a) A = { 1 , 2 , 3 , 4 }, B = { 1 , 3 , 5 }
(b) A = {x ∈ Z : x^2 < 10 }, B = {x ∈ N : x^2 < 10 }
(c) A = {x ∈ N : x^2 < 15 }, B = {x ∈ N : x^2 > 10 }
Esercizio 3. Dati gli insiemi A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 9 }, B = {x ∈ N : x è un divisore di 18 } e C = {x ∈ N : x = 2n − 1 , n < 6 } , scrivi per elencazione e rappresenta con i diagrammi di Venn i seguenti insiemi:
(a) (A ∩ B) ∪ C
(b) (A ∩ C) ∩ (B ∪ C)
(c) (B − C) ∩ A
Esercizio 4. Dati gli intervalli in R A = (−6; 5) , B = [0; 5] e C = (−∞; 0) determina:
(a) A ∪ B , A ∪ C , B ∪ C , A ∪ B ∪ C
(b) A ∩ B , A ∩ C , B ∩ C , A ∩ B ∩ C
(c) A C^ , B C^ , C C^ , (A ∪ B) C
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Esercizio 5. Rappresenta con la notazione degli intervalli i seguenti insiemi
(a) A = {x ∈ R : − 5 ≤ x < 2 }
(b) B = R − 8
(c) C = {x ∈ R : (^) x −^12 > 0 }
(d) D = {x ∈ R : x^2 − 7 x < 0 }
Determina quale tra questi insiemi è un intorno di x 0 = 2_._
Esercizio 6. Dimostra l’irrazionalità di
Esercizio 7. Nell’insieme A = { 3 , 7 , 9 , 18 , 19 , 28 , 35 , 36 } considera la relazione R : aRb ⇐⇒ a è divisibile per b_. Rappresenta la relazione con i diagrammi di Eulero-Venn e determina se tale relazione è riflessiva, simmetrica e transitiva. Determina inoltre se tale relazione è una funzione._
Esercizio 8. Data la funzione numerica f : D ⊆ R → R :
f (x) = 2x^2 − 1 ,
determina il dominio D_. Determina inoltre se la funzione è iniettiva, suriettiva e dunque biettiva. Nel caso in cui non sia iniettiva e/o suriettiva, restringi opportunamente il dominio e il codominio per renderla invertibile e trova la funzione inversa. Ripeti lo stesso esercizio con le funzioni:_
(a) f 2 (x) = 3 x x +
(b) f 3 (x) = e x
(c) f 4 (x) =
x − 4
(d) f 5 (x) = tan(x)
