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Un problema di logistica
Un’azienda deve pianificare l’acquisto di carburante per i propri impianti termici. L’azienda possiede una cisterna di 15000 litri, che viene rifornita all’inizio di ogni mese. Supponiamo che l’orizzonte temporale di pianificazione sia costituito da un trimestre e di conoscere (vedi Tabella)
- La domanda di carburante nel mese i.
- Il costo di acquisto del carburante all’inizio del mese i.
- Il costo di “stoccaggio” del carburante nel mese i.
Per costo di stoccaggio si intende il costo (Euro per litro) del carburante che al termine del mese i rimane nella cisterna e che viene utilizzato nei mesi successivi. Ad esempio, se all’inizio del mese 1 acquisto 6000 litri di carburante, pagherò un costo di stoccaggio di (6000 – 5000) * 0.05 = 50 Euro.
Mese 1 Mese 2 Mese 3 Domanda ( litri ) 5000 6000 3000 Costo di acquisto (€/ l ) 0.3 0.4 0. Costo di stoccaggio (€/ l ) 0.05 0.1 -
Sapendo che all’inizio del trimestre la cisterna è vuota, che al termine del trimestre la cisterna DEVE rimanere vuota e che i costi di trasporto sono trascurabili, formulare il problema di Programmazione Lineare che minimizza i costi di approvvigionamento soddisfacendo la domanda, eventualmente utilizzando un opportuno grafo.
Soluzione
Indichiamo con ai , i = 1, …, 3 la quantità di carburante acquistata all’inizio del mese i e con s (^) i , i = 1, …, 3, la quantità di carburante che rimane nella cisterna al termine del mese i :
Si hanno le seguenti relazioni:
d 1 = a 1 + s 0 – s 1 d 2 = a 2 + s 1 – s 2 d 3 = a 3 + s 2 – s 3
Ora, s 0 e s 3 sono pari a zero, quindi il problema di Programmazione Lineare diventa:
min 0.3 a 1 + 0.4 a 2 + 0.6 a 3 + 0.05 s 1 + 0.1 s 2 s. t. c1. a 1 – s 1 = 5000 c2_. a_ 2 + s 1 – s 2 = 6000 c3. a 3 + s 2 = 3000 c4_. a_ 1 <= 15000 c5_. a_ 2 + s 1 <= 15000 c6_. a_ 3 + s 2 <= 15000 a 1 > 0 , a 2 > 0, a 3 > 0, s 1 > 0, s 2 > 0
Un problema di produzione
Un’azienda casearia vuole immettere sul mercato un nuovo tipo di latte ad alta qualità, denominato LAQ. Per essere definito “latte ad alta qualità”, il latte deve avere le seguenti caratteristiche nutrizionali:
Proteine almeno 32 g/litro Grassi almeno 45 g/litro Carboidrati almeno 36 g/litro Calcio almeno 1.3 g/litro
Il latte LAQ si ottiene dalla miscelazione di tre diversi tipi di latte prodotti dall’azienda: L1, L2 e L3, che hanno le seguenti caratteristiche nutrizionali (espresse sempre in grammi/litro).
L1 L2 L
Proteine 31 35 32 Grassi 48 40 50 Carboidrati 35 38 32 Calcio 1.2 1.5 1.
I costi di produzione al litro dei tre tipi di latte sono:
L1 : € 0.50 L2 : € 0.60 L3 : € 0.
individuare le proporzioni in cui vanno miscelati i tre tipi di latte per ottenere il latte LAQ a costo minimo.
Soluzione
Sia x (^) Li una variabile compresa fra 0 e 1, indicante la frazione del latte di tipo i presente in LAQ.
Il problema può essere formulato come segue
min 0.5 x (^) L 1 + 0.6 x (^) L 2 + 0.4 x (^) L 3
Proteine: 31 x (^) L 1 + 35 x (^) L 2 + 32 x (^) L 3 > 32 Grassi: 48 x (^) L 1 + 40 x (^) L 2 + 50 x (^) L 3 > 50 Carboidrati: 35 x (^) L 1 + 38 x (^) L 2 + 32 x (^) L 3 > 36 Calcio: 1.2 x (^) L 1 + 1.5 x (^) L 2 + 1.4 x (^) L 3 > 1. Miscelazione: x (^) L 1 + x (^) L 2 + x (^) L 3 = 1
x (^) Li > 0 per i = 1, 2, 3
Un problema di lot-sizing
Un’azienda deve pianificare l’acquisto di carburante per i propri impianti termici. L’azienda viene rifornita all’inizio di ogni mese. Supponiamo che l’orizzonte temporale di pianificazione sia costituito da un trimestre e di conoscere (vedi Tabella)
- La domanda di carburante nel mese i.
- Il costo di acquisto del carburante all’inizio del mese i.
- Il costo di giacenza del carburante nel mese i.
- Il costo di trasporto di un camion-cisterna pari a 20 €
- la capienza di un camion cisterna pari a 3000 litri.
Mese 1 Mese 2 Mese 3 Domanda ( litri ) 5000 6000 3000 Costo di acquisto (€/ l ) 0.6 0.5 0. Costo di stoccaggio (€/ l ) 0.05 0.1 -
Sapendo che all’inizio del trimestre la cisterna contiene 200 litri di carburante, risolvere il problema di approvvigionamento con l’algoritmo di Wagner-Within e illustrare il risultato.
Soluzione
Per applicare la formula di ricorrenza
( ) min{ ( 1 ) ( , )} 1 ,..., F k F j M jk j k
=
occorre calcolare tutti i valori di M ( j , k ) per j <= k. Osservare che:
- dato che il magazzino iniziale è inferiore alla richiesta del primo mese, sicuramente sarà necessario acquistare del carburante. Dato che gli acquisti si effettuano solo quando il magazzino è vuoto, la domanda del primo periodo dovrà essere calcolata al netto del magazzino esistente, ossia sarà pari a 4800 litri.
- E’ necessario tener conto del numero di cisterne impiegate per calcolare i costi di trasporto.
M(1,1) = 0.6 * 4800 + 20*4800/3000 = 2920
M(1,2) = 0.6 * (4800 + 6000) + 20*10800/3000 + 0.05 * 6000 = 6860
M(1,3) = 0.6 * (4800 + 6000 + 3000) + 20*13800/3000 + 0.05 * 9000 + 0.1 * 3000 = 9130
M(2,2) = 0.5 * 6000 + 20*6000/3000 = 3040
M(2,3) = 0.5 * (6000 + 3000) + 209000/3000 + 0.13000 = 4860
M(3,3) = 0.7 * 3000 + 20*3000/3000 = 2120
× 3040 4860
× × 2120
F(0) = 0
F(1) = M(1,1) = 2920
F(2) = min(F(0)+M(1,2), F(1)+M(2,2)) = min(6860, 5960) = 5960 F(3) = min(F(0)+M(1,3), F(1)+M(2,3) , F(2) + M(3,3)) = min(9130, 7780, 8080) = 7780
La soluzione ottima quindi è F(3) = M(1,1) + M(2,3)
cioè verranno fatti 2 acquisti nel primo e secondo mese rispettivamente di 4800 e 9000 litri di carburante.
