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Esercizi di Calcolo Combinatorio e Probabilità
Svolgimento completo con tutti i passaggi
In questo fascicolo sono raccolti i 5 esercizi affrontati nella conversazione, ognuno con spiegazione completa, formula usata, sostituzione dei valori e motivazione della risposta corretta.
1. Disposizioni senza ripetizione
Testo: Dato un insieme di cardinalità 4, le disposizioni senza ripetizione di lunghezza 5 sono 120, 64, 0, 24.
Per le disposizioni senza ripetizione di lunghezza k su un insieme di cardinalità n si usa la formula:
D(n,k) = n! / (n-k)!
Nel nostro esercizio abbiamo:
n = 4 e k = 5
Ora osserviamo il punto essenziale: una disposizione senza ripetizione richiede che gli elementi scelti siano tutti distinti. Quindi non possiamo costruire una sequenza di 5 elementi distinti se l'insieme di partenza contiene soltanto 4 elementi.
In altre parole, per poter applicare la formula deve valere k ≤ n. Qui invece vale 5 > 4, quindi la situazione è impossibile.
Conclusione: il numero di disposizioni è 0.
2. Disposizioni con ripetizione
Testo: Consideriamo un insieme di cardinalità 4, tutte le possibili disposizioni con ripetizione di lunghezza 3 sono 64, 120, 24, 0.
Per le disposizioni con ripetizione di lunghezza k su un insieme di cardinalità n si usa la formula:
D'(n,k) = n^k
Nel nostro esercizio:
n = 4 e k = 3
Sostituiamo nella formula:
D'(4,3) = 4^
Calcoliamo ora la potenza passo per passo:
4^3 = 4 × 4 × 4 = 16 × 4 = 64
Il motivo per cui compare una potenza è questo: per ciascuna delle 3 posizioni possiamo scegliere liberamente uno qualsiasi dei 4 elementi, perché la ripetizione è ammessa.
Quindi abbiamo 4 scelte per la prima posizione, 4 per la seconda e 4 per la terza; in totale 4 × 4 × 4 = 64.
Conclusione: la risposta corretta è 64.
3. Permutazioni di un insieme di 4 elementi
Testo: Le permutazioni (funzioni biiettive dall'insieme in sé) su un insieme di 4 elementi sono 24, 0, 64, 120.
Il numero di permutazioni di un insieme con n elementi è dato da:
P(n) = n!
Nel nostro caso n = 4, quindi:
P(4) = 4!
Sviluppiamo il fattoriale:
4! = 4 × 3 × 2 × 1
Eseguiamo il calcolo in ordine:
4 × 3 = 12 12 × 2 = 24 24 × 1 = 24
Possiamo anche interpretarlo così: ci sono 4 scelte per il primo posto, poi 3 per il secondo, poi 2 per il terzo e infine 1 per l'ultimo.
Quindi il numero totale di ordinamenti è 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
Conclusione: la risposta corretta è 24.
4. Due dadi a sei facce lanciati in modo indipendente
Testo: Supponiamo di lanciare due dadi a sei facce in maniera indipendente. Quale spazio campionario descrive correttamente l'esperimento?
Ragioniamo con calma. Ogni dado può dare come risultato uno dei numeri:
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
Poiché i dadi sono due, l'esito completo deve indicare il risultato del primo dado e anche quello del secondo dado.
Quindi un esito elementare non è un singolo numero, ma una coppia ordinata, ad esempio:
(1,1), (1,2), (2,1), (6,4), ...
Calcoliamo adesso la probabilità di ottenere 4.
Il numero 4 può uscire in due modi diversi:
_1) esce Testa e poi 4 sul dado a 6 facce;
- esce Croce e poi 4 sul dado a 4 facce._
Sommiamo quindi le probabilità dei due casi:
P(4) = P(Testa) × P(4 | Testa) + P(Croce) × P(4 | Croce) P(4) = (1/2) × (1/6) + (1/2) × (1/4) P(4) = 1/12 + 1/
Portiamo tutto allo stesso denominatore, cioè 24:
1/12 = 2/24 e 1/8 = 3/
Quindi:
P(4) = 2/24 + 3/24 = 5/
Confrontiamo adesso P(6) e P(4):
P(6) = 1/12 = 2/ P(4) = 5/
Poiché 2/24 < 5/24, otteniamo:
P(6) < P(4)
Quindi è vera l'affermazione: “la probabilità di fare 6 è minore di quella di fare 4”.
Le opzioni sugli spazi campionari con probabilità uniforme non sono corrette, perché gli esiti non risultano tutti equiprobabili se si mescolano nello stesso insieme i risultati della moneta e quelli dei dadi in quel modo.
Conclusione: la risposta corretta è “la probabilità di fare 6 è minore di quella di fare 4”.
