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CAPITOLO 4
Esercizi riguardanti funzioni composte
e inverse
4.1. Funzioni inverse: esercizi proposti
- Esercizio 4.1.1. Mostrare che le funzioni f nei seguenti esercizi sono biunivoche e calcolare le loro funzioni inverse f −^1. Speci care il dominio e l'immagine di f e f −^1
1)f (x) = x − 1 2)f (x) = 3x − 1 3)f (x) =
x − 2 4)f (x) = −
x − 1 5)f (x) = x^3 + 1 6)f (x) = (1 − 3 x)^3
9)f (x) = (^) x + 1^1 10)f (x) = (^) 2 +^2 x x
11)f (x) =
1 − 3 x x + 1 12)f^ (x) =^
√ x x^2 + 1
2 R.
f : R → R. f è iniettiva: infatti presi x 1 6 = x 2 allora x 1 − 1 6 = x 2 − 1 f è suriettiva: infatti y = x − 1 implica x = y + 1. Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f −^1 : R → R de nita da f −^1 (y) = y + 1.
f : R → R. f è iniettiva: infatti presi x 1 6 = x 2 allora 3 x 1 6 = 3x 2 e quindi 3 x 1 − 1 6 = 3x 2 − 1
4 Esercizi riguardanti funzioni composte e inverse
f è suriettiva: infatti y = 3x − 1 implica x = y^ + 1 3.
Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f −^1 : R → R de nita da f −^1 (y) = y^ + 1 3.
- f : [2, +∞) → R+. f è iniettiva: infatti presi x 1 6 = x 2 allora x 1 − 2 6 = x 2 − 2 e quindi
x 1 − 2 6 =
x 2 − 2 f è suriettiva: infatti y =
x − 2 (nota che da qui deve essere y ≥ 0 !!!) implica x = y^2 + 2 (nota che da qui risulta x ≥ 2 !!!) Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f −^1 : R+^ → [2, +∞) de nita da f −^1 (y) = y^2 + 2.
- f : [1, +∞) → R−. f è iniettiva: infatti presi x 1 6 = x 2 allora x 1 − 1 6 = x 2 − 1 e quindi
x 1 − 1 6 =
x 2 − 1 da cui la tesi f è suriettiva: infatti y = −
x − 1 (nota che da qui deve essere y ≤ 0 !!!) implica x = y^2 + 1 (nota che da qui risulta x ≥ 1 !!!) Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f −^1 : R−^ → [1, +∞) de nita da f −^1 (y) = y^2 + 1.
- f : R → R. f è iniettiva: infatti presi x 1 6 = x 2 allora x^31 6 = x^32 e quindi x^31 6 = x^32 f è suriettiva: infatti y = x^3 − 1 implica x = 3
y − 1 Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f −^1 : R → R de nita da f −^1 (y) = 3
y − 1.
- f : R → R. f è iniettiva: infatti presi x 1 6 = x 2 allora 3 x 1 6 = 3x 2 e quindi 1 − 3 x 1 6 = 1 − 3 x 2 da cui (1 − 3 x 1 )^3 6 = (1 − 3 x 2 )^3
f è suriettiva: infatti y = (1 − 3 x)^3 implica x =
1 − √^3 y 3 Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f −^1 : R → R de nita da f −^1 (y) =^1 −^
√ (^3) y 3
f : R−^ → R+. f è iniettiva: infatti presi x 1 6 = x 2 allora x^21 6 = x^22 perché x 1 , x 2 ≤ 0 f è suriettiva: infatti y = x^2 implica x = −√y Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f −^1 : R+^ → R−^ de nita da f −^1 (y) = −√y.
f : R → R. f è iniettiva: infatti presi x 1 6 = x 2 allora √^3 x 1 6 = √^3 x 2 e quindi 1 + √^3 x 1 6 = 1 + √^3 x 2 f è suriettiva: infatti y = 1 + 3
x implica x = (y − 1)^3 Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f −^1 : R → R de nita da f −^1 (y) = (y − 1)^3.
- f : R \ {− 1 } → R \ { 0 }. Infatti non esiste nessuna x tale che f (x) = 0 f è iniettiva: infatti presi x 1 6 = x 2 allora x 1 + 1 6 = x 2 + 1 da cui (^) x 11 +1 6 = (^) x 21 +
f è suriettiva: infatti y = (^) x −^1 1 implica x =^1 −y^ y
4 Esercizi riguardanti funzioni composte e inverse
- x 1 < x 2 < 0 in tal caso si ha la seguente catena di implicazioni:
x 1 6 = x 2 ⇒ x^21 6 = x^22 ⇒ (^) x^12 1
= (^) x^12 2
⇒ 1 + x^12 1
= 1 + x^12 2
1 + x^12 1
1 + x^12 2 ⇒ √^1 1 + (^) x^121
6 = √^1
1 + (^) x^122
⇒ − √^1
1 + (^) x^121
6 = − √^1
1 + (^) x^122
⇒ h(x 1 ) 6 = h(x 2 )
perché stavolta x^2 è iniettiva su R−.
- 0 < x 1 < x 2 la dimostrazione è la stessa, ci si ferma al terzultimo passaggio (non c'è il segno meno in h(x))
- x 1 = 0 < x 2 oppure x 1 < x 2 = 0 si ha banalmente 0 < h(x 2 ) o rispettivamente h(x 1 ) < 0 quindi la tesi è immediata
- x 1 < 0 < x 2 si ha immediatamente h(x 1 ) < 0 < h(x 2 ) da cui la tesi.
f è suriettiva: infatti posto y = √xx (^2) +1 si vede subito che y e x hanno lo stesso segno. Elevando a quadrato si ha
y^2 = x
2 x^2 + 1 =^
x^2 + 1 − 1 x^2 + 1 = 1^ −^
x^2 + 1
da cui
1 x^2 + 1 = 1^ −^ y
2
e da qui si legge che deve essere y ∈ [− 1 , 1] perché il primo membro è non negativo. A questo punto, operando le necessarie sempli cazioni, si arriva a
x^2 = y
2 1 − y^2
e visto che x e y devono avere lo stesso segno si ha
x = √ y 1 − y^2
Quindi f : R → (− 1 , 1) è biunivoca e perciò invertibile con inversa f −^1 : (− 1 , 1) → R de nita da f −^1 (y) = √ y 1 − y^2
4.1 Funzioni inverse: esercizi proposti
- Esercizio 4.1.2. Nei seguenti esercizi sia f una funzione biunivoca con inversa f −^1. Esprimere le inverse delle funzioni indicate in funzione di f −^1
13)g(x) = f (x) − 3 14)g(x) = f (3x) 15)g(x) = − 3 f (x) 16)g(x) = f (x − 3)
17)g(x) = (^) 3 + 1 f (x) 18)g(x) = f^ (x) 3 −^3
19)g(x) = 1 − 3 f (3 − 3 x) 20)g(x) = 1 + 1 −^ ff^ ((xx))
2 R.
- Esercizio 4.1.3. Dire quali tra le seguenti funzioni sono iniettive, surgettive o biunivoche, e in caso, trovatene la funzione inversa
21)f : R \ { 0 } → R f (x) = x +^1 x 22)f : R → R f (x) = 2 + sin x
23)f : R+^ → R f (x) = x − 1 x 24)f : R \ { 0 } → R f (x) = x^3 − 2
2 R.
- Non è iniettiva. Infatti basta prendere i valori x = 3 ±
5 per avere f (x) = 3 in entrambi i casi Non è surgettiva. Infatti non esiste alcun valore di x tale che ad esempio f (x) = 1
Non è iniettiva. Infatti ad esempio per x = 0 o x = π si ha f (x) = 2 Non è surgettiva. Infatti non esiste alcun valore di x tale che ad esempio f (x) = 0
Non è iniettiva su R, lo è su R+. Infatti f ′(x) = 1+ (^) x^12 > 0 quindi la funzione è strettamente monotona e perciò iniettiva. È surgettiva su R. Infatti per ogni k ∈ R si ha che l'equazione x − (^1) x = k ha almeno una soluzione (in generale ha due soluzioni, una positiva e una negativa). Quindi f : R+^ → R è
biunivoca e perciò invertibile, con inversa f −^1 : R → R+^ data da x = y^ +^
y^2 + 4 2
4.2 Funzioni composte: esercizi proposti
e perché se x ≥ 0 , f (x) ≥ 1 , se x < 0 , f (x) < 1. Quindi f : R → R è invertibile con inversa
f −^1 (y) =
y − 1 y ≥ 1 y − 1 y < 1
- È iniettiva e surgettiva perché lo sono le singole funzioni nei rispettivi intervalli di de nizione e perché se x ≥ 0 , f (x) ≥ 0 , se x < 0 , f (x) < 0. Quindi f : R → R è invertibile con inversa
f −^1 (y) =
√ (^3) y y ≥ 0
y^3 y < 0
- Dalla de nizione di valore assoluto si ha che
f (x) =
x^2 + 1 x ≥ 0 −x^2 + 1 x < 0
La funzione data dunque è iniettiva e surgettiva perché lo sono le singole funzioni nei rispettivi intervalli di de nizione e perché se x ≥ 0 , f (x) ≥ 1 , se x < 0 , f (x) < 1. Quindi f : R → R è invertibile con inversa
f −^1 (y) =
y − 1 y ≥ 1 −
1 − y y < 1
4.2. Funzioni composte: esercizi proposti
- Esercizio 4.2.1. Nel caso in cui f (x) = x + 3 e g(x) = x^2 − 4 trovare:
1)f ◦ g(0) 2)g(f (0)) 3)f (g(x)) 4)g ◦ f (x) 5)f ◦ f (−5) 6)g(g(2)) 7)f (f (x)) 8)g ◦ g(x)
