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- Si risolvi la seguente disequazione: log ( 4x −5 ) > log ( x^2 −2 ) ( (^) UMS risolve questo compito) Poniamo delle condizioni sui valori delle variabili. x4x − 5> 0^2 − 2> 0 Usiamo la proprieta di monotonicita della funzione logaritmica. Se la base del logaritmo è maggiore di 1, la funzione logaritmica è monotona crescente. (^) ⇒ 4x − 5> x^2 − 2
⇒
x^2 − 2> 0 4 x − 5> 0 4 x − 5> x^2 − 2 Caso 1.
x^2 − 2> 0 ⇒ (^ x + 2 ) (^ x − 2 )^ > 0
Indichiamo i punti critici trovati e gli intervalli corrispondenti sull'asse reale. Calcolare segni.
− 2 2
x∈ (^ − ∞ ; − 2 )^ ∪ (^2 ; +∞ )
Caso 2.
4 x − 5> 0 ⇒ x>
5 4
x∈^ (
Caso 3. 4 x − 5> x^2 − 2 ⇒ 4 x − 5 − x^2 +2> 0 ⇒ x^2 − 4x +3< 0 Risolviamo l'equazione ausiliaria: x^2 − 4x +3= 0 Troviamo il discriminante: (^) D= ( − 4 ) (^2) − 4·1·3= 4
x 1 =
2·1 = 1^
e (^) x 2 = 4 + 2·1 = 3 ⇒ ( x − 1 ) ( x − 3 ) < 0 Indichiamo i punti critici trovati e gli intervalli corrispondenti sull'asse reale. Calcolare segni.
1 3
x∈ ( 1; 3 ) Troviamo la soluzione generale.
5 4
− 2 2 1 3
2 3
La risposta è: x∈ (^2 ; 3 )
- Si consideri la funzione (^) f : R→ R ; (^) f ( (^) x ) = ex^ − 2e^3 x a) Determinare il dominio di (^) f ed eventuali simmetrie. La risposta è: il dominio di (^) f : (^) x∈ R La funzione (^) f ( (^) x ) è pari se (^) f ( − x ) = f ( (^) x ) o (^) f ( − x ) − f ( (^) x ) = 0 ex^ − 2e^3 x^ − e −^ x^ − 2e −3x^ ≠ La funzione (^) f ( (^) x ) è dispari se (^) f ( − x ) = − f ( (^) x ) o (^) f ( − x ) +f ( (^) x ) = 0. ex^ − 2e^3 x^ +e −x^ − 2e −3x^ ≠ Pertanto, la funzione f ( x ) è né pari, né dispari.
b) Determinare il segno di (^) f ed eventuali intersezioni con gli assi. Per determinare le intersezioni con l'asse delle (^) X poniamo la funzione uguale a zero.
ex^ − 2e3x^ = 0 ⇒ ex^ ( 1 − 2e^2 x^ ) = 0 ⇒ 1 − 2e^2 x^ = 0 ⇒ e^2 x^ =
2 ⇒^2 x=^
ln(
⇒ x=
ln( 1
ln( 2 ) 2
X - intersezione:^ x= −
ln( 2 ) 2 f (^ x ) >0 nell'intervallo^ −∞ ; −
ln ( 2 ) 2
f ( x ) concavità verso il basso sull'intervallo −
ln ( 18 ) 2 ; +∞ → f '' ( x ) <
f) Disegnare il grafico di^ f ( x ).
f (^ x ) = ex^ − 2e^3 x
x
f
−1 −0,8 −0,6 −0,4 −0,2 0,2 0,
−
−
−
−
−
−
−
g) Si trovino il massimo assoluto ed il minimo assoluto di (^) f ( (^) x ) nell'intervallo (^) [ − 8; − 2]
x= −
ln( 6 ) 2 è un punto di massimo locale di f ; x= −
ln( 6 ) 2
∉ [ − 8; − 2]
f (^ x )^ crescente sull'intervallo^ [ − 8; − 2] f ( − 8 ) = e −8^ − 2e3· ( −8 )^ = e − 8^ − 2e −24^ - il minimo sull'intervallo^ [ − 8; − 2] f ( − 2 ) = e −2^ − 2e3· ( −2 )^ = e − 2^ − 2e −6^ - il massimo sull'intervallo^ [ − 8; − 2]
- Si calcoli il seguente limite senza l'uso della regola di de l'Hôpital:^ lim x
→^0 (
2x
3 )^
− (^1) x
lim
x→ 0 (1 −
2x
3 )^
− (^1) x
= lim x→ 0 (1 −
2x
3 )^
− (^) 2x^3
−2x
3 ·^ (^ −^
1
x )
= lim x→ 0 (1 −
2 x
3 )^
− (^23) x
2 3
= lim x→ 0 (1 −
2 x
3 )^
− (^23) x
2 3
=e
2 (^3) =
= 3 e^2
4. Si calcoli il seguente integrale definito: ∫
1
2 2x +1 dx
2 2x +1 dx =
2 2x +1 d ( 2x +1 ) =
( 2x +1 )
3 2
1 0 =
3 (^2) − ( 2·0 +1 )
3
2 ) =^1
( 33 − 13 ) =^3 3 −
x=1∈ Dom (^ f )^ , ma −x= −1∉ Dom (^ f ) Pertanto, la funzione f (^ x )^ è né pari, né dispari. b) Determinare il segno di^ f ed eventuali intersezioni con gli assi. Per determinare le intersezioni con l'asse delle (^) X poniamo la funzione uguale a zero.
log 3 ( 9x − x^3 ) = 0 log 3 ( 9x − x^3 ) = log 3 ( 1 ) 9x − x^3 = 1 x^3 − 9x +1= 0 È possibile trovare le radici reali di questa equazione, utilizzando (^) UMS (enter (^) f ( x ) = (^) log 3 ( 9x − x^3 ) e selezionando "Grafico veloce" )
x
f
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3
−
−
−
1
2
3
4
5
X - intersezione: x 1 ≈ 0, 1 ;^ x 2 ≈ − 3, 1 ;^ x 3 ≈ 2, 9
f ( x ) > 0 nell'intervallo ( − ∞ ; x 1 ) e ( x 2 ; x 3 )
f (^ x ) < 0 nell'intervallo^ ( x 1 ; − 3 ) ,^ ( 0; x 2 ) e^ ( x 3 ; 3 )
Y - intersezione: nessun, come^ x= 0 non soddisfa il dominio di^ f.
c) Calcolare i limiti e determinare il comportamento asintotico della funzione. y=kx +b
k= (^) xlim→ −∞
log 3 ( 9x − x^3 ) x =^
lim x→ −∞
( log 3 ( 9x − x^3 )^ )
'
x'^ =^
lim x→ −∞
( 9 − 3x^2 ) ( 9x − x^3 ) ln( 9 )
b = (^) xlim→ −∞ ( log 3 ( 9x − x^3 ) − kx (^) ) = (^) xlim→ −∞ log 3 ( 9x − x^3 )^ = +∞ Asintoti obliqui: nessun lim x→ −3 log^3 ( 9x^ −^ x
lim x→ 0 log^3 ( 9x − x^3 ) (^) = − ∞ Asintoti verticali: (^) x= 0 e (^) x= − 3
d) Determinare gli intervalli di monotonia di^ f ed eventuali punti estremali.
f ' ( x ) = (^) ( log 3 ( 9x − x^3 )^ )'^ =
( 9x − x^3 ) ' ( 9x − x^3 ) ln( 3 )
9 − 3x^2 ( 9x − x^3 ) ln( 3 )
e) Determinare gli intervalli di convessita di (^) f ed eventuali punti di flesso. 9 − 3x^2 ( 9x − x^3 ) ln( 3 )
= 0 ⇔ 9 − 3x^2 = 0 ⇔ x= ± 3
x= − 3 non soddisfa il dominio di^ f. x= 3 è un punto di massimo locale di^ f f (^ x )^ decresce in intervalli ( − ∞ ; − 3 )^ e (^3 ; 3 ) f (^ x )^ cresce sull'intervallo (^ 0; 3 )
f) Disegnare il grafico di f ( x ).
= lim x→ 0
( 1 +5x ) ln ( 10 ) (^) cos x
( 1 +5·0 ) ln ( 10 ) (^) cos 0
ln ( 10 )
- Si calcoli il seguente integrale definito:^ ∫ 0
1 ( 3x^2 +1 ) ex^3 +xdx
∫ 0
1 ( 3x^2 +1 ) (^) ex^3 +x^ dx = (^) ∫ 0
1 ex^3 +x^ d ( x^3 +x ) = ex^3 +x^10 =e^13 +1^ −e^03 +0^ =e^2 −e^0 =
=e^2 −
- Si risolvi la seguente disequazione: 5 2x +2^ −5x − 1^ >0 ⇒ 5 2x +2^ >5x −1^ ⇒ 2 x +2>x −1 ⇒ x> −
− 3 La risposta è: x∈ ( − 3; +∞ ) ( (^) UMS risolve questo compito)
- Si consideri la funzione^ f : R→ R ;^ f ( x ) = ln( x^2 − 4 ) a) Determinare il dominio di (^) f ed eventuali simmetrie. x^2 − 4> 0 ⇒ (^ x − 2 ) (^ x +2 ) > 0
−2 2
La risposta è: il dominio di f : x∈ ( − ∞ ; − 2 ) ∪ ( 2; +∞ ) La funzione f ( x ) è pari se f ( − x ) = f ( x ) o f ( − x ) − f ( x ) = 0
ln( ( − x ) 2 − 4 ) − ln( x^2 − 4 ) = 0 → La funzione f ( x ) è pari
b) Determinare il segno di (^) f ed eventuali intersezioni con gli assi. Per determinare le intersezioni con l'asse delle (^) X poniamo la funzione uguale a zero. ln( x^2 − 4 ) = 0 ⇒ ln( (^) x^2 − 4 ) = ln( 1 ) (^) ⇒ x^2 − 4= 1 ⇒ x^2 = 5 ⇒ x= ± 5
X - intersezione: x= − 5 ; x= 5 f ( x ) > 0 nell'intervallo (^ − ∞ ; − 5 ) f (^ x ) < 0 nell'intervallo^ (^ − 5 ; − 2 ) f (^ x ) < 0 nell'intervallo^ (^ 2; 5 ) f (^ x ) > 0 nell'intervallo^ (^5 ; +∞ )
Y - intersezione: nessun, comme x= 0∉ il dominio di f c) Calcolare i limiti e determinare il comportamento asintotico della funzione.
k= lim x→∞
ln( x^2 − 4 ) x = lim x→∞
( ln( x^2 − 4 )^ ) '
x'^ = lim x→∞
2x x^2 − 4
b = lim x→∞ ( ln(^ x^2 − 4 ) − kx ) = lim x→∞ ( ln(^ x^2 − 4 ) − 0 ) = ∞
Asintoti obliqui , orizzontali: nessun
f (^ x ) = ln^ (^ x^2 −4 )
x
f
− 10 − 8 − 6 − 4 − 2 2 4 6 8 10 − 2
− 1
1
2
3
4
5
g) (^) Si trovino il massimo assoluto ed il minimo assoluto di f ( (^) x ) (^) nell'intervallo [ −8; −3] f (^ x )^ decrescente sull'intervallo [ − 8; − 3]
f ( − 8 ) = ln( ( − 8 )^2 − 4 ) = ln( 60 )^ - il massimo sull'intervallo^ [ − 8; − 3]
f ( − 3 ) = ln( ( − 3 )^2 − 4 ) = ln( 5 )^ - il minimo sull'intervallo^ [ − 8; − 3]
- Si calcoli il seguente limite senza l'uso della regola di de l'Hôpital:^ lim x →π
sin x π − x
lim x→π
sin x π − x =^
lim x→π
( sin x ) '
( π (^) − x ) '^ =^
lim x→π
cos x − 1 = −^ cos^ π (^) = − ( − 1 ) = 1
- Si calcoli il seguente integrale definito: (^) ∫ −
2 xe2xdx
∫udv^ =^ uv^ −^ ∫vdu u = x dv= 2ex^ dx du = dx v= e^2 x
∫− 2
2 xe2x^ dx =
2 ∫− 2
2 2xe2x^ dx =
x·e2x^2 −2 − (^) ∫ − 2
2 e2x^ dx =
2 x·e
2x (^2) −2 −^1
2 e2x^ d ( 2x )^ =
2 (^ x·e
2x (^2) −2 −^1 2 e
2x 2 −2 ) =
2 (^2 e
(^4) − ( −2 ) (^) e −4 (^) −^1 2
( e^4 −e −4^ ) ) =e^4 +e −4^ −^1
4 e
4 +^1
4 e^
4 e
4 +^5
4 e^
−
x=1∈ Dom (^ f )^ , ma −x= −1∉ Dom (^ f ) Pertanto, la funzione f (^ x )^ è né pari, né dispari. b) Determinare il segno di^ f ed eventuali intersezioni con gli assi. Per determinare le intersezioni con l'asse delle (^) X poniamo la funzione uguale a zero.
log 2 ( 4x − x^3 ) = 0 log 2 ( 4x − x^3 ) = log 2 ( 1 ) 4x − x^3 = 1 x^3 − 4x +1= 0 È possibile trovare le radici reali di questa equazione, utilizzando (^) UMS (enter (^) f ( x ) = (^) log 2 ( 4x − x^3 ) e selezionando "Grafico veloce" )
x
f
−2 2
−
−
−
2
4
X - intersezione: x 1 ≈ −2, 1 ; x 2 ≈ 0, 25 ; x 3 ≈ 1, 85
f (^ x ) >0 nell'intervallo^ ( −∞ ; x 1 ) e^ ( x 2 ; x 3 )
f (^ x ) <0 nell'intervallo ( x 1 ; −2 ) , ( 0; x 2 ) e ( x 3 ; 2 )
Y - intersezione: nessun, come x= 0 non soddisfa il dominio di f.
c) Calcolare i limiti e determinare il comportamento asintotico della funzione. y= kx +b
k= (^) xlim→ −∞
log 2 ( 4x − x^3 ) x =^
lim x→ −∞
( log 2 ( 4x − x^3 )^ )
'
x'^ =^
lim x→ −∞
( 4 − 3x^2 ) ( 4x − x^3 ) ln( 2 )
b = (^) xlim→ −∞ ( log 2 ( 4x − x^3 ) − kx (^) ) = (^) xlim→ −∞ log 2 ( 4x − x^3 )^ = +∞ Asintoti obliqui: nessun lim x→ −2^ log^2 ( 4x − x^3 ) = − ∞
lim x→ 0 log^2 ( 4x − x^3 ) (^) = − ∞ Asintoti verticali: (^) x= 0 e (^) x= − 2
d) Determinare gli intervalli di monotonia di^ f ed eventuali punti estremali.
f ' ( x ) = (^) ( log 2 ( 4x − x^3 )^ )'^ =
( 4x − x^3 ) ' ( 4x − x^3 ) ln( 2 )
4 − 3x^2 ( 4x − x^3 ) ln( 2 ) 4 − 3x^2 ( 4x − x^3 ) ln( 2 ) = 0 ⇔ 4 − 3x^2 = 0 ⇔ x^2 =
3 ⇔^ x= ±^
x= −
non soddisfa il dominio di (^) f.
x=
è un punto di massimo locale di f
f (^ x )^ decresce in intervalli ( − ∞ ; − 2 )^ e
f (^ x )^ cresce sull'intervallo^ 0;
e) Determinare gli intervalli di convessita di (^) f ed eventuali punti di flesso.
g) (^) Si calcoli l'equazione della tangente al grafico della funzione f ( x ) (^) nel punto x 0 =
f ' ( x ) = (^) ( log 2 ( 4x −x^3 )^ )'^ =
( 4x −x^3 ) ' ( 4x −x^3 ) ln ( 2 )
4 −3x^2 ( 4x −x^3 ) ln ( 2 )
y= f ( x 0 ) +f ' ( x 0 ) ( x − x 0 ) - l'equazione della tangente nel punto^ x 0
x 0 = 1 f ( 1 ) = (^) log 2 ( 4·1 − 1^3 ) = (^) log 2 ( 3 )
f ' ( 1 ) =
4 − 3·1^2
( 4·1 − 1^3 ) ln( 2 )
( 4 − 1 ) ln( 2 )
3 ln( 2 ) y= (^) log 2 ( 3 ) +
3 ln( 2 )^
· ( x − 1 ) =
3 ln( 2 )^
x + (^) log 2 ( 3 ) −
3 ln( 2 )
- Si calcoli il seguente limite senza l'uso della regola di de l'Hôpital: lim x→ 0
log ( 1 +x ) sin 4
lim x→ 0
log ( 1 +x ) sin 4x = lim x →^0
( log^ ( 1 +x )^ ) '
( sin 4x ) '^
= lim x →^0
( 1 +x ) ln( 10 ) 4 cos 4x
= lim x →^0
4 ( 1 +x )^ ln( 10 )^ cos 4x
4· ( 1 +0 )^ ln( 10 )^ cos ( 4·0 )^
4 ln( 10 )
- Si calcoli il seguente integrale definito:^ ∫ 0
1 xcos ( πx^2 ) dx
∫ 0
1 xcos (^ πx^2 ) dx =
2 π ∫ 0
1 cos (^ πx^2 ) d (^ πx^2 ) =
2 π sin^ ( (^) πx^2 )
1 0
2 π^ ( sin (^ π·1^2 ) − sin (^ π·0^2 )^ ) =
2 π^
( sin π − sin 0 ) =
- Si risolvi la seguente disequazione: e3x^ −e2x^ <6ex^ ( UMS risolve questo compito) e3x^ −e2x^ −6ex^ < Risolviamo l'equazione ausiliaria: (^) e3x^ − e2x^ − 6ex^ = 0
ex^ ( e2x^ − ex^ − 6 ) = 0 Caso 1. ex^ = 0 - non c'è soluzione. Caso 2. e2x^ − ex^ − 6= 0 Troviamo il discriminante: (^) D= ( − 1 ) (^2) − 4·1 ( − 6 ) = 25
ex^ =
2 ⇒^ e
x 1 = 1 + 2 = 3^ ; (^) ex 2 = 1 − 5 2 = − 2 Caso 2. ex^ = 3 Caso 2. ex^ = − 2 Otteniamo: (^) ex^ ( ex^ +2 ) ( (^) ex^ − 3 ) < 0 ⇒ ex^ − 3< 0 ⇒ ex^ < 3 ⇒ x< ln( 3 ) La risposta è: (^) x< ln( 3 )
- Si consideri la funzione^ f ( x ) = (^) log 2 ( x^3 − 4x )
a) Determinare il dominio di (^) f ed eventuali simmetrie. Poniamo delle condizioni sui valori delle variabili: (^) x^3 − 4x> 0 Risolviamo l'equazione ausiliaria: (^) x^3 − 4x= 0 x ( x^2 − 4 ) = 0 Caso 1. x= 0 Caso 2. x^2 − 4= 0 x= ± Indichiamo i punti critici trovati e gli intervalli corrispondenti sull'asse reale. Calcolare segni.
− 2 0 2
La risposta è: il dominio di f : ( −2; 0 )^ ∪ ( 2; +∞ )
