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Esercizi di Analisi Matematica -C.d.L. in Economia Aziendale -per gli studenti degli a.a. 2011/12 e precedenti Sono elencati di seguito gli esercizi-tipo che bisogna saper svolgere per^ Prof.ssa Rinauro Silvana superare un compito scritto. Gli esercizi che saranno assegnati in un singolo scritto saranno del tipo dialcuni dei seguenti
Regole per l’esame: Si dara facolta agli studenti di convalidare il voto dello scritto, se questo e compreso fra 18 e 27, senza sostenere l’orale.Chi prendera un voto superiore al 27 dovra sostenere l’orale per confermare o migliorare il voto, a meno che non si accontenti del 27.Per i voti da 15 a 17 sara obbligatorio sostenere l’orale, per poter raggiun- gere (o superare) la sufficienza.Chi avra un voto minore di di 15 (cio da 1 a 14) non sara ammesso alla prova orale e dovra ripetere la prova scritta. Chiunque abbia superato lo scritto e voglia sostenere l’orale per migliorareil proprio voto potra farlo. Ovviamente nei casi in cui ci sia il dubbio che lo studente abbia copiato ilcompito, sar`a richiesta la prova orale per poter convalidare il voto.
Esercizio 1: Per ciascuna delle funzioni sotto indicate: (a) Si determini il dominio di f ed eventuali simmetrie (3 punti); (b) Si determini il segno di f ed eventuali intersezioni con gli assi (3 punti); (c) Si determinino gli eventuali asintoti (4 punti); (d) Si determinino gli intervalli di monotonia, e i punti di massimo e minimo relativi (4 punti); ((4 punti);e) Si determinino gli intervalli di concavita e convessita e gli eventuali flessi
(f ) Si disegni il grafico (4 punti).
- f (x) = x x^2 +1−^9.
- f (x) = (^) xx 2 +1+.
- f (x) = log(1 − x).
- f (x) = x^2 − x−^2 x 2 +.
- f (x) = ex^ − e^3 x.
- f (x) = √(4 − x^2 ).
- f (x) = x x^22 −−^14.
- f (x) = (^) x 2 x−−x^1 − 6.
- f (x) = x ln x.
- f (x) = e xx^2 +1+^.
Esercizio 2: Si calcolino i seguenti limiti (6 punti):
- (^) xlim→ 0 tan^ ex^22 − (^21) x , [Risp. = 14 ];
- (^) xlim 7 → 01 sin 3−cosx^ x , [Risp. = 0];
- (^) xlim 7 → 0 2 cos 1 −x^2 x , [Risp. = 2];
- (^) xlim 7 → 0 log(sin 3x+1)x , [Risp. = 3];
- (^) xlim 7 → 1 tan( x−x− 1 1), [Risp. = 1];
- (^) xlim 7 → 0 log(2 xx +1), [Risp. = 2];
- (^) x 7 →lim+∞^ ( 1 − (^2) x^ )x , [Risp. = e−^2 ].
- (^) x 7 →lim+∞^ (^ x 2 x+1^ ) , [Risp. = 0].
- ∫^02 x^2 ex^3 −^4 dx, [Risp. = 13 (e^4 − e−^4 )]. Esercizio 5: Si dia la definizione di limite (Teoria, 5 punti):
xlim 7 →x 0 f^ (x) =^ l, nel caso cheche x 0 ed l siano numeri reali e si verifichi, usando solo tale definizione,
xlim 7 → 1 (x^ −^ 1) = 0.
Esercizio 6: Si enunci il teorema degli zeri e lo si utilizzi per provare che l’equazione f (x) = x (^5) + x − 1 = 0
ha almeno una soluzione nell’intervallo [− 1 , 1] (Teoria, 5 punti).
Esercizio 7: Si dia la definizione composta f (g(x)) e si calcoli f (g(x)) nel caso che f (x) = e^1 −x^ e g(x) = x^2 + 2x + 1 (Teoria, 6 punti).
Esercizio 8la derivata della funzione: Si dia la definizione di derivata e si calcoli, usando la definizione, f (x) = 3x (^2) nel punto x 0 = 2 (Teoria, 6 punti).
Esercizio 9funzione in un intervallo [: Si dia la definizione di massimo e minimo assoluto di unaa, b] e si enunci il teorema di Weierstrass (Teoria, 6 punti).
Esercizio 10punti). : Si spieghi il significato geometrico della derivata (Teoria, 6
Esercizio 11geometrico (Teoria: Si enunci il Teorema di Rolle e si illustri il suo significato, 6 punti).
Esercizio 12: Si enunci il Teorema di Lagrange e si illustri il suo significato geometrico (Teoria, 6 punti).
Esercizio 13illustri il suo significato geometrico (: Si enunci il teorema della media per il calcolo integrale e siTeoria, 6 punti).
Esercizio 14: Si dia la definizione di funzione convessa in un punto e di punto di flesso. e si enuncino i teoremi che si conoscono su questo argomento (Teoria, 6 punti).
Esercizio 15sono due primitive della stessa funzione: Si dia la definizione di integrale indefinito. Se f (x), definita in un intervallo, cosa F (x) e G(x) si pu`punti).o dire per la funzione F (x) − G(x)? Si giustifichi la risposta (Teoria, 6
