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Corso di Statistica per
l’impresa
Esercitazione 11 Novembre 2016
Probabilità, variabili casuali discrete e continue
Esercizio 1 Si effettui un esperimento consistente nel lancio simultaneo di due dadi.Si determini:a) la probabilità che nel primo dado esca il numero 5;b) la probabilità che in entrambi i dadi esca il numero 5;c) la probabilità che in almeno un dado esca il numero 5;d) la probabilità che solo nel secondo dado esca il numero 5 (cioè nel secondodado esce il numero 5 e nel primo dado un numero diverso da 5).
Dato che i due eventi sono indipendenti e che P(A)=P(B), si ha : Lanciando due dadi si hanno 36 risultati possibili o eventi elementari.^ a) Definisco con A l’evento «
esce il numero 5 nel primo dado»
, si ha:
a) Definisco con B l’evento «
esce il numero 5 nel secondo dado»
P(A)=
P(B)=
P(A
∪B)=P(A) + P(B) – P(A
^
^
−^
^
=^
c) la probabilità che in almeno un dado esca il numero 5
P(A
^
c) la probabilità che solo nel secondo dado esca il numero 5
(^
)^
(^
)^
(^
)
P A
B^
P A
P B
∩^
=^
⋅^
=^
⋅^
=^
=
Indicando con D l’evento: “solo nel secondo dado si presenta il numero 5”
P(D)=
Esercizio 2 Determinare:a) La probabilità di essere Maschi;b) La probabilità di essere molto soddisfatti del corso;c) La probabilità di essere molto soddisfatti e di essere Maschi;d) La probabilità di essere molto soddisfatti dato che si è Maschi;e) I due eventi (essere maschi e essere molto soddisfatti) sono indipendenti?
Soddisfazione complessiva verso il corso
Genere
Per niente
Poco
Abbastanza
Molto
Totale
Maschi
Femmine
Totale
La tabella seguente riporta la distribuzione delle valutazioni espresse dagli studentifrequentanti un certo corso universitario secondo il genere del rispondente:
10/11/
a)
Indico con la lettera A l’evento «Maschio» b)
Indico con la lettera B l’evento «Molto soddisfatto» c) La probabilità di essere molto soddisfatti e di essere Maschi :d) La probabilità di essere molto soddisfatti dato che si è Maschie) I due eventi A e B sono indipendenti?
P(B A)
P(B)
NO
Soddisfazione complessiva verso il corso
Genere
Per niente
Poco
Abbastanza
Molto
(B)
Totale
Maschi
(A)
Femmine
Totale
P(A)=
^
P(B)=
= 0,20 ^
P(A
B)
P(B A)
P(A)
=^
=^
=^
Esercizio 3 La proporzione di studenti di una certa Facoltà che hanno superato un determinatoesame è 0.3.1)
su un campione casuale di 5 studenti della stessa Facoltà stabilire la probabilità diottenere una proporzione campionaria di studenti che hanno superato quell’esamepari a 0.
Su un campione casuale di 50 studenti ricavare la probabilità di ottenere unaproporzione campionaria di studenti che hanno superato l’esame almeno pari a 0,
Risoluzione: 1) La proporzione campionaria è una variabile casuale definita da
X/n nella quale X
rappresenta il numero
di successi nelle
n estrazioni, in questo caso il valore fissato
della proporzione campionaria è 0.4 in un
campione di numerosità 5 e quindi
x=0.
Si dovrà quindi calcolare la probabilità di
ottenere 2 successi in 5 prove di Bernoulli
indipendenti, ciascuna con probabilità di successo
π
pari a 0.3;
a tale scopo
utilizziamo
la
funzione
di
distribuzione
di
probabilità
della
variabile
casuale
binomiale (
X) che fornisce appunto la probabilità di ottenere x successi in n prove
bernoulliane
(^
)^
x n
x n x
x X
−
− ⋅ = =
π
π^
1
)
Pr(^ La probabilità richiesta sarà quindi…^ La probabilità che 2 studenti sui 5 del campione (cioè una proporzione pari a 0,4)
abbiano superato l’esame è pari a 0,
(^
)^
(^3087). 0
(^7). 0 (^3). 0 ! 3 ! 5! 2
(^3). 0 1
(^3). 0 5 2
) 2
Pr(
3
2
2 5
2
= ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅
=
=^
−
X
Su un campione casuale di 5 studenti della stessa Facoltà stabilire la probabilità diottenere una proporzione campionaria di studenti che hanno superato quell’esame paria 0.
n
x^
,..., 2 , 1 =
10/11/
Esercizio 5 I laureati di una certa facoltà hanno una votazione di laurea media di 100 con deviazionestandard di 4. Supponiamo che la distribuzione dei voti sia normale.a) Calcolare la probabilità che un laureato riporti un voto alla laurea compreso tra 96 e
b) Calcolare la probabilità che un laureato ottenga un voto maggiore di 108;c) Qual è il voto che nella distribuzione ordinata ha una probabilità del 25% di essere
superata?
La variabile
voto alla laurea assume valori interi fra 66 e 110;
Posto X variabile casuale voto di laurea , risulta X ~N(
μ=100;
σ
a)
Calcolare la probabilità che un laureato riporti un voto alla laureacompreso tra 96 e 104;
(^
)^
X
Pr(
^
^
La probabilità di riportare un voto compreso tra 96 e
104 è di 0.
b) Calcolare la probabilità che un laureato ottenga un voto maggiore di 108;
X
Pr(
^
σ
μ X P
X
P
Dobbiamo trovare il valore x* del voto tale che P(X>x)=0,25, si tratta quindi delvalore del terzo quartile della distribuzione (valore per cui vale anche P(X<x)=0,75.Per determinarlo occorre leggere la tavola della v.c. normale standardizzata “alcontrario”
ossia
partendo
dall’area
(probabilità)
e^
cercare
il^
valore
di
z
corrispondente. La probabilità di riportare un voto maggiore di 108 è pari a 0.0228 c)^
Qual è il voto che nella distribuzione ordinata ha una probabilità del 25% diessere superata?
Dalle tavole della normale standardizzata, vedo che il valore più vicino a0,75 è 0,7486 corrispondente a z=0,67.Quindi partendo dall’espressione
*^ =
x
x x z
σ
μ
102, 68 è quel voto che nella distribuzione ordinata viene superato nel 25%dei casi.
