Scarica Teoremi di Rolle e Lagrange: Enunciati, Dimostrazioni e Significato Geometrico e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Matematica solo su Docsity!
MATEMATICA-ELABORATO
1)Enuncia, Dimostra ed Illustra il significato
geometrico dei teoremi di Rolle e Lagrange.
ROLLE.
(Teorema)
Data una funzione f(x) definita in un intervallo limitato e chiuso [a;b] tale che f(x) è continua in [a;b], derivabile in ]a;b[ ed f(a)=f(b), allora esiste almeno un punto c, interno all’intervallo, per il quale risulta f ’(c)=
(Dimostrazione Teorema)
Per il Teorema di Rolle vi si presentano due casi ponendo: m = f(c) <= f(x) <= f(d) = M (Con Per Ogni x appartenente ad [a;b])
- se il punto di minimo (m) è uguale al punto di massimo (M) *m=M Quindi, essendo costante, la derivata è nulla per ogni x appartenente ad [a;b]: m = f(c) = f(x) = f(d) = M (Con Per Ogni x appartenente ad [a;b]) 2)Se m è minore di M *m<M La funzione non è costante e, poiché f(a) = f(b), uno dei punti tra c e d devono essere presenti nell’intervallo. Essendo f(c) di valore minimo, per ogni incremento h (Positivo o negativo) tale che c+h appartiene a ]a;b[ si ha:
f(c+h) >= f(c) Allora, considerando i rapporti incrementali per quanto riguarda c, risulta: f(c+h)-f(c)/h >= 0 per h> f(c+h)-f(c)/h >= 0 per h< L’inverso del teorema della permanenza del segno afferma che, se esiste un intorno del punto Xo in cui f(x) >= 0 e se esiste lim f(x) = l (con x--->Xo), allora l >= 0 applicandolo, otteniamo: Lim= f(c+h) - f(c)/h >= 0 (con h-->0+) Lim= f(c+h) - f(c)/h <= 0 (con h-->0-) I due limiti rappresentano rispettivamente la derivata destra e sinistra di f(x) in c e, poiché f(x) è derivabile, devono essere finiti e coincidenti, per tanto: F’(c) = Lim f(c+h) - f(c)/h =0 (con h--->0).
(Dimostrazione Teorema di Rolle dal punto di
vista Geometrico)
(Le disegni saranno allegati in un file PDF separato con le spiegazioni sottoscritte.) Da un punto di vista geometrico, il teorema di Rolle ammette che esiste sempre un punto c in cui la tangente del grafico è parallela alla retta AB e quindi all’asse x. (disegno 1) Il teorema garantisce l’esistenza di almeno un punto c appartenente ]a;b[ in cui la derivata di f si annulla, ma nulla vieta che i punti siano più di uno. (disegno 2) Se una delle ipotesi non è soddisfatta, il teorema può non essere verificato (disegno 3)
LAGRANGE.
(Teorema)
F’(x) = F’ (x) - f(b) - f(a)/ b-a Da cui: F’(c) = F’(c) - f(b) - f(a)/ b-a = 0 Otteniamo quindi la tesi: F’(c) = f(b) - f(a)/ b-a
(Dimostrazione Teorema di Lagrange dal punto
di vista Geometrico)
(Come per Rolle,i Disegni saranno aggiunti in
un Pdf separato.)
La retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa c è parallela alla retta AB e ha quindi lo stesso coefficiente angolare, ossia: F(b) - F(a)/ b – a Essendo y = f(x) derivabile nell’intervallo aperto ]a;b[, in tutti i suoi punti il suo grafico è dotato di retta tangente. Il teorema afferma che deve esserci almeno un punto c per il quale questa retta tangente è parallela ad AB. Per capirlo, consideriamo il triangolo rettangolo ABH, dove si ha: Tg(a) = HB/AH Ma HB = F(b) - F(a) e AH= b - a Se la retta tangente in c alla curva è parallela ad AB, deve avere il medesimo coefficiente angolare, perciò tg(a) = F’(c). Sostituendo nella relazione precedente, si ha: F(b) - F(a)/ b – a = F’(c)
Anche per il teorema di Lagrange valgono osservazioni analoghe a quelle del teorema di Rolle.
