TEOREMI CALCOLO DIFFERENZIALE
(cioè che riguardano LE DERIVATE)
TEOREMA DI ROLLE
Sia f(x) una funzione definita nell'intervallo chiuso [a,b] che abbia le seguenti proprietà:
•continua nell'intervallo chiuso [a,b], cioè estremi compresi;
•derivabile nell'intervallo aperto, cioè esclusi gli estremi, (a,b)
•assume lo stesso valore se la si calcola negli estremi dell'intervallo → f(a) = f(b)
Se tutte e tre le ipotesi sono verificate, esiste almeno un punto c, interno all'intervallo [a,b], nel
quale si annulla la derivata prima della funzione, cioè: f'(c) = 0 → la derivata prima della funzione
calcolata nel punto c è = a 0.
Ricordo che, per definizione, un punto in cui si annulla la derivata prima è detto punto stazionario,
cioè potrà essere un punto di massimo o minimo per la funzione f(x).
Se la derivata prima della funziona si annulla in tutto l'intervallo considerato, la funzione sarà
costante.
Questo perchè → essendo la funzione y = f(x) continua nell'intervallo chiuso [a, b], per il teorema
di Weierstrass, essa ammette un massimo e un minimo assoluti. Se tali valori massimo e minimo
sono assunti dalla funzione negli estremi a e b dell'intervallo, per l'ipotesi f(a) = f(b), essi sono
necessariamente uguali e quindi la funzione viene ad essere costante in (a, b), ed allora la sua
derivata è nulla in tutti i punti dell'intervallo.
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