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INDICE 1
Indice
1 Cinematica 3
1.1 Moto rettilineo.......................... 4
1.1.1 Velocit`a nel moto rettilineo............... 4
1.1.2 Velocit`a istantanea.................... 4
1.2 Moto rettilineo uniforme..................... 5
1.2.1 Accelerazione media................... 5
1.2.2 Accelerazione istantanea................. 6
1.2.3 Velocit`a in funzione della posizione........... 7
1.3 Moto curvilineo nello spazio: il vettore velocit`a........ 8
1.3.1 Velocit`a come variazione nel tempo dell’ascissa curvilinea 9
1.4 Moto Curvilineo nello spazio: il vettore accelerazione..... 10
1.4.1 Moto con accelerazione a=cost.............. 11
1.4.2 Che tipo di moto si ottiene se a=costante?....... 11
1.5 Moto balistico........................... 11
1.5.1 Equazione della traiettoria nel moto balistico...... 12
1.6 Componenti Tangenziale e Normale dell’accelerazione..... 14
1.7 Moto circolare........................... 16
1.7.1 Velocit`a angolare..................... 16
1.7.2 Moto circolare uniforme................. 17
1.7.3 Moto circolare vario................... 18
1.8 Moto armonico semplice..................... 19
1 Cinematica
La meccanica riguarda lo studio del moto dei corpi materiali. Per facilitare
lo studio del moto, si parla di punto materiale, che `e un corpo privo di di-
mensioni che presenta dimensioni trascurabili rispetto a quelle dello spazio in
cui puo muoversi o degli altri corpi con cui puo interagire. L’analisi completa
del moto di un corpo riguarda sia il collegamento del moto con i corpi circo-
stanti, studiata dalla dinamica che la descrizione geometrica dell’evoluzione
temporale del fenomeno in movimento. La parte che si occupa di descrivere
il moto dei corpi dal punto di vista geometrico, senza analizzare le cause che
lo generano, e detta cinematica. Un corpoe in moto in un sistema di
riferimento (fissare la posizione dei corpi rispetto ad altri) quando la sua
posizione rispetto al sistema cambia nel tempo. La traiettoria `e il luogo
delle posizioni occupate successivamente dal punto in movimento e costitui-
sce una curva continua nello spazio. Le grandezze di maggiore interesse sono:
SPAZIO, VELOCIT A, ACCELERAZIONE e TEMPO. La quietee
un tipo di moto in cui le coordinate restano costanti nel tempo quindi v(t)=0,
a(t)=0.
1.1 Moto rettilineo
Un corpo si muove di moto rettilineo quando la sua traiettoria `e una retta
o un segmento. Supponiamo, per convenzione, che il moto avvenga sull’asse
x. La posizione dell’oggetto sar`a data dalla distanza da un punto arbitrario
O che scegliamo come origine, una volta scelta la direzione dell’asse. Se
scegliamo le coordinate x=0, la posizione del corpo sar`a data dalla coordinata
x in funzione del tempo: x=x(t) che `e l’equazione oraria del moto.
1.1.1 Velocit`a nel moto rettilineo
Figura 1: Moto rettilineo
Se il punto P si muove dal punto A al pun-
to B di coordinate x e x’ nell’intervallo di
tempo [t, t
′ ], definiamo velocit`a media la
quantit`a:
vm =
∆x
∆t
x
′ − x
t
′ − t
1.1.2 Velocit`a istantanea
Per individuare precisamente la x(t) e le sue variazioni, dobbiamo suddivi-
dere l’intervallo ∆x in numerosi intervalli ∆x 1 , ∆x 2 , ..., ∆xn percorsi negli
intervalli di tempo ∆t 1 , ∆t 2 , ..., ∆tn.
v(t) = x
′ (t) = lim ∆t→ 0
∆x
∆t
dx(t)
dt
Sperimentalmente, per il calcolo della velocit`a istantanea, occorre osservare
il corpo in moto e misurare il tempo di passaggio in due posizioni vicinissime.
Ovviamente si evince che la misura e sempre di una velocita media. Nel S.I.,
la velocit`a si esprime in
m
s
o in
km
h
1
. Se si conosce la funzione v=v(t), si pu`o
1 Il passaggio da
km h
a
m s
`e dato dall’operazione di equivalenza:
1
km
h
=
1000
60 · 60
m
s
=
1000
3600
m
s
=
1
3 , 6
m
s
Basta infatti dividere il valore dei
km
h
per 3,6 mentre si deve moltiplicare per 3,6 se si
vuole passare da
m
s
a
km
h
1.2.2 Accelerazione istantanea
Con un procedimento analogo a quello utilizzato per passare dal concetto
di velocita media a quello di velocita istantanea, definiamo l’accelerazione
istantanea, cioe la rapidita di variazione temporale della velocit`a, come :
a(t) =
dv(t)
dt
d
2 x(t)
dt
2
Dimostrazione.
a(t) = v
′ (t) = lim ∆t→ 0
∆v
∆t
dv(t)
dt
d
2 x(t)
dt
2
Anche in questo caso valgono i discorsi sull’improbabilit`a di calcolare spe-
rimentalmente l’accelerazione istantanea. Nel S.I., l’accelerazione si misura
in
m
s^2
a = 0 Moto rettilineo uniforme
a > 0 La velocit`a cresce nel tempo =⇒ moto accelerato
a < 0 La velocit`a decresce nel tempo =⇒ moto decelerato
Se si conosce la funzione a=a(t), si pu`o ottenere, integrando, l’equazione
oraria del moto:
v(t) = v 0 +
Z
t
t 0
a(t)dt
Dimostrazione.
a(t) =
dv(t)
dt
d
2 x(t)
dt
2
Z
v
v 0
dv =
Z
t
t 0
a(t)dt =⇒ v(t) = v 0 +
Z
t
t 0
a(t)dt
che, con a=cost., diventa:
v(t) = v 0 + a(t − t 0 ) (1.2)
Dimostrazione.
v(t) = v 0 +
Z
t
t 0
a(t)dt = v 0 + a
Z
t
t 0
dt = v 0 + a(t − t 0 )
e, integrando ancora abbiamo:
x(t) = x 0 + v 0 (t − t 0 ) +
a(t − t 0 )
2 (1.3)
Dimostrazione.
Considerando l’equazione 1.
x(t) = x 0 +
Z
t
t 0
v(t)dt = x 0 +
Z
t
t 0
[v 0 + a(t − t 0 )]dt =
x 0 + v 0
Z
t
t 0
dt + a
Z
t
t 0
(t − t 0 )dt
=⇒ x(t) = x 0 + v 0 (t − t 0 ) +
a(t − t 0 )
2
2
Se nella condizione iniziale poniamo t 0 = 0, abbiamo:
v(t) = v 0 + at x(t) = x 0 + v 0 t +
at
2
1.2.3 Velocit`a in funzione della posizione
Nel moto accelerato abbiamo una relazione tra posizione e velocit`a:
v
2 −
v
2
0
Z
x
x 0
adx
Dimostrazione.
a =
dv
dt
=⇒ a =
dv
dx
dx
dt
= v ·
dv
dx
=⇒ vdv = adx
Z
v
v 0
vdv =
Z
x
x 0
adx = =⇒
v
2
v
v 0
Z
x
x 0
adx
v
2 −
v
2
0
Z
x
x 0
adx
2 Z t
t 0
(t − t 0 )dt =
1
2
[(t − t 0 )
2 ]
t t 0 =
1
2
(t − t 0 )
2 −
1
2
(t 0 − t 0 )
2
1
2
(t − t 0 )
2
A mano a mano che B (→ B’→B”) si avvicina ad A. Il vettore ∆
r cambia
in modulo, direzione e verso e di conseguenza varia la velocit`a media. Al
diminuire di ∆t, B si avvicina sempre di piu ad A e quandoe vicinissimo la
direzione di ∆
r `e tangente alla curva in A definita da
v = v
u (^) T
e in ogni punto `e tangente alla curva. Il modulo di
v `e:
v | =
q
v
2 x
2 y
2 z
1.3.1 Velocit`a come variazione nel tempo dell’ascissa curvilinea
Quando la particella
si sposta da A a B,
lo spostamento ∆s
lungo la curva sar`a
dato dalla lunghezza
dell’arco
d AB.
Considerando:
v = lim ∆t→ 0
r
∆t
= lim ∆t→ 0
r
∆s
∆s
∆t
lim ∆s→ 0
r
∆s
lim ∆t→ 0
∆s
∆t
Il primo fattore modifica ∆
r in ∆s intendendo il percorso di B che tende
ad A. Quando B → A =⇒ |∆
s | = ∆s dunque:
lim ∆s→ 0
r
∆s
d
r
ds
|d
r |
u (^) T
ds
ds/
u (^) T
ds^ /
u (^) T
3 che rappresenta il versore tangente alla curva A, che chiamiamo
u (^) T. Il
secondo fattore `e:
lim ∆t→ 0
∆s
∆t
ds
dt
Quindi possiamo scrivere
v =
ds
dt
u (^) T dove
ds
dt
rappresenta il modulo di v
mentre
u (^) T la direzione e il verso. Il modulo della velocit`a istantanea coincide
con l’effettivo spazio percorso nell’unit`a di tempo lungo la curva.
1.4 Moto Curvilineo nello spazio: il vettore accelera-
zione
Nel moto curvilineo la velocita puo cambiare sia in modulo che in direzione,
ma `e sempre tangente alla traiettoria.
3 notiamo che, piu B tende ad A, tanto piu si ha |∆r| → ∆s da cui otteniamo che, per
piccoli spostamenti, |d
−→ r | = ds.
La figura indi-
ca la velocit`a negli
istanti t e t’, quan-
do la particella si tro-
va rispettivamente in
A e B. La variazione
∆v = v
′ −v. Nell’intervallo ∆t, chiamiamo accelerazione media, il vettore:
a =
v
∆t
Questa e parallela a ∆v e si puo scrivere:
a =
∆vx
dt
u (^) x +
∆vy
dt
u (^) y +
∆vz
dt
u (^) z
L’accelerazione istantanea `e definita da:
a = lim
∆t→ 0
v
∆t
d
v
dt
= lim
∆t→ 0
∆vx
∆t
u (^) x +
∆vy
∆t
u (^) y +
∆vz
∆t
u (^) z
dvx
dt
u (^) x +
dvy
dt
u (^) y +
dvz
dt
u (^) z
L’accelerazione `e un vettore che ha la stessa direzione della variazione istan-
tanea di
v. Poich´e la variazione di velocitae diretta verso la parte interna
della curva, l’accelerazione `e sempre diretta verso la parte interna della curva
e, in generale, non `e ne tangente ne perpendicolare alla traiettoria. Tenendo
conto che
v =
d
−→ r
dt
si pu`o scrivere:
a =
d
r
dt
2
dove il modulo `e:
a | =
q
a
2 x
2 y
2 z
1.4.1 Moto con accelerazione a=cost.
Se a=cost. si ricava la velocit`a facendo:
v (t) =
v 0 +
a (t − t 0 ) (1.4)
Dimostrazione.
a (t) =
d
v (t)
dt
d
x (t)
dt
2
Z −→
v
−→ v 0
d
v =
Z
t
t 0
a (t)dt =⇒
v (t) =
v 0 +
Z
t
t 0
a (t)dt =
v 0 +
a (t − t 0 )
Scomponendo sugli assi:
x = v 0 xt = v 0 t cos θ
y = v 0 yt −
1
2
gt
2 = v 0 t sin θ −
1
2
gt
2
Si nota che:
- lungo l’asse x si ha un moto rettilineo uniforme
- lungo l’asse y si ha un moto rettilineo uniformemente accelerato
vista la presenza dell’accelerazione di gravit`a g
1.5.1 Equazione della traiettoria nel moto balistico
Seguono adesso una serie di risultati che si ottengono dal sistema 1.6:
Traiettoria
y = x tan θ − x
2
g
2 v
2 0
cos
2 θ
Dimostrazione.
Isolando il tempo nella prima equazione del sistema 1.6 e svolgendo i
calcoli si ha:
y =
v 0 y
v 0 x
x −
g
x
v 0 x
2
= x tan θ − x
2
g
2 v
2 0
cos
2 θ
Tempo per hmax
t
′
v 0 sin θ
g
Dimostrazione.
Si consideri l’equazione sull’asse y del sistema 1.6. Si risolva ponen-
do t=t’ per distinguere un qualunque istante di tempo dall’istante di
tempo massimo:
vy = 0 =⇒ vy = v 0 y − gt
′ = 0 =⇒ t
′
v 0 y
g
v 0 sin θ
g
Altezza massima
y =
v
2 0
sin
2 θ
g
Dimostrazione.
Si consideri la coordinata della posizione di altezza massima y all’istan-
te di tempo t’ calcolata per hmax
y = y(t
′ ) =⇒ y = v 0 yt
′ −
gt
′ 2
= v 0 sin θ ·
v 0 sin θ
g
g ·
v
2 0
sin
2 θ
g
2
v
2
0
sin
2 θ
g
v
2
0
sin
2 θ
g
v
2
0
sin
2 θ
g
Gittata
R =
v
2 0
g
sin 2θ
Dimostrazione.
Si consideri l’equazione della traiettoria e si faccia la derivata di x
rispetto a y e si indichi come ¯x il valore di x che si ottiene svolgendo
quell’equazione. La gittata `e il valore di questa x ma raddoppiata:
dy
dx
= tan θ − x
g
v
2 0
cos
2 θ
=⇒ x¯ =
v
2 0
sin θ cos θ
g
=⇒ R = 2¯x =
v
2 0
g
2 sin θ cos θ =
v
2 0
g
sin 2θ
Tempo di volo
T = 2t
′
2 v 0 sin θ
g
1.6 Componenti Tangenziale e Normale dell’accelera-
zione
Consideriamo una particella che si muove
lungo una curva: all’istante t si trova in A
con velocit`a v ed accelerazione a. Poich´e a
e diretta verso la concavita della traiettoria,
possiamo scomporla in una componente tan-
genziale (aT ) e una normale (aN ). Notiamo
che:
cio`e
dφ
ds
ρ
dφ
dt
dφ
ds
ds
dt
dφ
ds
· v =⇒
dφ
dt
v
ρ
d
u (^) T
dt
v
ρ
u (^) N
Quindi da
a =
d
v
dt
d
dt
(v
u (^) T ) =
dv
dt
u (^) T + v
d
u (^) T
dt
a =
d
v
dt
dv
dt
u (^) T +
v
2
ρ
u (^) N
dove
- il primo termine `e un vettore tangente alla curva e il suo modulo for-
nisce la variazione nel tempo del modulo di
v. Il termine `e proprio
l’accelerazione tangenziale che in modulo risulta essere:
aT =
dv
dt
- il secondo termine e un vettore ortogonale alla curva ede la causa della
variazione di
v Il termine `e l’accelerazione normale che in modulo
risulta essere:
aN =
v
2
ρ
Se il moto e rettilineo, cioe non cambia la direzione della velocit`a, il raggio
di curvatura ρ = ∞ percio aN = 0. Se il motoe circolare uniforme,
v = cost., aT = 0
1.7 Moto circolare
1.7.1 Velocit`a angolare
Consideriamo il caso di una traiettoria cir-
colare. La velocita v sara perpendicolare al
raggio e lo spazio percorso da un punto O
sulla circonferenza sar`a s = Rθ, allora
v =
ds
dt
u (^) T
con
v =
ds
dt
= R
dθ
dt
La quantit`a ω =
dθ
dt
si chiama velocita angolare ede uguale alla rapidit`a
con la quale cambia l’angolo θ nel tempo. La sua unita di misurae s
− 1 quindi
v = ωR
La velocita angolare puo essere espressa come un vettore la cui
direzione e ortogonale al piano del moto ed il versoe quello
di avanzamento di una vita destrorsa nel verso della particella.
Consideriamo un punto materiale A che
si muove di moto circolare, la cui posizione
pu`o essere definita dal vettore r nel sistema
Oxyz. Il vettore r `e un vettore di modulo
costante che descrive una superficie canonica
di O. Risulta
d
r
dt
ω ×
r
con
ω =
dθ
dt
quindi
−→ v =
ω ×
r
ω `e un vettore perpendicolare al piano della circonferenza, con verso definito
dalla regola della mano destra. Il modulo di v `e
v = ωr sin γ
ma dato che
R = r sin γ =⇒ v = ωR
1.7.3 Moto circolare vario
Se ω cambia nel tempo, possiamo definire l’accelerazione angolare
α =
d
ω
dt
Poich´e il moto circolare `e piano, la direzione di
ω rimane la stessa, ed `e
anche quella di d
ω e quindi di
α. La relazione precedente vale anche per i
moduli
α =
dω
dt
d
2 θ
dt
2
Se l’accelerazione angolare `e costante, il moto si dice circolare uniforme-
mente accelerato.
Z ω
ω 0
dω =
Z
t
t 0
αdt =⇒ ω = ω 0 + α(t − t 0 )
e, ponendo t 0 = 0
ω = ω 0 + αt
Poich´e ω =
dθ
dt
Z
θ
θ 0
dθ =
Z
t
t 0
ω 0 dt + α
Z
t
t 0
(t − t 0 )dt =⇒ θ = θ 0 + ω 0 (t − t 0 ) +
α(t − t 0 )
2
Questa relazione da la posizione angolare in ogni istante del tempo, nel caso
in cui α sia costante. Ponendo t 0 = 0
θ = θ 0 + ω 0 t +
αt
2
In un moto circolare vario abbiamo
a =
d
v
dt
d
dt
ω ×
r ) =
d
ω
dt
×
r +
ω ×
d
r
dt
α ×
r +
ω ×
v =
α ×
r +
ω × (
ω ×
r )
dove
α ×
r ´e il valore dell’accelerazione tangenziale
aT =
dv
dt
= R
dω
dt
= R
d
2 ω
dt
2
= Rα
ω × (
ω ×
r ) ´e il valore dell’accelerazione centripeta di modulo
aN =
v
2
R
= ω
2 R
1.8 Moto armonico semplice
Consideriamo un punto materiale P che si
muove di moto circolare uniforme. Le coor-
dinate x e y delle posizioni di P si muoveran-
no sull’asse x e sull’asse y con le leggi orarie
considerando il fatto che θ(t) = θ 0 + ωt
x(t) = R cos θ(t) =⇒ x(t) = R cos(ωt + θ 0 )
y(t) = R sin θ(t) =⇒ y(t) = R sin(ωt + θ 0 )
Il punto compir`a un moto rettilineo e periodico generando un moto
armonico dove
ω e la pulsazione (coincide numericamente con la velocita angolare, in-
fatti si misura in s
− 1 o Hz, Hertz, ma non ha lo stesso significato
fisico);
ωt + θ 0 `e detta fase del moto armonico;
θ 0 `e un valore costante detto fase iniziale;
x(t) e detto elongazione ede la distanza da O su ogni punto della circon-
ferenza (che ovviamente `e costante nel tempo);
R `e detto ampiezza dell’oscillazione;
O `e detto centro dell’oscillazione.
Derivando le due equazioni precedenti abbiamo
v =
dx
dt
= −Rω sin(ωt + θ 0 )
a =
dv
dt
d
2 x
dt
2
= −Rω
2 cos(ωt + θ 0 ) = −ω
2 x
Nel moto armonico, l’accelerazione `e in ogni istante proporzionale e opposta
all’elongazione. La relazione
a =
d
2 x
dt
2
= −Rω
2 cos(ωt + θ 0 ) = −ω
2 x
si trova scritta solitamente come
d
2 x
dt
2
2 x = 0
