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Fisica
Lo scopo della fisica è la comprensione quantitativa di fenomeni di base che
avvengono nel nostro mondo. Per far ciò utilizzeremo dei modelli, ovvero degli schemi mentali, delle teorie e delle leggi, ovvero delle relazioni tra grandezze o descrizioni di fenomeni.
Grandezze fisiche
Per definire una grandezza fisica, dobbiamo tradurre in forma quantitativa un
concetto fisico, cioè stabilire una serie di operazioni che consentano di associare al concetto fisico un valore numerico; dobbiamo usare strumentazioni e misure; dobbiamo definire un campione di riferimento, da usare come unità di misura e infine, dobbiamo realizzare una metodologia per misurare la grandezza, ovvero come si usa il campione di riferimento. Un esempio di grandezza fisica è la MASSA , che si suddivide in massa inerziale (ovvero la resistenza che un corpo oppone al cambiamento del suo stato) e massa gravitazionale (ovvero la quantità di materia che viene attratta dalla forza di gravità). Se prendiamo in considerazione l’oggetto appeso al gancio del dinamometro ed è attratto dalla forza di gravità, possiamo definire operativamente la massa come quella quantità che mi fa allungare una molla di una certa quantità. Posso anche misurare la massa di un oggetto, ad esempio questo peluche, mettendolo i una bilancia e confrontarlo con un campione di riferimento di
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massa nota e vedere a quanti unità di riferimento corrisponde il peluche,
quando la bilancia è in equilibrio. Questo è il metodo delconfronto.
UNITÀ DI MISURA FONDAMENTALI
del S.I. (Sistema Internazionale)
metro ( m ) = unità di misura della LUNGHEZZA. Come unità di misura è stata accettata, inizialmente, solo dal sistema napoleonico. Fino alla fine del 1800, quando è entrato in vigore il sistema metrico, in realtà, tutti i paesi avevano delle unità di misura diverse. Infine, fu data questa definizione di metro: la distanza percorsa dallaluce nel vuoto durante il tempo di 1/299 792 558 sec. Allo stesso modo, furono definite altre unità di misura: kilogrammo ( kg ) = unità di misura della MASSA. Il kilogrammo è il peso del campione di iridio platino conservato all’ufficio internazionale di pesi e di misure di Sevres, in Francia. secondo ( sec ) = unità di misura della TEMPO. Il secondo fu definito, fino al 1967, come 1/86400 di un giorno solare medio (60 sec * 60 min * 24 h = 86400 s). Infine, usando un orologio atomico, fu definitocome 9 192 631 770 volte il periodo di oscillazione della radiazione dell’atomo di Cesio. Le altre unità fondamentale sono:
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Con la notazione scientifica esponenziale e le proprietà delle potenze si
possono rendere i calcoli più semplici e per capire subito l’ ORDINE DI
**GRANDEZZA ***.
CIFRE SIGNIFICATIVE
Cifre significative sono le cifre di cui io mi fido, ovvero che siconoscono in modo attendibile. Se si fa una misurazione e si ha un’incertezza di 0.1 cm. L
1
= 23.5 cm 3 cifre significative 23.4/23.
L
2
= 5.6 cm 2 cifre significative 5.5/5.
Quando si moltiplicano (o dividono) diverse grandezze, il numero di cifre significative della risposta finale ha lo stesso numero di cifresignificative del numero con il più basso numero di cifre significative. Tra 23.5 cm e 5.6 cm, 5.6 è il numero con meno cifre significative. Lecifre significative sono 2 e se devo calcolare l’area, quindi il prodotto delle 2 lunghezze, si devono ottenere 2 cifre significative. A = L
1
*L
2
= 23.5*5.6 = 131.6 cm
2
il risultato ha 4 cifre significative
In questo caso, cosa si fa? Si approssima per difetto, i numeri dopo lavirgola non si considerano A=130 cm
2
Lo 0 non è mai una cifra significativa.
0.01 oppure 0.0075 gli 0 non sono cifre significative, servono solo a segnare il decimale. Spesso si usa la notazione esponenziale 2500 = 2,5 10
3
(2 cifre sign)
2,50 10
3
(3 cifre sign)
Quando si sommano (o sottraggono) 2 grandezze il numero di POSTI DECIMALI nel risultato è uguale al PIÙ PICCOLO DI POSTIDECIMALI DI CIASCUN TERMINE NELLA SOMMA. 321 + 4,56 = 325,56 = 326 (in questo caso il risultato deve avere 3 cifre significative in quanto si prende in considerazione 4,56 )
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1.01 + 0. 0003 = 1. 0004
ORDINE DI GRANDEZZA L’ordine di grandezza è la potenza di 10 del numero che descrivequella grandezza. Supponiamo di avere i numeri: 0.0067 = 6.7 x 10
ordine di grandezza = - 3
13500 = 1,35 x 10
4
4
ordine di grandezza
Gli errori e le stime sono accettabili ± 10
Pag. 1 a 8 Il Volume Il volume di un oggetto costituito da un materiale omogeneo è il numero di cubi di unità standard che riempirebbero perfettamente lo spazio occupato dall’oggetto. Gli angoli sono grandezze derivate adimensionali, sono un rapporto tra arco e raggio. Sono adimensionali perché è data dal rapporto di due grandezze uguali. Il radiante è l’angolo che sottende un arco di mezza circonferenza. Le grandezze si dividono in scalari identificabili con un numero (età, volume) e vettoriali descritte da intensità, direzione e verso (forza, velocità, spostamento). Lo spostamento è noto se sono note le coordinate iniziali e finali indipendentemente dal percorso. La lunghezza della freccia indica l’intensità, ovvero la distanza più breve tra i punti estremi, la freccia indica il verso. La distanza invece dipende dal percorso. Δ = spostamento Δx = X f -
X
i Sarà positivo se X f è maggiore di X i Proprietà dei vettori
quando i vettori hanno stesso modulo, direzione e verso
costruzione geometriche, m. parallelogramma o punta coda Disegno il vettore A e poi poggio l’origine del vettore B sulla punta del vettore A. La somma di questi vettori sarà un vettore che avrà l’origine nell’origine di A e fine nella punta B. Parallelogramma Tracciare 𝐴
e aggiungere 𝐵
(come nel punta-coda) e costruire un parallelogramma. Inoltre, vale la proprietà commutativa della sommache quella associativa della somma Commutativa 𝐴
Associativa se abbiamo la somma di 3 vettori possiamo prima sommare i primi due e poi il terzo e la somma sarà uguale, oppure secondo e terzo e poi il primo e sarà sempre uguale
sottrazione: somma 𝐴
e dell’opposto di 𝐵
.
L’opposto del vettore 𝐵
è definito come −𝐵
che sommato a 𝐵
) = 0
L’opposto è un vettore che ha esattamente lo stesso modulo, stessa direzione, ma verso opposto.
Sommare 𝐴
) equivale a sottrare 𝐵
da 𝐴
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Moltiplicazione vettore-scalare
R
+ S
A
se la grandezza scalare è positiva, la risultante avrà la stessa direzione e verso di A
e
modulo 𝑠𝐴⃗ -
Se S < 0 (negativo) 𝑅
avrà verso opposto ad 𝐴
(modulo 𝑆 ⋅ 𝐴)
Esistono due tipi di prodotti:
Scalare : tra due vettori 𝐴
e 𝐵
è grandezza scalare data da ABcosα
Vettoriale : tra due vettori 𝐴
e 𝐵
è una grandezza vettoriale di modulo ABsenα, la
direzione è ortogonale al piano formato dai vettori 𝐴
e 𝐵
Considerare i vettori 𝐴
e 𝐵
posizionati come il pollice e l’indice e il
prodotto ortogonale al piano che formano. Il verso sarà quello che si
segue per fare sovrapporre 𝐴
e 𝐵
(regola della mano destra)
Risulta utile inserire i vettori in uno spazio di coordinate cartesiane.
Le operazioni si possono fare tramite operazioni tra le componenti
cartesiane dei vettori.
Ax e Ay (componenti) assumeranno valori positivi o negativi a seconda
di come è orientato il vettore.
Un sistema per descrivere vettori o punti è attraverso le coordinate
polari. Un punto di coordinate polari (x; y) sarà espresso da un vettore r
e un angolo 𝜃 (teta) misurato in senso antiorario rispetto all’asse x
positivo
𝑦
𝑆𝑒𝑛𝜃 =
𝑟
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑡𝑔 𝜃
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- La velocità è negativa quando l’oggetto si muove nel verso delle x decrescenti
(equivalente di andare in retromarcia, la V è sempre quella ma varia il verso)
- (il modulo R non è mai negativo)
- La velocità media si calcola
Se la posizione della macchina viene calcolata ogni 10 secondi. Devo calcolare la velocità che la macchina ha tra (A) e (B), poi tra (D) ad (E), (E) ad (F).
- V
1
55−
25 = 2.5m/s V 2
−40−
40 =-4m/s 10 10 10 10
- V
3
−55−(−40) = −1.5 m/s 10 La Vmed dipende solo dalla posizione iniziale e finale, non dipende dal percorso, non fornisce dettagli sul moto. Si usa anche la velocità scalare media che dipende dal percorso per questo può essere completamente diversa dalla Vmed ed è data da:
V
Med Scalare= 𝑑 ∆𝑡 d=distanza Riprendendo la definizione di Vmed: Δx è graficamente la variazione delle x; il rapporto ∆𝑥 è la tangente dell’ipotenusa. ∆𝑡 La velocita media è data (geometricamente) dalla pendenza dell’ipotenusa del triangolo rettangolo avente base Δt e altezza Δx Velocità Istantanea V x Avvicinando sempre più la posizione B ad A l’ipotenusa che rappresenta la velocità si sposta finché coincide con la tg alla curva. Posso definire una velocità istantanea attraverso i limiti, posso fare tendere a 0 l’intervallo di osservazione. Dunque, la velocità istantanea è il lim ∆𝑥 ∆𝑡→ ∆𝑡 Anche se il denominatore tende a zero la velocità non è infinita, il processo dal limite è collegato alla derivata dunque, il limite viene ∆𝑡→ 0 detta derivata di una grandezza x rispetto a t e la velocità istantanea in termini di calcolo differenziale si scrive 𝑑𝑥 𝑑𝑡 La velocità istantanea può essere positiva, negativa o nulla. La pendenza della tg nel punto A rappresenta la Velocità istantanea (V x ) nel punto A Vmed= ∆𝑥
𝑥 𝑓 −𝑥 𝑖 ∆𝑡 𝑡 𝑓 −𝑡 𝑖
Pag. 5 a 8 Moto a velocità costante Data una particella che si muove a V costante la Vmed=Vistan
V
x
∆𝑥
𝑥 𝑓 −𝑥 𝑖 ∆𝑡 𝑓 𝑖 ∆𝑡
𝑓
𝑖
𝑥
La posizione finale di una particella è data dalla sua posizione nel tempo iniziale ti più lo spostamento effettuato nell’intervallo Δt, dato da V x Δt Rappresentato graficamente: la pendenza è la x in funzione di t e sarà la velocità(ed è una retta che passa per un punto). Il tempo iniziale si sceglie 0 e tf=t e pertanto non avrò un Δt quindi sarà
𝑓
𝑖
𝑥
𝑡 dove Vx è costante
Accelerazione L’ accelerazione è la variazione di velocità nell’intervallo di tempo considerato, è una grandezza vettoriale. L’unità di misura è m/s 2 L’accelerazione media non dipende dai dettagli del moto, identificato solo da V f
- V
i se voglio una descrizione più dettagliata posso fare tendere a 0 il t e otterrò l’accelerazione istantanea 𝑎 = lim Δ𝑉
𝑑𝑉 e sarà la pendenza del grafico velocità-tempo. 𝑡→ Δ𝑡 𝑑𝑡 Se grafichiamo la velocità in funzione del tempo il rapporto tra il ΔV e il Δt sarà pari alla pendenza che congiunge il punto iniziale con quello finale. Al processo del limite quando il Δt tende a 0, A si approssima a B e quella che era l’ipotenusa diventerà la tg al punto, quindi avrò un’accelerazione che definisco punto per punto. La pendenza della tg della traiettoria in quel punto identificherà l’accelerazione. Ho due punti A e B dalle proiezioni di questi ottengo V xi e V xf e così ho ΔV x allo stesso modo per il Δt. La pendenza sarà dunque uguale all’accelerazione media, quella istantanea sarà la pendenza della tg in ciascunpunto
𝑚𝑒𝑑
𝑥𝑓
𝑖
𝑓
𝑖 a=0 velocità costante a>0 accelerazione costante nel verso della velocità a<0 accelerazione costante nel verso opposto alla sua velocità Si ha a<0 quando velocità positive diminuiscono, velocità negative aumentano
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2 1 2 Se io voglio ottenere delle leggi che esprimano la posizione in funzione della velocità e non dell’accelerazione, siccome l’ax è costante per ogni intervallo di tempo essa aumenterà sempre con la stessa velocità, dunque posso considerare una Vmed tra un istante iniziale e finale e posso definirla come una media aritmetica tra due istanti 𝑉𝑚𝑒𝑑 = 𝑉 𝑥𝑓 −𝑉 𝑥𝑖 2 La vmed è anche uguale Δ𝑥 , moltiplico entrambi i membri per Δt ed esprimo x f Δ𝑡 xi=Vmed*Δt= 𝑉 𝑥𝑓 −𝑉 𝑥𝑖
2 Isolando xf= 1 solo se a x è costante.
𝑖
2
𝑥𝑖
𝑥𝑓
Se io so la Vxi e l’ax la xf diventerà: 1
𝑓
𝑖
2
𝑥
2 sempre se ax è costante. Si arriva a questa formula sostituendo a Vxf l’espressione di Vx in funzione dell’ax 𝑥 = 𝑥 1
𝑓 𝑖 2 𝑥 𝑥𝑓 𝑥𝑓 𝑥𝑖 𝑥 Esiste una quarta equazione della Vx in funzione di x. Si ottiene sostituendo t da 𝑥 𝑓
𝑖
𝑥𝑖 1
𝑥
2 ricavato da 𝑉 𝑥𝑓
𝑥𝑖
𝑥 ∗ 𝑡 ottenendo: utile quando non abbiamo informazioni sul t ma abbiamo Vxi e Vxf. Riassumendo graficamente: Quando mi sposto da una posizione iniziale ad una posizione finale nel grafico x in funzione di t, la pendenza sarà la velocità In questo grafico la pendenza sarà l’a x e graficamente ottengo l’equazione
𝑥𝑓
𝑥𝑖
𝑥
Particella con accelerazione costante.
𝑥𝑓
𝑥𝑖
𝑥 ∗ 𝑡 velocità in funzione di t
𝑓
𝑖
𝑥
𝑥𝑓 ) ∗ 𝑡 Posizione in funzione di Vx e t
𝑓
𝑖
𝑥𝑖
1 2
𝑥
Posizione in funzione di t
𝑥𝑓 2
𝑥𝑖 2
𝑥
𝑓
𝑖 ) Vx in funzione di x
𝑥𝑓
𝑥𝑖
𝑥
𝑥𝑓 2
𝑥𝑖 2
𝑥 𝑓 𝑖 2
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1
2
Moti in caduta libera
Tutti gli oggetti, leggeri o pesanti, cadono con la stessa accelerazione, in assenza di aria.
Accelerazione di gravità, vettore diretto verso il centro della terra. a= ay = - g = - 9,8 m/s
2
1
𝑓
𝑖
𝑥
𝑖
2
𝑥
(se a è costante)
2
0
Moto in caduta libera: agisce solo la forza gravitazionale moto con accelerazione costante
Tutti gli oggetti se lasciati cadere raggiungono il pavimento con a x
costante.
Se lasciamo cadere un foglio ed una mela arrivano in due momenti diversi, se appallottolo il foglio
arrivano allo stesso momento. In questo caso la differenza è veramente minima, si tratta di frazioni
di secondi, ed è dovuta alla resistenza dell’area. Se noi facciamo cadere una piuma e una mela in
assenza di aria, vedremo che la posizione della piuma e della mela è quasi la stessa.
Gli oggetti arrivano al pavimento allo stesso momento solo in assenza di aria (nel vuoto).
Quando un corpo cade l’unica cosa che agisce è la forza di gravità, possiamo utilizzare le leggi
dell’accelerazioni sostituendola con la gravita pari = - 9.8m/s
2
È dovuta all’attrazione della Terra nei confronti dei corpi dotati di massa e diretta verso il centro di
essa. Ecco perché si indica con vettore perché ax è un vettore, col segno meno, g tuttavia è il valore
del modulo quindi non si indica con la freccia (il segno indica la direzione), è un vettore diretto
lungo l’asse delle y negativo. Posso ricavare l’equazione che ho ottenuto per ricavare lo spazio in
funzione di Vxi e t e ax , è un problema unidimensionale perché andrà solo in una direzione che è
quella verticale e dovrò dunque convertire la x in una y.
Se considero il punto di partenza la y 0 e inizio a misurare dal punto in cui cade l’oggetto che avrà
velocità V 0 lo spazio percorso sarà uguale a 𝑦 = 𝑉 0
2
2
Pag. 3 a 6 Traiettoria: insieme di puntini che il nostro punto ha percorso nello spostarsi da A e B Noti i vettori velocità negli istanti ti e tf, è possibile definire il vettore accelerazione media come il rapporto tra la variazione del vettore velocità e l’intervallo di tempo t Amed è un vettore diretto lungo 𝛥⃗𝑣⃗. La direzione di 𝛥⃗𝑣⃗ si trova sommando al vettore −⃗𝑣⃗ 𝑖 il vettore 𝑣⃗ ⃗ 𝑓
, perché per definizione 𝛥⃗
𝑣
𝑓
𝑖 L’ accelerazione istantanea è definita come il limite per t che tende a zero del rapporto Moto con accelerazione costante in due dimensioni Il moto su un piano (in due dimensioni) può essere analizzato come due moti indipendenti nelle due direzioni perpendicolari associati con gli assi x e y. Ciò che accade nella direzione x non influenza la direzione y.Il vettore posizione può essere scritto come: Il vettore velocità nel piano x y sarà dato da: *Consideriamo una coordinata generica identificata dal vettore posizione R, che in coordinate cartesiane si può esprimere come la somma di una componente per il suo versore. La caratteristica che ci aiuta è che quando il moto avviene in un sistema a due dimensioni, i duemoti si possono descrivere indipendentemente e comporsi vettorialmente per poi descrivere il moto totale del piano. Ciò che avviene lungo l’asse delle x non influenza ciò che avviene lungo l’asse delle y. Quindi posso scomporre e studiare l’evoluzione del sistema. Questi dischetti viaggiano in un tavolo caratterizzato da buchi in cui esce aria che solleva i dischi dal piano in modo tale da non avere attrito. Con il flusso d’aria do accelerazione nella direzione verticale faccio sollevare la pallina.
Pag. 4 a 6 La componente lungo l’asse delle x ha una velocità costante ma un’accelerazione pari a 0 Lungo l’asse delle y c’è una velocità diversa da zero I due moti sono indipendente, insieme si compongono in modo tale da seguire sul piano una traiettoria diagonale Quello che succede fondamentalmente è che posso descrivere due moti indipendenti, utilizzando le stesse formule una volta per l’asse delle y, una volta per l’asse delle x. Se ho un moto con un’accelerazione costante posso scrivere le due direzioni del moto separate. La velocità finale sarà data dalla somma vettoriale delle due: la componente lungo l’asse delle x e la componente lungo l’asse delle y. E quindi posso raggruppare un termine che dipende solo dalle velocità e dall’altro quello che dipende solo dall’accelerazione. Graficamente la mia velocità finale sarà data dalla velocità iniziale più il pezzo at. La caratteristica notevole che mi aiuta nell’analisi dei problemi è che il moto nelle due dimensioni è equivalente a due moti indipendenti nelle direzioni delle x e delle y. L’applicazione immediata che si ha è quella del moto del proiettile. Moto del proiettile Il moto del proiettile è il tipico esempio di studio nel moto di un oggetto in un piano. Anziché lanciare la pietra dal grattacielo, ora mi metto sul marciapiede e lancio una pietra con un certoangolo teta rispetto all’asse delle x. Se lo lanciassi sopra di me avrei solo una dimensione. L’accelerazione che agisce è solo una, ovvero quella di gravità ed è diretta verso il basso e diretta esclusivamente lungo l’asse delle y. Quindi avrò il moto lungo l’asse delle y che sarà un moto soggetto ad un’accelerazione costante, mentre il moto lungo l’asse delle x sarà un moto con velocità costante. Inoltre, la velocità iniziale è diversa da zero, ciò vuol dire che quel corpo inizierà a muoversi.
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i
= 𝑣i 𝑐𝑜𝑠 9 i
𝑣
𝑦 i
i
sin 9
i
Il moto del
proiettile
Il moto del proiettile è un’estensione del moto della caduta dei gravi ma, a
differenza di quest’ultima, il moto del proiettile ha 2 dimensioni. Il moto della caduta dei gravi era un moto dove l’unica accelerazione in gioco era l’accelerazione di gravità (𝑔→ ) e abbiamo visto diversi casi con una velocità iniziale diversa da 0 𝑣
i
0 e con una velocità pari a 0 𝑣 = 0 ma, in entrambi i casi, l’accelerazione, essendo un’accelerazione di gravità, è sempre diretta verso il centro della terra. L’accelerazione di gravità, anche nei moti bi-dimensionali è sempre diretta verso il centro della terra. Nel moto uni-dimensionale, studieremo il moto solo lungo l’asse delle 𝑦→ , invece nel moto bi-dimensionale possiamo scomporre le 2 componenti della velocità nelle 2 direzioni di un sistema di riferimento. Questo (ovvero quello sottolineato ) bisogna farlo sempre, anche nei problemi: Scegliamo il nostro sistema di riferimento 𝑥→ e 𝑦→ : Il moto lungo l’asse delle 𝑥→ sulla quale non agisce nessuna accelerazione sarà un moto a velocità costante, invece il moto lungo l’asse delle 𝑦→ è soggetto ad una accelerazione costante, quindi la velocità varia, l’oggetto arriva ad un’altezza massima si arresta quindi la velocità diventa = 0 e, quando
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l’oggetto/proiettile continua la traiettoria, la velocità aumenterà cambiando la
direzione (così come succede quando lancio un oggetto versol’alto). moto lungo l’asse delle 𝑥→ 𝑣
𝗑 𝑓
𝗑 i
i
i
= 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 VELOCITÀ
𝗑
𝑓
i
𝗑 i
i
i
)
· 𝑡 SPAZIO
i
così come si calcola per il moto con velocità costante
moto lungo l’asse delle 𝑦→ 𝑣𝑦
𝑓
i
− 𝑔𝑡 = 𝑣i sin 9 i − 𝑔𝑡 VELOCITÀ
1 2
1 2
𝑓
i
𝑦 i
2
i
i
sin 9
i
2
SPAZIO
Nel moto del proiettile , sono importanti anche altri 2 punti:
gittata = punto dove l’oggetto tocca di nuovo terra; altezza massima (h), ovvero il punto più alto raggiunto dall’oggetto in verticale, dove la velocità è pari a 0. Si trovano imponendo 2 considerazioni:
- l’ altezza massima (h) si trova quando la velocità è = 0, quindi
imponendo 𝑣
i
sin 9
i
− 𝑔𝑡 = 0 * e poi si trova l’altezza in riferimento
all’asse delle 𝑦→ , utilizzando la formula della posizione nello SPAZIO ( )
1 2
𝑓
i
sin 9
i
2
Sostituendo al posto di t 𝑡 =
𝑣 i sin 9 i
𝑔
i
sin 9
i
𝑣 i sin 9 i 𝑔
1
2
𝑣 i sin 9 i
𝑔 ℎ = 𝑣 i 2 sin 2 9 i 2 𝑔
- per calcolare la gittata (r) considero che la massima distanza sarà
raggiunta in un tempo pari al doppio del tempo che serve per
raggiungere l’altezza massima ( * ) 2 [𝑡 =
𝑣 i sin 9 i
] *
𝑔 2
