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RAPPRESENTAZIONE DELLE INFORMAZIONI
Il bit
I calcolatori elettronici utilizzano come unità d’informazione di base il cosiddetto bit ( bi nary digi t , cioè cifra binaria ). Da un punto di vista prettamente fisico il bit è un sistema a 2 stati: può infatti essere indotto in uno dei due stati distinti rappresentanti 2 valori logici - no o si, falso o vero, o semplicemente 0 o 1. In termini pratici, senza scendere nei dettagli implementativi, il bit viene realizzato utilizzando le proprietà dell'energia elettrica (assenza di carica o presenza di carica). Un bit di informazione può ovviamente venire rappresentato anche attraverso altri mezzi: ad esempio con 2 differenti polarizzazioni di luce o 2 differenti stati elettronici di un atomo.
Rappresentazione binaria dell’informazione
Con un unico bit possono dunque essere rappresentate 2 differenti informazioni, ad esempio del tipo: si/no, on/off, 0/
Tuttavia, mettendo insieme più bit è possibile rappresentare un numero, anche molto elevato, di informazioni. Attraverso 2 bit , per esempio, possono essere rappresentate 4 differenti informazioni:
00, 01, 10, 11
con 3 bit è possibile rappresentare 8 differenti informazioni:
000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111
con 4 bit è possibile rappresentare 16 differenti informazioni:
0000, 0001, 0010, …, 1110, 1111
e così via. In generale con n bit è possibile rappresentare 2 n^ differenti informazioni. Negli esempi precedenti, infatti, con 2 bit sono state rappresentate 2^2 =4 informazioni, con 3 bit 2 3 =8 informazioni e con 4 bit 2 4 =16 informazioni differenti. Gli attuali personal computer operano su sequenze di ben 32 bit. Questo vuol dire che sono in grado di processare blocchi di informazione ognuno dei quali può codificare ben 2^32 = 4'294'967'295 informazioni differenti.
Viceversa, per rappresentare m differenti informazioni occorrono n bit , tali che 2 n ≥ m. Ad esempio,
per rappresentare 57 informazioni diverse sono necessari almeno 6 bit. In base alla formula precedente 26 = 64 > 57
Infatti, le possibili combinazioni di 6 bit sono 64:
000000, 000001, 000010, …, 111110, 111111
Si noti che 5 bit non sarebbero stati sufficienti, essendo 2^5 = 32 < 57. Con 5 bit è cioè possibile rappresentare al più 32 differenti informazioni.
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Il byte
In informatica ha assunto particolare importanza il concetto di byte. Un byte è l’equivalente di 8 bit :
1 byte = 8 bit
Pertanto, con un byte è possibile rappresentare 2^8 = 256 differenti informazioni. Il byte è utilizzato come unità di misura per indicare le dimensioni della memoria, la velocità di trasmissione, la potenza di un elaboratore. Usando sequenze di byte (e quindi di bit ) si possono rappresentare caratteri, numeri immagini, suoni.
Sistemi numerici
Il sistema numerico decimale
Il sistema decimale è quello utilizzato comunemente per la rappresentazione dei numeri. Esso è basato su 10 differenti cifre, dalla cifra 0, alla cifra 9, ed è di tipo posizionale. Il termine posizionale deriva dal fatto che, a seconda della posizione che una cifra occupa nella rappresentazione di un numero, essa è caratterizzata da un peso. Ad esempio, si consideri il numero 1524; la posizione delle cifre obbedisce al seguente schema:
1 5 2 4 ↑ ↑ ↑ ↑ posizione 3 posizione 2 posizione 1 posizione 0
La cifra 4, nella posizione 0, è quella meno significativa poiché rappresenta le unità; la cifra 2, nella posizione 1, rappresenta le decine; la cifra 5, nella posizione 2, rappresenta le centinaia; la cifra 1, nella posizione 3, rappresenta le migliaia. In altri termini, il numero 1524 rappresenta 1 migliaia, 5 centinaia, 2 decine e 4 unità. Risulta chiaro che le cifre più significative sono quelle nelle posizioni più alte (a sinistra), mentre quelle meno significative sono quelle nelle posizioni più basse (a destra). Grazie alla caratteristica posizionale, un numero decimale può essere espresso come somma di potenze di 10, le quali rappresentano i pesi delle posizioni, secondo il seguente schema:
Posizione Peso Potenza di 10 0 Unità 10 0 = 1 Decine 101 = 2 Centinaia 102 = 3 Migliaia 103 = 4 Decine di migliaia 104 = … … …
In tal modo, il precedente numero, 1524, può essere espresso nel seguente modo:
1 ⋅ 10 3 + 5⋅ 102 + 2⋅ 101 + 4⋅ 100 = 1000 + 500 + 20 + 4 = 1524
Si noti che il numero più grande che è possibile rappresentare con n cifre in notazione decimale è:
10 n − 1
Infatti, il numero più grande rappresentabile con 2 cifre è 99=10^2 -1=100-1. Allo stesso modo, il numero più grande rappresentabile con 4 cifre è 9999=10 4 -1=10000-1. E così via.
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E così via. Si noti infine che per rappresentare il numero 16 in notazione binaria è necessario adottare almeno 5 bit. Infatti: 10000=16 (^10)
Con 1 byte (8 bit ) è, pertanto, possibile rappresentare i numeri decimali da 0 a 255:
000000002 =010 , 00000001 2 =110 , …, 11111111 2 =255 10 ,
Fissate quante cifre ( bit ) sono usate per rappresentare i numeri, si fissa dunque anche il numero più grande che si può rappresentare:
− con 16 bit è possibile rappresentare 2^16 - 1 = 65.535 numeri − con 32 bit è possibile rappresentare 2^32 - 1 = 4'294'967'295 numeri − con 64 bit è possibile rappresentare 2^64 - 1 ≈ 1.84⋅ 1019 numeri
In realtà, come vedremo in una lezione successiva, è possibile anche rappresentare numeri più grandi, a patto di tollerare un certo grado di imprecisione.
Conversione decimale → binario
Si utilizza l’algoritmo della divisione. Si divide il numero decimale per 2 ripetutamente finché il risultato non è 0 e si prendono i resti delle divisioni in ordine inverso.
Esempio Convertire il numero decimale 12 in binario. Soluzione
La soluzione è dunque 12 10 = 1100 2. Controprova Basta convertire il numero binario ottenuto in decimale 1100 2 = 1⋅ 23 +1⋅ 2 2 +0⋅ 21 +0⋅ 20 = 8 + 4 = 12
Esercizio Convertire in binario i seguenti numeri decimali:
- 128
- 67217
- 100169
