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FUNZIONE
È una relazione che associa ad ogni
elemento dell’insieme di partenza A
(detto Dominio ) uno e uno solo
elemento dell’insieme d’arrivo B
(detto Codominio o insieme
immagine)
∀ x ∈ A ∃! y ∈ B : f ( x )= y
Si parla di funzioni reali con variabile
reale se A e B (Domini e Codominio)
sono sottoinsiemi dell’insieme R;
l’equazione è y=f(x). La loro
classificazione è la seguente:
- Funzioni algebriche (intere
razionali e irrazionali; frazionarie
razionali e irrazionali)
(esponenziale, logaritmica e
goniometrica)
DOMINIO
Si definisce dominio di una funzione
definita in R, l’insieme dei valori che
la variabile indipendente x può
assumere, in cui la funzione esiste
ed è definita.
LIMITE
lim
x→ x 0
f ( x ) = l↔ ∀ U ∃ V ∨ x ∈V −{ x 0 } → f ( x ) ∈ U
CONTINUIT
À
Sia f una funzione definita in un
intorno (completo) di x 0
; se
lim
x→ x 0
f ( x ) = f ( x 0 )
, la funzione f si dice
continua in x
Mentre l’operazione di limite
riguarda il comportamento di una
funzione in un intorno di x 0,
disinteressandosi di ciò che accade
nel punto x 0,
la definizione di
continuità richiede invece l’analisi
del comportamento della funzione
sia in un intorno completo di x 0
sia
nel punto x
V (intorno x 0 )
U (intorno
l )
Se solo uno dei due limiti, da destra
o da sinistra, di una funzione f per x
x 0
coincide con f(x 0
), si parla di
continuità da destra o da sinistra.
DISCONTI
NUITÀ
DISCONTINUIT
À DI PRIMA
SPECIE
Un punto x 0
è detto punto di
salto per f, se i limiti di f(x) per
x x 0
e x x 0
esistono, sono
finiti ma diversi tra loro
DISCONTINUI
TÀ DI
SECONDA
SPECIE
Un punto x 0
è detto di
singolarità di seconda specie
se almeno uno dei due limiti
per x x 0
o per x x 0
non
esiste o è infinito
DISCONTINUIT
À DI TERZA
SPECIE
Un punto x 0
è detto singolarità
eliminabile per una funzione
f(x) se il limite per x x 0
esiste ed è finito ma o è
diverso da f(x 0
) oppure f non è
definita in x 0
f(x 1
) ≤ f(x) ≤ f(x
2
) ∀ x ∈ [ a , b ]
TEOREMA
DEI
VALORI
INTERMED
I (DI
DARBOUX)
Una funzione f continua in un
intervallo chiuso e limitato [ a , b ]
assume tutti i valori compresi fra il
suo minimo m e il suo massimo M in
[ a , b ]. In altre parole per ogni k ∈ (m,
M) esiste x 0
∈ [ a ,b ] tale che f(x
0
)= k.
DERIVATA
La derivata di una funzione f(x),
definita in un dominio, è il limite del
rapporto incrementale.
Geometricamente, la derivata
calcolata in x 0
∈ al dominio, è il
coefficiente angolare della retta
tangente a f(x) in un P (x 0
; f(x 0
PUNTO
STAZIONA
RIO
È un punto appartenente ad f(x) in
cui si verifica che f
‘
(x)= 0; cioè che il
coefficiente angolare della retta
tangente nel punto stazionario è
nullo.
Esistono tre tipi di punto stazionario:
MASSIMO
Sia f una funzione continua in un
intorno completo l di x 0
e
derivabile in l tranne al più x 0
, si
dice che x
0
è un punto di
massimo relativo per f se
esistono un intorno sinistro di x 0
in cui f’>0 e un intorno destro di
x 0
in cui f’<
MINIMO
Sia f una funzione continua in un
intorno completo l di x 0
e
derivabile in l tranne al più x 0
, si
dice che x
0
è un punto di minimo
relativo per f se esistono un
intorno
sinistro di
x 0
dove
f’<0 e un
intorno
destro di x 0
dove f’>0.
PUNTO DI
FLESSO
Data una funzione f, sia x 0
un
punto in cui la funzione è
derivabile o al più presenta
tangente verticale, allora il punto
x 0
si dice
punto di
flesso se
esiste un
intorno
destro di x 0
in cui f è
convessa (concava) e un intorno
sinistro di x 0
in cui f è concava
(convessa).
ASINTOTI
L’asintoto è una retta lungo la quale
la funzione f(x) tende ad appiattirsi.
Esistono tre tipologie di asintoto:
ASINTOTO
VERTICALE
Una retta di equazione x= x 0
, con
x 0
∈ R, è un asintoto verticale di
f(x) se:
Se il limite della funzione è infinto
solo per x x 0
o per X x 0
si
parla, rispettivamente, di
asintoto verticale sinistro o di
asintoto verticale destro.
ASINTOTO
ORIZZONTALE
Una retta di equazione y= h, con
h ∈ R, è un asintoto orizzontale
di f(x) se:
